沪科版九年级上学期期末模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知△ABC∽△DEF且对应中线之比为9：16，则△ABC与△DEF的周长之比为（）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
3．如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，点C、D是线段AB与网格线的交点，则BC：CD：DA为（）
A．3：4：5 B．1：3：2
C．1：4：2 D．3：6：5
4．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（）
B．
C． D．
5．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（）
A． B．
C． D．
6．如图，平面直角坐标系中，△AOC的顶点A在y轴上，反比例函数的图象经过点C及AC边的中点B．若S△AOC＝6，则k的值为（）
﹣4 B．﹣6
﹣8 D．﹣9
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）米．
A．12 B．4 C．5 D．6
8．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①②③＝④＝，其中正确的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）
m B．6m C．15m D．m
10．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB、BC相交于点D、E，与对角线OB交于点F，以下结论：
①若△OAD与△OCE的面积和为2，则k＝2；
②若B点坐标为（4，2），AD：DB＝1：3，则k＝1；
③图中一定有；
④若点F是OB的中点且k＝6，则四边形ODBE的面积为12．
其中一定正确个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共4小题,合计20分，每小题5分）
11．已知函数y＝﹣x2+4x，当时，y随x的增大而增大．
12．当﹣2≤x≤1时，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有ymax＝4，则m＝
13．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过秒后，△APQ与△ABC相似．
14．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AED的值是．
三．解答题（共9小题，8+8+8+8+8+8+10+10+12+14）
15．计算：（2017﹣2016π）°﹣﹣|tan60°﹣2|+（）﹣1．
16．（1）解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点且过点B（2，﹣5），求该函数的解析式．
17．已知△ABC三个顶点的坐标分别A（0，2），B（3，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以原点为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1；
（3）在（2）中，△ABC内一点P（a，b）的对应点为P1，直接写出P1的坐标．
18．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．
（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；
（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？
若能，求出AP的长；若不能，说明理由．
19．如图，用高度为1.5米的测角仪分别在A处、E处测得线杆上的C处的仰角分别为30、60°（点B、F、D在同一条直线上）．如果BF＝4米，求电线杆CD的高度．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数y＝图象于A（，4），B（3，m）两点．
（1）求直线CD的表达式；
（2）点E是线段OD上一点，若S△AEB＝，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集．
21．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB＝9，BF＝7，求DE长．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0）、B（3，0）点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在直线l上确定一点P，使△PAC的周长最小，求出点P的坐标；
（3）若点D是抛物线上一动点，当S△ABC＝3S△ABD时，请直接写出点D的坐标．
23．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC?BD＝AD?BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
九上期末考试卷2参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴交点的个数．
【解答】解：∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0
∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．（5分）已知△ABC∽△DEF且对应中线之比为9：16，则△ABC与△DEF的周长之比为（）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF且对应中线之比为9：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为9：16，
∴△ABC与△DEF的周长之比为9：16，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
3．（5分）如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，点C、D是线段AB与网格线的交点，则BC：CD：DA为（）
A．3：4：5 B．1：3：2 C．1：4：2 D．3：6：5
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵BH∥CF∥DE，
∴BC：CD：AD＝FH：EF：AE＝1：3：2，
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
4．（5分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（）
A． B． C． D．
【分析】构造直角三角形，根据正切函数的定义得结论．
【解答】解：如图所示，连接格点C、D，则CD⊥AB
在Rt△ACD中，
tanA＝＝
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义．连接格点构造直角三角形是解决本题的关键．在直角三角形中，锐角的正切＝．
5．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b＜0，然后根据x＝﹣1，x＝1时函数图象的位置求出a﹣b+c和a+b+c的符号，最后确定出b2﹣4ac与c﹣2b的正负情况，从而确定出一次函数图象与反比例函数图象即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＜0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，此类题目通常根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及x的特殊值求出a、b、c的关系是解题的关键．
6．（5分）如图，平面直角坐标系中，△AOC的顶点A在y轴上，反比例函数的图象经过点C及AC边的中点B．若S△AOC＝6，则k的值为（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣9
