第十四章整式的乘法与因式分解
14．1整式的乘
14．1.1同底数幂的乘法
1．理解同底数幂的乘法法则．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂
一、提出问题创设情境复习a的意义：表示n个a相乘我们把这种运算叫做乘方乘方的结果叫做幂；a叫做底数是指数．(出示投影片)
提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(10)次运算它工作10秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间所以计算机工作10秒可1015×103.
[师]10如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知＝(10×10×…×10)个10(10×10×10)＝(10×10×…×10)个10＝10[师]很好通过观察大家可以发现10、10这两个因数是同底数幂的形式所以我们把像10的运算叫根据实际需要我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义同学们可以独立解决上述问题．[生](1)2＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝2＝2＋2.因为2表示5个2相乘表示2个2相乘根据乘方的意义同样道理可得＝(a·a·a)(a·a)＝a＝a＋2＝(5×5·…·5),\s\do4(个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5＋n[生]我们可以发现下列规律：a等于什么(m都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底2)相乘结果的底数与原来底数相同指数是原来两个幂的指数的和．议一议(出示投影片)[师生共析]表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：＝(a×a·…·a)个a(a×a·…·a)n个a＝(m＋n)个a＝a＋n于是有a＝an(m，n都是正整数)用语言来描述此法则即为：同底数幂相乘底数不变指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘底数不变指数相加”的道理深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a表示m个a相乘表示n个a相乘表示m个a相乘再乘以n个a相乘也就是说有(m＋n)个a相乘根据乘方的意义可得a＝a＋n[师]也就是说同底数幂相乘底数不变指数要降一级运算变为相加．例题讲解出示投影片[例1]计算：1)x2·x5;(2)a·a6；(3)2×24×23;(4)xm·x3m＋1[例2]计算a后能找到什么规律？[师]我们先来看例1是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘底数不变指数相加”的法则．[生2](3)也可以先算两个同底数幂相乘将其结果再与第三个幂相乘仍是同底数幂相乘再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．生板演：(1)解：x＝x＋5＝x；(2)解：a·a＝a＝a＋6＝a；(3)解：2×2＝2＋4＝2＝2＋3＝2；(4)解：x＋1＝x＋(3m＋1)＝x＋1[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：aap＝(a)·ap
＝a＋n＝a＋n＋p；解法二：：a＝a(an·ap)＝a＋p＝a＋n＋p；解法三：a＝(a·a…a)个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断不管是多少个幂相乘只要是同底数幂相乘就一定是底数不变指数相加．[师]是的能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…amn＝a＋m＋m＋…m[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可＝2＋4＋3＝2三、随堂练习可以写成()＋m若x＝2＝5则x＋n的值为()计算：－2(－2)＝________；(－x)(－x)(－x)(－x)＝________．计算：(1)(－3)(－3)；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)；(4)(a＋b)(a＋b)四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时进一步体会了幂的意义了解了同底数幂乘法的[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变指数相加．应用这个性质时我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变指数相加即a＝a＋n(m是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．
本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘底数不变指数相加.在课堂教学时通过幂的意义引导学生得出这一性质接着再引导学生深入探讨同底数幂运算14．1.2幂的乘方
1．知道幂的乘方的意义．会进行幂的乘方计算．
重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．
一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则并用字母表示：(2)计算：①a；②a二、自主探究思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝3＝3()；(2)(a2)3＝a＝a()；(3)(am)3＝am＝a()．(m是正整数)小组讨论对正整数n你认识(a)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a)n＝个＝a＋m＋m＋…m,\s\up6(个m＝a字母表示：(a)n＝a(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方底数不变指数注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆例如不能把(a)2的结果错误地写成a也不能把a的计算结果写成a三、巩固练习下列各式的计算中正确的是()(x3)2＝x．(x)2＝x(xn＋1)＝x＋1．＝x计算：(1)(103)5;(2)(a4)4；(3)(am)2;(4)－(x)3.
四、归纳小结幂的乘方的意义：(am)n＝a(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．
运用类比方法得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低学生学起来更自然对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法值得引起注意．14．1.3积的乘方
1．经历探索积的乘方和运算法则的过程进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则能解决一些实际问题．
重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．
一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×10)3cm3.
