椭圆的简单几何性质
YZK19018
一、概述
本节课是普通高中课程标准实验教科书人教版数学理科选修2-1的第二章《2.2.2椭圆的简单几何性质》，主要学习椭圆的简单几何性质及其应用。
在此之前，学生已经学习过了椭圆的定义及其标准方程，而本节课是结合椭圆定义、方程和图形来发现总结椭圆的几何性质，再利用性质去解决问题；本节课教材，让学生用方程在探究推出性质的基础上，充分认识到数形结合的奇妙和转化思想，体会到数与形的辩证统一，且本节课内容的掌握程度直接影响以后学习双曲线和抛物线几何性质，为双曲线和抛物线几何性质的学习奠定了基础。
二、学习目标分析
根据课程标准，结合高考要求和我校实际学情，制定以下教学目标：
【知识与技能】：理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决简单问题，初步学会利用方程研究曲线几何性质的方法。运用数形结合、函数与方程、转化的思想。培养学生培养学生勇于探索、勤于思考的精神；培养学生观察、分析、探究、归纳、概括的能力以及运用数学工具解决实际问题的能力。
【过程和方法】：这是第一次学习用方程研究几何性质，通过初步尝试，是学生经历性质的得出过程，使学生认识到不仅注意对研究结果的理解和掌握，也要注意对过程的重视和其中数学思想和方法的渗透；以自主探究，合作讨论为主，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究几何性质的方法，也培养学生良好的合作和分享意识。
【情感态度和价值观】：通过对本节课的学习，进一步体会曲线与方程的对应关系,体会椭圆的和谐美和对称美，培养审美习惯和良好的思维品质，认识椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
三、学习者特征分析
我校是一所农村普通高中，根据中考录取统计，学生大多属于二类生源，本课上课班级是一个普通理科班，大部分同学基础较为薄弱，自主分析，独立解决问题的能力不是很强，但是同时，学生也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学有较强的兴趣和学习积极性,在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
四、教学策略选择与设计
在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”，所以要充分呈现获取知识和方法的思维过程。本节课的课题是椭圆的简单几何性质，因此应让学生多参与，让学生自主探究分析问题，然后老师启发、引导，让学生自己总结、提炼、升华为分析、解决问题的能力。
在课堂教学中，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设融洽的课堂气氛，通过问题的设置，引导学生自主学习、合作探究学习，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径，指导学生自学、讨论、展示、质疑，运用多种方法引导学生完成学习任务。
教法主要采用讲授法，启发法，讨论法和小组合作交流法以及多媒体辅助教学法，多方面来学习椭圆的简单几何性质。
教学重点与难点设计：
重点：掌握椭圆的几何性质及简单应用；
难点：椭圆几何性质的形成过程，会用椭圆几何性质解决问题。
五、教学资源与工具设计
本课题主要由选修2-1教材和导学案相结合使用，配套多媒体的展示和演示，从数和形上更有利于对几何性质的认知、掌握和应用。
六、教学过程与设计
（一）、复习提问·导入新课：
问题（1）：椭圆的定义:
【师生活动】：教师提问，学生思考回顾.
【设计意图】：问题引入，了解学生对椭圆定义要点理解的程度，同时在‘定点’内在线索的指导研究问题和指明产生不同结果的依据.
问题（2）：椭圆的标准方程是？
【师生活动】：教师引导学生回顾方程，提出方程的不同形式，各种形式和依据？
【设计意图】：回顾相关知识，引出新知，引起学生兴趣，为本节利用方程研究性质埋下伏笔，激发学生的求知欲.
问题（3）：椭圆中a,b,c的关系是:
【师生活动】：教师提问，学生思考.
【设计意图】：让学生熟知a,b,c的关系，本节利用a,b,c的关系列方程求解问题提供保障.
（二）、设疑导学·自主合作探究：
椭圆简单的几何性质
探究1：椭圆的范围(确定椭圆的大小）：
【教师】：引导学生观察方程左侧表达式的特点，然后将椭圆的标准方程变形。
问题（4）：由，得，所以，即从而有y的范围是；
问题（5）：同理x的范围是；
故，椭圆位于直线与直线所构成的矩形区域，且与矩形相切。
【学生】：思考，讨论后，由一名同学抢答。
【教师】：评价，完善，鼓励学生。
【学生】：画出椭圆的草图，理解这一性质。
【设计意图】：引导学生参与椭圆性质的推导，加深对椭圆性质的理解，同时培养学生观察问题、思考问题，探索问题的能力。并使用数形结合思想研究圆锥曲线问题。为突破教学难点做好铺垫。
探究2：椭圆的对称性:
【教师】：让学生观察图像，利用图像上点P（x,y）（-x,y）(x,-y),点P3(-x,-y)的位置关系，初步判断出椭圆的对称性。让后让学生在椭圆的标准方程中，把x换成-x，把y换成-y，方程是否发生变化？这说明什么样的问题。
【学生】：观察，判断，思考，回答。
【师生活动】：方程均不发生变化，这说明当点P（x,y）y轴(x轴)的对称点p1(-x,y)、p2(x,-y)、P3(-x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴（x轴）和原点都是对称的；
因此，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
【教师】：评价，完善，鼓励学生。
【设计意图】：让学生参与椭圆性质的推导，加深对椭圆性质的理解，同时培养学生思考问题，探索问题的能力。并使用数形结合思想的使用。
探究3：椭圆的顶点（用来确定椭圆的直角坐标系的位置）:
【教师】：提出问题：（6）令方程中x=0，得y=？说明椭圆与y轴的交点坐是？
（7）令方程中y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点坐是？要求学生根据方程写出结果。
【学生】：计算完成。
写出B1(0,b),B2(0,-b),A1(-a,0),A2(a,0).