【分析】过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，连接BO，则BE∥CF，于是得到BE＝CF，求得S△AOB＝3，设B（m，），则C（2m，），得到S△OBE＝S△AOB＝2，于是得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，连接BO，
则BE∥CF，
∵B为AC的中点，
∴AE＝EF，
∴BE＝CF，
∵S△AOC＝6，
∴S△AOB＝3，
设B（m，），则C（2m，），
∴EF＝OF，
∴AE＝EF＝OF，
∴S△OBE＝S△AOB＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，设的面积，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（5分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）米．
A．12 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意可以求得AC的长，再根据勾股定理即可求得AB的长，本题得以解决．
【解答】解：∵BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，
∴，
解得，AC＝6，
∴AB＝＝12，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．
8．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①②③＝④＝，其中正确的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，即可判断①②；证明△EOD∽△COB，根据相似三角形的性质得到＝，根据三角形的面积公式计算，判断③．
【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴＝，①错误；
∵DE＝BC，
∴＝，②正确；
＝，③错误；
∵DE∥BC，
∴△EOD∽△COB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，④正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．（5分）如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）
A．m B．6m C．15m D．m
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：长方形的面积＝大三角形的面积﹣两个小三角形的面积．
【解答】解：根据题意得：y＝30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），
整理得y＝﹣x2+12x，
＝﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，
＝﹣（x﹣）2+15，
∵
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故选：D．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
10．（5分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB、BC相交于点D、E，与对角线OB交于点F，以下结论：
①若△OAD与△OCE的面积和为2，则k＝2；
②若B点坐标为（4，2），AD：DB＝1：3，则k＝1；
③图中一定有；
④若点F是OB的中点且k＝6，则四边形ODBE的面积为12．
其中一定正确个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知△OAD与△OCE的面积相等，均为1，据此即可求出k的值；
②根据B点坐标为（4，2），AD：DB＝1：3，求出AD、AO的长，计算出△AOD的面积，据此即可求出k的值；
③根据△OAD与△OCE的面积相等，列出等式AD?AO＝OC?CE，然后写成比例式＝，再转化为＝，然后利用合比性质解答．
④根据反比例函数k的几何意义，求出S四边形OGFH＝6，进而得出S四边形ABCO＝6×4＝24，再求出S△AOD＝S△CEO＝6×＝3，从而得到四边形ODBE的面积．
【解答】解：①∵D、E均在反比例函数图象上，
∴S△OAD＝S△OCE，
又∵△OAD与△OCE的面积和为2，
∴S△OAD＝S△OCE＝1，
∴k＝2；故本选项正确；
②∵B点坐标为（4，2），
∴AB＝4，AO＝2，
∵AD：DB＝1：3，
∴AD＝1，AO＝2，
∴k＝1×2＝2；故本选项错误；
③∵△OAD与△OCE的面积相等，
∴AD?AO＝OC?CE，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴；
④∵k＝6，
∴S四边形OGFH＝6，
∴S四边形ABCO＝6×4＝24，
∴S△AOD＝S△CEO＝6×＝3，
∴S四边形ODBE＝24﹣3﹣3＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k的几何意义等知识，是一道综合题，要熟悉反比例函数的性质及四边形的性质．
二．填空题（共4小题）
11．已知函数y＝﹣x2+4x，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．
【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y＝﹣（x﹣2）2+4，由于a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，根据抛物线的性质可知当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，即可求出．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小；a＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．
12．当﹣2≤x≤1时，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有ymax＝4，则m＝2或﹣
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
【解答】解：∵当﹣2≤x≤1时，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有ymax＝4，
∴当m＞1时，x＝1时，函数取得最大值，
即4＝﹣（1﹣m）2+m2+1，
解得，m＝2；
当m＜﹣2时，x＝﹣2时，函数取得最大值，
即4＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1，
解得，m＝＞﹣2（舍去）；
当﹣2≤m≤1时，x＝m时，函数取得最大值，
4＝﹣（m﹣m）2+m2+1，
解得，m1＝，m2＝（舍去）；
由上可得，m的值是2或﹣，
故答案为：2或﹣．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
13．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过3或秒后，△APQ与△ABC相似．
【分析】分两种情形利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
【解答】解：由题意AP＝t，CQ＝2t，
∵AC＝12cm，
∴AQ＝（12﹣2t）cm，
当＝时，△APQ∽△ABC，
∴＝，
解得t＝3．
当＝时，△APQ∽△ACB，
∴＝，
解得t＝，
故答案为3或．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，注意一题多解．
14．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AED的值是．
【分析】连接BC、AD，求出∠ADC＝45°+45°＝90°，由勾股定理得出AD＝CD＝＝，证明四边形ACBD是平行四边形，得出DE＝CE＝CD＝，由勾股定理得出AE＝＝，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：连接BC、AD，如图所示：
由正方形的性质得：∠ADC＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得：AD＝CD＝＝，