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是底数是1.1与10的乘积虽然10是幂但总体来看我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验请同学们自己探索发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲引导学生自主探究、讨论(出示投影片)填空看看运算过程用到哪些运算律从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()()．(n是正整数)把你发现的规律先用文字语言表述再用符号解决前面提到的正方体体积计算问题．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．完成教材第97页例3.学生探究的经过：(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝个a个b＝a积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)＝a(n是正整数)正方体的V＝(1.1×10)3它不是最简形V＝(1.1×10)3＝1.1(103)3＝1.1＝1.1＝1.331×10(cm3)．通过上述探究我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a(n为正整数)积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个abc)n＝a(n为正整数)积的乘方法则可以进行逆运算．即a＝(ab)(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积而且幂指数相同右边是积的乘方且指数与左边指数相等那么可以总结为：同指数幂相乘底数相乘指数不变．看来这也是降级运算了即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a＝(a·b)(n为正整数)的证明如下：＝(a×a×…×a)个a(b×b×…×b)个b幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)个(ab)乘法交换律、结合律＝(a·b)乘方的意义[例3](1)(2a)3＝2＝8a；(2)(－5b)＝(－5)＝－125b；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x＝x＝x；(4)(－2x)4＝(－2)(x3)4＝16·x＝16x(学生活动时老师深入到学生中发现问题及时启发引导使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力发现了积的乘方的运算法则并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)＝a(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)＝a；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a＝(ab)＝(abc)(n为正整数)三、随堂练习教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质五、布置作业(1)(－2xy)；(2)(5x)2；(3)[(x＋y)]3；(4)(0.5am)2.
本节课属于典型的公式法则课从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展整堂课体现以学生为本的思想。实际问题情境的设置在于让学生感受到研究新问题的必要性带着问题思考本节课更容易理解重点、突破难点．14．1.4整式的乘法(4课时)
第1课时单项式乘单项式和单项式乘多项式
1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则并运用它们进行运算．会进行整式的混合运算．
重点单项式与单项式、单项难点灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．
一、复习导入知识回顾：回忆幂的运算性质：＝a＋n(m都是正整数)即同底数幂相乘底数不变指数相加．(am)n＝a(m，n都是正整数)即幂的乘方底数不变指数相乘．(ab)n＝a(n为整数)即积的乘方等口答：幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础所以先组织学生对上述的内容作复习．练一练(a2)2＝____________；(－2)2＝____________；[(－)]3＝____________；(a3)2·a3____________；＝____________；(xy2)2＝____________；(－)(－)＝____________．二、探究新知问题：光的速度约为3×10千米/秒太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×10秒你知道地球与太阳的距离约是多少千米？注：从实际的问题导入让学生自己动手试一试主动探索在自己的实践中获得知识从而构建新的知识体系．地球与太阳的3×105)×(5×102)千米．问题是(3×10)×(5×102)等于多少呢？学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(10)＝15×10(为什么？)在此处再问学生更加规范的书写是什么？应该是地球与太阳的距离约为1.5×10千米．请学生回顾我们是如何解决问题的．问题：如果将上式中的数字改为字母即ac你会算吗？学生独立思考小组交流．注：学生分析：跟刚才的解决过程类似可以将ac和bc分别看成a·c和b·c再利用乘法交换律和结合律．＝(a·c)·(b·c2)
＝(a·b)·(c)
