第十二章全等三角形
12．1
1．了解全等形及全等三角形的概念．理解全等三角形的性质．
重点探究全等三角形的性质．难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．
一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上你能举出这样的例子吗？二、探究新知动手做(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起观察它们能重合吗？(2)把手中三角板按在纸上画出三角形并裁下来把三角板和纸三角形放在一起观察它们能够重合吗？得出全等形的概念进而得出全等三角形的概念．能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．观察观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．
总结知识点：对应顶点、对应角、对应边．全等的符号：“≌”读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.探究(1)在全等三角形中有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等对应角相等．(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折绕定点旋转观察图形的大小形状是否变化．
得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置而不能改变图形的大小和形状．把两个全等三角形重合到一起重合的顶点叫做对应顶点如△ABC和△DEF全等记作△ABC≌△DEF其中点A和点D点B和点E点C和点F是对应顶点；AB和DE和EF和DF是对应边；∠A和∠D和∠E和∠F是对应角．三、应用举例例1如图＝6＝5求BD的长．
分析：由全等三角形的性质可知全等三角形的对应边相等找出对应边即可．解：∵△ADE≌△BCF＝BC.∵AD＝6＝6又∵CD＝5＝BC－CD＝6－5＝1()．四、巩固练习教材练习第1题．教材习题12.1第1题．补充题：全等三角形是()三个角对应相等的三角形周长相等的三角形面积相等的两个三角形能够完全重合的三角形下列说法正确的个数是()全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长相等；全等三角形的面积相等．A．1．．．如图已知△ABC≌△DEF＝85＝60＝＝5求∠DFE的度数与DE的长．
补充题答案：＝35＝8五、小结与作业全等形及全等三角形的概念．全等三角形的性质．作业：教材习题12.1第2题．
本节课通过学12．2三角形全等的判定(4课时)
第1课时“边边边”判定三角形全等
1．掌握“边边边”条件的内容．能初会作一个角等于已知角．
重点边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．
一、复习导入多媒体展示带领学生复习全等三角形的定义及其性质从而得出结论：全等三角形的对应边相等对应角相等．反之这六个元素分别相等这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论提出问题：两个三角形全等是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC再画一个使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30(2)三角形的两条边分别是4(3)三角形的一个角为30一条边为3学生剪下按不同要求引导学生按条件画三角形再通过画一画剪一剪比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′使A′B′＝AB＝BC＝CA.把画好的△A′B′C′剪下放到△ABC上它们全等吗？让学生充分交流后教师明确已知三边画三角形的方法并作出△A′B′C′通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“实物演明确：三角形的稳定性．三、举例分析
例1如右图是一个钢架＝是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论寻找两个三角形的已有条件学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB求作∠A′O′B′使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法作1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1题．学生板演．教师巡视给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程小结方法及结论提炼数学思想掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1题．
本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；在课堂上让学生参与到探索的活动中通过动手操作、实验、合作交流等过程学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例让学生产生学数学的兴趣学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等
1．掌握“边角边”条件的内容．能初步应用“边
重点边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题寻找判定三角形全等的条件．
一、复习引入什么是全等三角形？全等三角形有哪些性质？具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC画一个三角形△A′B′C′使AB＝A′B′＝＝B′C′.教师画一个三ABC.
先让学生按要求讨论画法再给出正确的画法．操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠观察能重合在一起吗？(2)上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等简写成“边角边”或“三、举例分析多媒体出示教材例2.例2如图有一池塘要测池塘两端A的距离可先在平地上取一个点C从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D使CD＝CA.连接BC并延长到点E使CE＝CB.连接DE那么量出DE的长就是AB的距离为什么？
分析：如果证明△ABC≌△DEC就可以得出AB＝DE.证明：在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC(SAS)．＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题按要求画出图形根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图已知AB＝AC点DAB和AC上的点且DB＝EC.求证：∠B＝∠C.
学生先独立思考然后讨论交流用规范的书写完成证明过程．五、小结与作业师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时要注意使用公共边和公共角．布置作业：教材习题12.2第3题．
本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法让学生自己动手操作合作交流通过学生之间的质疑讨论不仅学习了知识也训练了思维能力对三角形全等的判定()掌握的也好但要强调书写的格式的规范同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等
1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．
重点角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题寻找判定两个三角形全等的条件．
一、复习导入复习旧知：(1)三角形中已知三个元素包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？[师]在三角形中已知三个元素二、探究新知[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60和80它们的夹边为4你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下与同伴比较观察它们是不是全等你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作然后与同伴交流发现规律．教师活动：检查指导帮助有困难的同学．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“)
[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形随意画一个△ABC能不能作一个△A′B′C′使∠A＝∠A′＝∠B′＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法教师进行多媒体课件演示使学生加深对“的理解．[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数再用直尺量出AB的边长；(2)画线段A′B′使AB′＝AB；(3)分别以A′为顶点′为一边作∠DA′B′使∠DA′B′＝∠CAB＝∠CBA；(4)射线A′D与B′E交于一点记为C′.即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC重叠发现两三角形全等．[师]
于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“)
这又是一个判定两个三角形全等的条件．出示探究问题：如图在△ABC和△DEF中＝D，∠B＝∠E＝与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝∠D＋∠E＋∠F＝180＝∠D＝∠E＋∠B＝∠D＋∠E.＝∠F.在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA)．于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边AAS”)
例如下图点D在AB上点E在AC上＝AC＝∠C.求证：AD＝AE.
[师生共析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中所以要证AD＝AE只需证明△ADC≌△AEB即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC和△AEB中
∴△ADC≌△AEB(ASA)．＝AE.[师]到此为止在三角形中已知三个条件探索两个三角形全请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结然后小组讨论交流、补充．三、随堂练习教材第41页练习第1题．学生板演．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．
四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法：全等三角形的定义边边边()
3．边角边()
4．角边角()
5．角角边()
推证两个三角形全等五、课后作业教材习题12.2第5题．
在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程在这节课的教学中学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时“斜边、直角边”判定三角形全等
1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．
重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．
一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形工作人员想知道这两个直角三角形是否全等(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺能完成这个任务吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角()；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(或)．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边发现它们分别相等于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个使∠C＝90再画一个使∠C′＝90＝BC＝AB.把画好的剪下来放到上它们全等吗？画一个使∠C′＝90＝BC＝想一想怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：(1)作∠MC′N＝90；(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；(3)以B′为圆心为半径画弧交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′.就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“多媒体出示教材例5如图垂足分别为C＝BD.求证：BC＝AD.
证明：∵AC⊥BC与∠D都是直角．在和中
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．＝AD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形所以不仅有一般三角形判定全等的方法：还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“三、巩固练习如图两根长度为12米的绳子一端系在旗杆上另一端分别固定在地面两个木桩上两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明
学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．直角三角形全等的所有判定方法：定义思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？作业：教材习题12.2第7题．
本节课教学主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法让学生充分认识特殊与在教学过程中让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法一步步培养他们的逻辑推理能力．12．3角的平分线的性质
掌握角的平分线的性质和判定能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．
重点角的平分线的性质和判定能灵活运用角的难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题．
一、复习导入提问角的平分线的定义．给定一个角你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法师生共同完成具体作法．(二)1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA垂足为D；(3)测量PD和PE的长观察PD与PE的数量关系；(4)再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质．分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程．巩固应用：解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点50页例题．针对例题的解答提出：P点在∠A的平分线上吗？通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．练习：教材第50页练习．三、归纳总结引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第1～4题．
教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开先从出示问题开始鼓励学生思考探索问题中所包含的数学知识让学生经历了知识的形成与应
|
|
