高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
线性运算:加减法、数乘;
空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
利用坐标做向量的运算:设,,
则,;
向量的模、方向角、投影:
向量的模:;
两点间的距离公式:
方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
方向余弦:
投影:,其中为向量与的夹角。
数量积,向量积
数量积:
1)
2)
向量积:
大小:,方向:符合右手规则
1)
2)
运算律:反交换律
曲面及其方程
曲面方程的概念:
旋转曲面:
面上曲线,
绕轴旋转一周:
绕轴旋转一周:
柱面:
表示母线平行于轴,准线为的柱面
二次曲面
椭圆锥面:
椭球面:
旋转椭球面:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
椭圆抛物面:
双曲抛物面(马鞍面):
椭圆柱面:
双曲柱面:
抛物柱面:
空间曲线及其方程
一般方程:
参数方程:,如螺旋线:
空间曲线在坐标面上的投影
,消去,得到曲线在面上的投影
平面及其方程
点法式方程:
法向量:,过点
一般式方程:
截距式方程:
两平面的夹角:,,
点到平面的距离:
空间直线及其方程
一般式方程:
对称式(点向式)方程:
方向向量:,过点
参数式方程:
两直线的夹角:,,
直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,
第九章多元函数微分法及其应用
基本概念
距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
多元函数:,图形:
极限:
连续:
偏导数:
方向导数:
其中为的方向角。
梯度:,则。
全微分:设,则
性质
函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
微分法
定义:
复合函数求导:链式法则
若,则
,
隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组)
应用
极值
无条件极值:求函数的极值
解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令
,,,
若,,函数有极小值,
若,,函数有极大值;
若,函数没有极值;
若,不定。
条件极值:求函数在条件下的极值
令:———Lagrange函数
解方程组
几何应用
曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章重积分
二重积分
定义:
性质:(6条)
几何意义:曲顶柱体的体积。
计算:
直角坐标
,
,
极坐标
三重积分
定义:
性质:
计算:
直角坐标
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
柱面坐标
,
球面坐标
应用
曲面的面积:
第十一章曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
定义:
性质:
1)
2)
3)在上,若,则
4)(l为曲线弧L的长度)
计算:
设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则
对坐标的曲线积分
定义:设L为面内从A到B的一条有向光滑弧,函数,在L上有界,定义,
.
向量形式:
性质:
用表示的反向弧,则
计算:
设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为
,其中在上具有一阶连续导数,且,则
两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,,,
则.
格林公式
1、格林公式:设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数在
D上具有连续一阶偏导数,则有
2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,则
曲线积分在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
对面积的曲面积分
定义:
设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,
定义
计算:———“一单二投三代入”
,,则
对坐标的曲面积分
预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量
定义:
设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义
同理,
性质:
1),则
2)表示与取相反侧的有向曲面,则
计算:——“一投二代三定号”
,,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“+”,为下侧取“-”.
两类曲面积分之间的关系:
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
高斯公式
高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有
或
通量与散度
通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:
散度:
斯托克斯公式
斯托克斯公式:设光滑曲面(的边界(是分段光滑曲线,(的侧与(的正向符合右手法则,在包含(在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:
环流量与旋度
环流量:向量场沿着有向闭曲线(的环流量为
旋度:
第十二章无穷级数
常数项级数
定义:
1)无穷级数:
部分和:,
正项级数:,
交错级数:,
2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散
3)条件收敛:收敛,而发散;
绝对收敛:收敛。
性质:
改变有限项不影响级数的收敛性;
级数,收敛,则收敛;
级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;
必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)
审敛法
正项级数:,
定义:存在;
收敛有界;
比较审敛法:,为正项级数,且
若收敛,则收敛;若发散,则发散.
比较法的推论:,为正项级数,若存在正整数,当时,,而收敛,则收敛;若存在正整数,当时,,而发散,则发散.
比较法的极限形式:,为正项级数,若,而收敛,则收敛;若或,而发散,则发散.
比值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
根值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
极限审敛法:为正项级数,若或,则级数发散;若存在,使得,则级数收敛.
交错级数:
莱布尼茨审敛法:交错级数:,满足:,且,则级数收敛。
任意项级数:
绝对收敛,则收敛。
常见典型级数:几何级数:
p-级数:
函数项级数
定义:函数项级数,收敛域,收敛半径,和函数;
幂级数:
收敛半径的求法:,则收敛半径
泰勒级数
展开步骤:(直接展开法)
求出;
求出;
写出;
验证是否成立。
间接展开法:(利用已知函数的展开式)
1);
2);
3);
4);
5)
6)
7)
8)
傅里叶级数
定义:
正交系:函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。
傅里叶级数:
系数:
收敛定理:(展开定理)
设f(x)是周期为2(的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:
1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2)在一个周期内只有有限个极值点,
则f(x)的傅里叶级数收敛,且有
傅里叶展开:
①求出系数:;
②写出傅里叶级数;
③根据收敛定理判定收敛性。
高等数学(下)知识点
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偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
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2
3
4
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