＝abc＋2＝abc注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．[探究一]类似地请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(－5a)·(－b)．和bc和5c(－5a)和(－4b)都是单项式通过刚才的尝试谁能告诉大家怎样进行单项式乘法？注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则而是让学生类比自己动手试一试再相互交流自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．学生小结：单项式与单项式相乘把它们的系数、相同字母分别相乘对于算一算例1：教材例4.在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算如何利用运算性质和法则．分析后再动手做同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．例2小民的步长为a米他量得家里卧室长15步宽14步这间卧室的面积有多少平方米？注：将运算法则应用在实际问题中提高学生解决实际问题的能力．辩一辩教材第99页练习2.注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论加强对运算法则的掌握同时[探究二]师生共同研究教材第99页的问题对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．注：这个实际问题来源于学生的实际所以在教学中通过师生共同探讨再结合分配律学习不难得到结论．试一试计算：2a(3a2－5b)．(根据乘法分配律)注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的所以在解决问题时让学生类比数的运算律将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法自己尝试得出结论．想一想从上面解决的两个问题中谁能总结一下怎样将单项式和多项做一做教材例5.(在学习过程中提醒学生注意符号问题多项式的每一项都包括它前面的符号)注：学生在计算过程中容易出现符号问题要特别提醒学生注意．教材第100页练习．三、课外巩固必做题：教材第104～105页习题14.1第3题．备选题：(1)若(－5a＋1－1)(2a)＝－10a则m－n的值为________；(2)计算：(a)2·(a2b)3；(3)计算：(3a)2＋(－2ab)(－4a)；(4)计算：(－xy)·(xy－2xy＋y)．
本节课采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用学生第2课时多项式乘多项式
经历探索多项式乘法法则的过程理解多项式乘法法则灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．
重点多项式乘法的运算．难点探索多项式乘法的法则注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题．
一、情境导入教师引导学生复习单项式×多项式运算法则．整式的乘法实际上就是：单项式×单项式；单项式×多项式；多项式×单项式．组织讨论：问题为了扩大街心花园的绿地面积把一块原长a宽p的长方形绿地加长了b加宽了q．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
如何计算？小组讨论你从计算过程中发现了什么？由于(a＋b)(p＋q)和(ap＋aq＋bp＋bq)表示同一个量即有(a＋b)(p＋q)ap＋aq＋bp＋bq.二、探索新知(一)探索法则根据乘法分配律我们也能得到下面等式：
在学生发言的基础上教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则．让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律．多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加．(二)例题讲解与巩固练习教材例6计算：(1)(3x＋1)(x＋2)；(2)(x－8y)(x－y)；(3)(x＋y)(x－xy＋y2)．计算下列各题：(1)(x＋2)(x＋3)；(2)(a－4)(a＋1)；(3)(y－)(y＋)；(4)(2x＋4)(6x－)；(5)(m＋3n)(m－3n)；(6)(x＋2)某零件如图所示求图中阴影部分的面积S.
练习点评：根据学生的具体情况教师可选择其中几题分析并板书示范其余几题可由学生独立完成．在讲解、练习过程中提醒学生对法则的灵活、正注意一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项在计算时要注意多项式中每个单项式的符号．三、课堂小结指导学生总结本节课的知识点学习过程的自我评价．主要针对以下方面：多项式×多项式．多项式与多项式的乘法．用一个多项式中的每项乘另一个多项式的每一项不要漏项．在没有合并同类项之前两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．四、布置作业教材第102页练习题．
本节课由计算绿地面积出发通过几种不同的计算图形面积方法得出多项式相乘的法则整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的过程以及如何熟练运用法则解决问题充分调动了学生学习的积极性．教师不仅是教给学生知识还要重视学习方法的指导和培养．第3课时同底数幂相除
1．掌握同底数幂会用同底数幂的除法的法则进行计算．
重点准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．难点根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
一、问题导入叙述同底数幂的乘法运算法则．同底数幂相乘指数相加底数不变．即a＝a＋n(m，n是正整数)问题：一种数码照片的文件大小是226M(1M＝2)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致所以要先统一单位．移动存储器的容量为2＝2所以它能存储这种数码照片的数量为2是同底数幂同底数幂相除如何计算呢？二、探究新知请同学们做如下运算：(1)28×28；(2)5；(3)10105；(4)a填空：(1)()·2＝2；(2)()·5＝5；(3)()·10＝10；(4)()·a＝a除法与乘法两种运算互逆要求空内所填数其实是一种除法运算所以这四个小题等价于：(1)216÷28＝()；(2)5＝()；(3)107÷105＝()；(4)a＝()．再根据第1题的运算我们1)28；(2)5；(3)10；(4)a其实我们用除法的意义也可以解决请同学们思考、讨论．(1)216÷28＝(2)5＝(3)107÷105＝(4)a＝从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？＝a－n(a≠0，m，n都是正整数且m≥n)三、例题讲解例1(教材例7)计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)(ab)2.
