大一上学期高数期末考试
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
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（A）（B）（C）（D）不可导.
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（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；
（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小.
若，其中在区间上二阶可导且，则（）.
（A）函数必在处取得极大值；
（B）函数必在处取得极小值；
（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；
（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。
（A）（B）（C）（D）.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
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三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
设函数由方程确定，求以及.
设函数连续，，且，为常数.求并讨论在处的连续性.
求微分方程满足的解.
四、解答题（本大题10分）
已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.
求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.
设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1、D2、A3、C4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
.6..7..8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
解：方程两边求导
，
解：
解：
解：由，知。
，在处连续。
解：
，
四、解答题（本大题10分）
解：由已知且，
将此方程关于求导得
特征方程： 解出特征根：
其通解为
代入初始条件，得
故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：
由于切线过原点，解出，从而切线方程为：
则平面图形面积
（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
证明：
故有：
证毕。
证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且
由题设，有，
有，由积分中值定理，存在，使即
综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在
和，使及，即.
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