【教师】：这四个点就得椭圆的顶点。
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a,b的名称：分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长
【教师】：问题：已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2,怎样确定椭圆焦点的位置？
【学生】：思考，讨论后，由一名同学回答。
【教师】：评价，完善，强调。
【教师】：根据前面所学有关知识画出下列图形
【学生】：思考，作图完成。
【教师】：提问学生，两个图形画出来扁平不一，用什么样的量刻画椭圆的“扁平”程度呢？
【设计意图】：及时巩固所学知识，并让学生利用椭圆的范围，对称性，顶点性质确定椭圆的性质和大小，快速作图，同时为椭圆的第4个性质研究做好铺垫。
探究4：椭圆的离心率（用来刻画椭圆的扁平程度）:
【教师】：离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比；
根据离心率的定义，探讨：
（8）：离心率的取值范围：
（9）：离心率对椭圆形状的影响:
（10）：离心率e与a,b的关系:
【学生】：思考，分析，探讨，讨论，找出规律。
【师生活动】：从上面的探索过程可以发现，e越接近1，椭圆就越扁，
e越接近0，椭圆就越圆；
特别的:当e=0,则a=b,则c=0，两个焦点重合，椭圆变为圆。
【教师】：评价，完善，强调。
【设计意图】：考察学生根据椭圆中a,b,c的关系，探究与e的关系。更进一步理解a,b,c的几何含义和对图形的影响。
知识升华
【教师】：通过提问的4个性质，让学生类推的4个性质。
【学生】:思考，口答问题。
【师生活动】：四人小组互相讨论，得到结论，分享自己的发现。
【教师】：点评，补充，完善。
【设计意图】：学生通过探究发现，巩固已有的思想方法，建立认知基础。
（三）、探究·讲练互动：
问题（11）：例1及其1个变式和方法归纳。
【师生活动】：学生练习，教师点评。
【设计意图】：巩固所学椭圆的几何性质，并注意由椭圆方程求性质性质的条件。使学生养成善于观察，发现，思考，总结的好习惯。培养科学严谨的逻辑推理能力。
问题（12）：例2及其2个变式练习和方法归纳。
【教师】：让学生同桌讨论，得出思路。
【学生】：相互讨论，得出思路，黑板上板书解答过程。
【教师】:核对答案，点评，总结。
【设计意图】：让学生体会分类讨论思想，一题多解。
（四）、应用·巩固检测：
椭圆以坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________。
2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆x2+y2-2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是________。
3．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________。
【学生】：自己独立完成，。
【教师活动】：核对答案，教师点评。
（五）、总结·素能提升：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了椭圆的几个基本量a，b，c，e 例1
变式练习1
例2
变式练习2 小结
作业 七、教学评价设计
我设计以“学生”为主体的形成性评价方案，学生自评与小组互评相结合，自评分占40％，小组互评的平均分占60％，：
1．学生在预习环节、独立探究环节中体现出来的自主学习能力：
非常好（20分）?很好（16分）一般（12分）
2、学生能掌握解决测量距离的基本步骤与基本方法：
非常好（20分）?很好（16分）一般（12分）
3、学生的动手能力强，思维活跃有深度：
非常好（10分）?很好（8分）一般（6分）
4、学生在学习有愉悦的体验，发言积极主动：
非常好（20分）?很好（16分）一般（12分）
5、学生热衷于小组合作探究，善于发表自己的见解，善于倾听和评论别人的发言：
非常好（20分）?很好（16分）一般（12分）
6、对课后练习题的完成情况、准确率：
非常好（10分）?很好（8分）一般（6分）
八、帮助和总结
编制学习提纲，我以学习问题任务驱动式导学的方式引导学生做好课前预习，然后利用启发式、演示式教学，课前三分钟时间检查相关知识储备。师生间启发诱导和同学之间合作探究式的方式解决学生预习中存在的困惑。
然后在课堂通过同学之间知识大比拼，思维大对抗的方式对学生的学习、探究、讨论的结果等给予及时的评价、引导和总结，检测反馈，鼓励学生上黑板展示探究成果。
课堂结束时，引导学生对本节课综合性总结。
课后，通过布置课后作业来强化学习效果。
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