解：(1)x＝x－2＝x；(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)－2＝(ab)＝a例2先分别利用除法的意义填空再利用a＝a－n的方法计算你能得出什么结论？(1)32÷32＝()；(2)10＝()(3)am÷am＝()(a≠0)．解：先用除法的意义计算．32＝1；10＝1；a＝1(a≠0)．再利用a＝a－n的方法计算．＝3－2＝3；＝10－3＝10；＝a－m＝a(a≠0)．这样可以总结得a＝1(a≠0)．于是规定：＝1(a≠0)即任何不等于0的数的0次幂都等于1.四、课堂小结通过这节课的学习你1)同底数幂相除底数不变指数相减；(2)任何不等于0的数的0次幂都等于1.五、布置作业教材第104页练习第1题．
同底数幂的除法的主要内容是根据除法是乘法的逆运算从计算具体的同底数的幂的除法到计算底数具有一般性的字母逐步归纳出同底数幂除法的法则并运用法则熟练、准确地进行计算．本节课是在学习了幂的乘方、积的乘方的基础上进行的它们构成一个有机整体为后续的整式除法的学习打下基础．第4课时整式的除法
1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．多项式除以单项式的运算法则及应用．
重点单项式除以单项式的运算法则及其应用；多项式除以单项式运算法则及其应用．难点探索多项式与单项式相除的运算法则的过程．
一、情境导问题：木星的质量约是1.90×10吨地球的质量约是吨你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗？重点研究算式(1.90×10)÷(5.98×1021)怎样进行计算目的是给出下面两个单项式相除的模型．二、探究新知探索法则(1)计算(1.90×10)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么？(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗？；6x；12a(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗？教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化并运用自己的语言进行描述．归纳法则单项式相除把系数与同底数幂分别相除作为商的因式对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数作为商的一个因式．应用新知(1)28x4y2÷7x3y；(2)－5a首先指明28x与7x分别是被除式与除式口述和板书都应注意展示法则的应用计算过程要详尽使学生尽快熟悉法则．巩固新知教材第104页练习第2题．学生自己尝试完成计算题同桌交流．再探新知计算下列各式：(1)(am＋bm)÷m；(2)(a2＋ab)÷a；(3)(12a3－6a＋3a)÷3a.说说你是怎样计算的．还有什么发现吗？在学生独立解决问题之后及时引导学生反思自己的思维过程并对自己计算所得的结果进行观察总结出计算的一般归纳法则多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加．你能把这句话写成公式的形式吗？解决问题计算：(1)(21x4y3－35x＋7x)÷(－7x)；(2)[(x＋y)－y(2x＋y)－8x]÷2x.幂的运算性质是整式除法的关键符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答要求学生说出式子每步变形的依据并要求学生养成检验的习惯利用乘除互为逆运巩固提高教材第104页练习第3题．利用投影仪反馈学生解题过程．三、布置作业必做题：教材第105页习题14.1第6题．备选题：下列计算是否正确？如不正确应怎样改正？(1)－4ab＝2b；(2)(14a3－2a＋a)÷a＝14a＝2a.
这节课可以说学生动的多教师讲的少．学生的主体地位体现的还算可以．主要是以学生的活动为主的基本符合新课改精神．课堂上教师的指导14．2乘法公式
14．2.1平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式并能运用公式进行简单的运算．
重点平难点理解平方差公式的结构特征灵活应用平方差公式．
一、设问引入探究：计算下列多项式的积你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？(1)(x＋1)(x－1)；(2)(m＋2)(m－2)；(3)(2x＋1)(2x－1)．引导学生用自己的语言叙述所发现的规律允许学生之间互相补充教师不急于概括．二、举例分析再举几个这样的运算例子．让学生独立思考每人在组内三、归纳概括计算(a＋b)(a－b)．让学生计算归纳算式的特征说明结果的形式．然后教师系统总结平方差公式．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a－b语言叙述：________________．教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两边的结构教给学生记忆公式的方法．四、应用新知教材例1运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．填表：
(a＋b)(a－b) a b a－b最后结果(3x＋2)(3x－2) 2 (3x)－2(x＋2y)(－x－2y)对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成然后抢答的形式；第二小题可采用小组讨论的形式要求学生在给出表格所提示的解法之后思考别的解法：提取后一个因式里的负号将2y看作“a”x看作“b”然后运用平方差公式计算．教材例2计算：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；(2)102×98.