∵AC∥BD，AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴DE＝CE＝CD＝，
∴AE＝＝＝，
∴sin∠AED＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握解直角三角形，证明四边形ACBD是平行四边形是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
15．计算：（2017﹣2016π）°﹣﹣|tan60°﹣2|+（）﹣1．
【分析】根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式＝1﹣﹣（2﹣）+
＝1﹣﹣2++﹣
＝﹣+．
【点评】本题考查了实数的运算，利用实数的运算是解题关键．
16．（1）解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点且过点B（2，﹣5），求该函数的解析式．
【分析】（1）先将方程右边的项移到左边，使右边为零，再利用因式分解法求解即可；
（2）设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，再将B（2，﹣5）代入求解即可．
【解答】解：（1）3x（x﹣1）﹣2+2x＝0，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣；
（2）设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入，得﹣5＝a（2+1）2+4，解得a＝﹣1，
则该函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出函数的解析式．也考查了解一元二次方程．
17．已知△ABC三个顶点的坐标分别A（0，2），B（3，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）以原点为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1；
（3）在（2）中，△ABC内一点P（a，b）的对应点为P1，直接写出P1的坐标．
【分析】（1）直接利用已知点坐标进而画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可；
（3）直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）P1坐标为：（2a，2b）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标是解题关键．
18．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．
（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；
（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；
（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵，
∴，
又∵BF＝15，
∴，
∴；
（Ⅱ）解：能．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴PB∥DC，AB＝DC＝8，
∴，
∴，
∴PA＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，用高度为1.5米的测角仪分别在A处、E处测得线杆上的C处的仰角分别为30、60°（点B、F、D在同一条直线上）．如果BF＝4米，求电线杆CD的高度．
【分析】根据正切的定义用CG表示出AG、EG，根据题意列出算式求出CG，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，四边形ABFE、四边形ABDG为矩形，
∴AE＝BF＝4，DG＝AB＝1.5，
在Rt△CAG中，tan∠CAG＝，
则AG＝CG，
在Rt△CEG中，tan∠CEG＝，
则EG＝CG，
由题意得，CG﹣CG＝4，
解得，CG＝2，
∴CD＝CG+DG＝1.5，
答：电线杆CD的高度为（1.5）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数y＝图象于A（，4），B（3，m）两点．
（1）求直线CD的表达式；
（2）点E是线段OD上一点，若S△AEB＝，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集．
【分析】（1）把点A（，4）代入中，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD的表达式；
（2）设E点的坐标为（0，b），求得D点的坐标为（0，6），得到DE＝6﹣b，根据S△DEB﹣S△DEA＝S△AEB
得出关b的方程，解方程求得b，从而求得E点的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【解答】（1）把点A（，4）代入中，得：，
解得n＝6
∴反比例函数的解析式为，
将点B（3，m）代入得m＝2，
∴B（3，2）
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则有，解得
∴直线CD的表达式为；
（2）设E点的坐标为（0，b）令x＝0，则y＝6
∴D点的坐标为（0，6）DE＝6﹣b
∵S△DEB﹣S△DEA＝S△AEB
∴，
解得：b＝1，
∴E点的坐标为（0，1）；
（3）不等式kx+b≤的解集是．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
21．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB＝9，BF＝7，求DE长．
【分析】首先由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，根据相似三角形的性质可知：，设DE＝x，则EC＝9﹣x，代入计算求出x的值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD＝BC＝AB＝9，∠D＝∠C＝90°，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥EF于E，
∴∠AED+∠FEC＝90°，
∴∠DAE＝∠FEC，
∴△ADE∽△ECF，
∴，
设DE＝x，则EC＝9﹣x，
∴，
解得x1＝3，x2＝6，
∵DE＞CE，
∴DE＝6．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE＝x，利用方程思想解决几何问题．
22．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，求小球从飞出到落地所用的时间．
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】解：依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．
23．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC?BD＝AD?BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得结论；
（2）①根据两边成比例且夹角相等证明△ACD∽△BCE；
②先根据等腰直角三角形的性质得：＝，证明△ACB∽△DCE，得，代入所求的式子可得结论．
【解答】证明：（1）如图1，延长CD交AB于E，
∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD，
∠BDE＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC?BD＝AD?BC，BD＝BE，
∴，
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵，
∴△ACB∽△DCE，
∴，
∴＝＝＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是②中，需要将比例式变形后才能得出结论．
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