此处仍先让学生独立思考然后自主发言口述解题思路允许他们算法的多样化然后通过比较优化算法达到简便计算的目的．五、巩固练习教材第108页练习第1题．第1题口述完成；第2题采用大组竞赛的形式进行其中(1)(4)由两个大组完成(2)(3)由另两个大组完成．六、小结与作业谈一谈：你这节课有什么收获？112页习题14.2第1题．
平方差公式是特殊的整式的乘法运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果运用公式计算一定要看是否符合公式的特征这两个数分别是什么公式中的字母a不仅可以代表具体的数字字母单项式也可以代表多项式．14．2.2完全平方公式
1．完全平完全平方公式的几何解释．
重点完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释灵活应用．难点理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
一、复习引入你能列出下列代数式吗？(1)两数和的平方；(2)两数差的平方．你能计算出它们的结果吗？二、探究新知你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？1)(p＋1)＝(p＋1)(p＋1)＝________________；(2)(p－1)＝(p－1)(p－1)＝________________；(3)(m＋2)＝________________；(4)(m－2)＝________________．通过几个这样的运算例子让学生观察算式与结果间的结构特征．归纳：公式(a＋b)＝a2ab＋b(a－b)＝a－2ab＋b语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式．教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构并尝试说明产生这些特点的原因．还可以引导学生将(a－b)的结果用(a＋b)来解释：(a－b)＝[a＋(－b)]＝a＋2a(－b)＋(－b)＝a－2ab＋b三、举例应用教材例3：运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)；(2)(y－).
解：(1)(4m＋n)＝(4m)＋2·(4m)·n＋n＝16m＋8mn＋n；(2)(y－)＝y－2·y·＋()＝y－y＋.可由学生口答完成教师多媒体展示结果提高教材例4：运用完全平方公式计算：(1)1022＝(100＋2)＝100＋2×100×2＋2＝10000＋400＋4＝10404；(2)992＝(100－1)＝100－2×100×1＋1＝10000－200＋1＝9801.此处可先让学生独立思考然后自主发言口述解题思路可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求允许他们算法的多样化但要求明白每种算法的局限和优越性．四、再探新知现有下图所示三种规格的卡片各若干张请你根据二次三项式a＋2ab＋b选取相应种类和数量的卡片尝试拼成一个正方形并讨论该正方形的代数意义：
2．你能根据下图说明(a－b)＝a－2ab＋b吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏比一比哪个小组快？第2小题借助多媒体课件直观演示面积的变化帮助学生联想代数恒等式：(a－b)＝a－b－2b(a－b)＝a2ab＋五、思考讨论(a＋b)与(－a－b)相等吗？(a－b)与(b－a)相等吗？(a－b)与a－b相等吗？为什么？组织学生进行讨论通过自主推导互相合作交流共同解决难题．六、巩固拓展教材例5：运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)解：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)x2－(2y－3)＝x－(4y－12y＋9)＝x－4y＋12y－9；(2)(a＋b＋c)＝[(a＋b)＋c]＝(a＋b)＋2(a＋b)c＋c＝a＋2ab＋b＋2ac＋2bc＋c＝a＋b＋c＋2ab＋2ac＋2bc.讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目让学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决a，b对照其中－2y＋＝－(2y－3)故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体然后运用完全平方公式．在解此例的过程中应注意边辩析各项的符号特征边对照两个公式的结构特征教师应完整详细地书写解题过程帮助学生理解这一公式的拓展应用突破难点．七、课堂小结谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差公式有什么区别和联系？作业：教材第112页习题14.2第2题第3题的(1)(3)(4)第4题．
在完全平方公式的探求过程中学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子而不知道将几个式子联系起来看；有些学生则观察入微表现出了较强的观察力．教师要抓住这个契机适当对学生进行学法指导．对于公式的特点则应当左右兼顾特别是公式的左边它是正确应用公式的前提．14．3因式分解
14．3.1提公因式法
1．使学生了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系．了解公因式概念和提取公因式的方法．会用提取公因式法分解因式．
重点会用提取公因式法分解因式．难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
一、问题导入同学们我们先来看下面两个问题：能被哪些整除说说你是怎样想的？当a＝101＝99时求a－b的值．对于问题1我们必须对630进行质因数分解对于问题2虽然可以直接把a＝101＝99代入进行计算但如果应用平方差公式应先把a－b变形成(a＋b)·(a－b)的形式再代入进行计算将会使计算过程变得更加简捷．通过对上面两个问题的解决方法和过程的讨论使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘二、探究新知教材第114页的“探究”．要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究要注意突出写成整式的积的具体含义使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的为因式分解概念的建立埋下伏笔．提出因式分解的概念．利用教材中的因式分解和整式乘法的关系图说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的两种不同的变形并强调它们的特点．下列由左到右的变形是否是因式分解为什么？(1)(x＋2)(x－2)＝x－4；2)x2－4＝(x＋2)(x－2)；(3)x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x.[探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要．通过这次练习强化因式分解的概念]提公因式法研究多项式pa＋pb＋pc各项中每个因式的特点提出公因式的概念．让学生体验：＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？三、举例分析例1把8a＋12ab分解因式．分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的然后依照教材进行分析注意讲清确定公因式的具体步骤从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系并思考：如果提出公因式4ab另一个因式是否还有公因式？从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化这是提公因式法的正确性的重要保证．练习用提公因式法分解因式：(1)3mx－6nx；(2)4a2b＋10ab－2ab例2把2a(b＋c)－3(b＋c)因式公解．分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b＋c再用提公因式法进行分解．例3计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12.让学生观察并分析怎样计算更简单．思考：说说例1、例2和例3的公因式有什么不同？四、巩固练习完成教材第115页练习第1题．讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？五、小结提高1．举一个例子说说什么是因式分解．什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？说说提公因式法的一般步骤．(1)确定提取的公因式；(2)用公因式去除这个多项式所得的商式作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式．六、布置作业教材第119页习题14.3第1题．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确为什么？若不正确请写出正确答案．－25a－20a＝－5ax(5x－4ax)；(x－y)－3b(y－x)＝(x－y)[2a(x－y)＋3b]．(2)用提公因式法分解因式．－ab；－x＋xy；－2p(p2＋q)＋6pq(p＋q)；(x－y－z)－2bx＋2by＋2bz.
在学习提取公因式时首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成并且引导学生得出提公因式法这一此处的意图是充分让学生自主探索合作学习得出结论．接着通过例题讲解最后让学生自主完成练习题老师当堂讲评．14．3.2公式法(2课时)
第1课时平方差公式
1．能说出平方差公式能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点应用平方差公式分解因式．难点灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式并理解因式分解的要求．
一、问题导入探究新知问题1：什么叫因式分解？问题2：你能将多项式x－4与多项式y－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点？对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形可引导比较它与对于问题2要求学生先进行思考教师可视情况作适当的提示在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式对于这种形式的多项式可以利用平方差公式来分解因式．即(a＋b)(a－b)＝a－b反过来就是：－b＝(a＋b)(a－b)．要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．例1分解因式：(1)4x2－9；(2)(x＋p)－(x＋q)分析：注意引导学生观察这2能否用平方差公式进行因式分解取决于这个多项式是否符合平方差的特征即两个数的平方差所以要强调多项式是否可化为()－()的形式．括号里的“东西”是一个整体它可以是具体的数或单项式或多项式如(2)题中应是多项式．例2分解因式：(1)x4－y；(2)a－ab.分析：(1)先把它写成平方差的形式再分2次分解；(2)现在不具备平方差的特征引导继续观察特点发现有公因式ab应先提公因式再进一步分解．学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止提公因式法和应用公式法的综合应用．二、巩固练习完成教材第117页练习第1题．第1题对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼要求学生讲出能否用公式的道理．第2题是用提公因式法和应用平方差公式进行因式分解的综合应用要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．注意：要将因式分解进行到不能再分解为止．三、课堂小结举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．谈谈多项式分解的注意点．四、布置作业必做题：教材第119页习题14.3第2题第4(2)题．备选题：(1)下面的因式分解是否正确为什么？若不正确请写出正确答案．＋n＝(m＋n)；－n＝(m－n)(2)分解因式：－9xa2＋b)2－4a2；(y2－4)－6(y－6)＋9.(3)用简便方法计算：×15；－3998×1998＋1998；＋599.
在新课引入的过程中首先让学生回忆前面的乘法公式接着就让学生利用平方差公式做三个整式乘法的运算．然后将刚才用平方差公式计算得出的三个多项式作为因式分解的题目请学生尝试之后就能顺利通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解．第2课时完全平方公式
1．理解完全平方公式的特点．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．会用提公因式、完全平方公式分解因式并能说出提公因式在这类因式分解中的
重点用完全平方公式分解因式．难点灵活应用公式分解因式．
一、复习引入叙述平方差公式并写出公式．把下列各式分解因式：(1)－16＋x；(2)x－xy；(3)m4－1;(4)ab(x－y)＋ab(y－x)．填空：(1)(a＋b)＝________；(2)(a－b)＝________．二、探究新知完全平方式与完全平方公式(1)公式：把乘法公式(a＋b)＝a＋2ab＋b和(a－b)＝a－＋反过来就可以得到：a＋2ab＋b＝(a＋b)－＋＝(a－b)这就是说两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍等于这两个数的和(或差)的平方．把a2ab＋b和a－2ab＋b这样的式子叫做完全平方式．上面两个公式叫做完全平方公式．(2)完全平方式的形式和特点；项数：三项；有两项是两个数的平方和这两项的符号相同；有一项是这两个数的积的两倍．(3)例子：把x＋6x＋9和4x－20x＋25因式分解．显然它们不能用学过的方法可以用完全平方公式分解吗？三、应用举例(1)提问：式子x－4x＋4＋16a＋4x－1＋xy＋y＋2nm＋n是不是完全平方式？(2)填空：＋(____)＋4＝(m＋2)＋(____)＋4＝(2－m)－(____)＋＝(ab－)；(3)判断下列式子分解因式是否正确：x＋2x－1＝(x－1)；－2ab＋a＋b＝(－a＋b)；2x－4xy＋y2x－y)；x＋x＋＝(x＋)；－a＋2ab－b＝(－a＋b)；4a＋6ab＋9b＝(2a＋3b)例题例1把16x＋24x＋9和－x＋4xy－4y因式分解．提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点此题符合吗？课堂练习：把下列各式因式分解：(1)x2＋2x＋1;(2)4a＋4a＋1；3)1－6y＋9y(4)1＋m＋例2分解因式：(1)3ax2＋6axy＋3ay；(2)(a＋b)－12(a＋b)＋36.提问：(1)中有公因式吗？如果把(2)中(a＋b)看作一个整体怎样因式分解？练习：把下列各式因式分解：(1)－x＋2xy－y(2)－4－9a＋12a；(3)－a－4ab－4b(4)－25x－30xy－9y四、课堂小结(1)分解因式前注意式子是否符合公式的形式和特点；(2)平方项前面是负数时先把负号提到括号外面．五、布置作业教材第119页习题14.3第3题．
完全平方公式的结构特点：等号左边是一个二项式的平方等号右边记作：首平方尾平方倍之积中间放．逆用完全平方公式进行因式分解只需要“颠倒使用”即可：等号右边作为“条件”左边作为“结果”但对学生来说还是相当困难的．教学过程中要多讲多练方可达到效果．
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