7二次根式
第1课时二次根式的概念和性质
教学目标
【知识与技能】
1.了解二次根式及最简二次根式的概念.
2.会化简二次根式.
3.理解并掌握二次根式的性质.
【过程与方法】
经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.
【情感、态度与价值观】
积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣.
教学重难点
【重点】
理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.
【难点】
化简二次根式.
教学过程
一、知识回顾,引入新课
师:同学们还记得平方根的概念吗?
生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.
师:什么叫做算术平方根呢?
生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.
师:很好!非负数a的算术平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的内容.
二、讲授新课
师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?
,,,,(其中b=24,c=25).
生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.
师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:
=,×=;?
=,×=;?
=,×=;?
=,÷=.?
学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.
=,÷=.?
师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗?
学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.
师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:
(1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=·(a≥0,b≥0);
(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a≥0,b>0).
师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.
三、例题讲解
【例1】化简:
(1);(2);(3).
【答案】(1)=×=9×8=72;
(2)=×=5;
(3)==.
例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
【例2】化简:
(1);(2);(3).
【答案】(1)==×=5;
(2)===;
(3)==.
判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.
【例3】先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01).
(1);(2);(3).
(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)
【答案】(1)===·=12≈20.78;
(2)===≈1.01;
(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.
四、巩固练习
1.化简:
;(2);(3);(4)
【答案】(1)165(2)4(3)(4)
2.化简:-
【答案】原式=-=.
3.若b>0,x<0,化简:-.
【答案】原式=-=-=-=.
五、课堂小结
师:通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗?
学生发言,教师予以点评.
第2课时二次根式的运算(1)
教学目标
【知识与技能】
1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.
2.会进行简单的二次根式乘除以及加减运算.
3.会进行二次根式的四则混合运算.
【过程与方法】
让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.
【情感、态度与价值观】
培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.
教学重难点
【重点】
二次根式的乘除以及加减运算.
【难点】
熟练地进行二次根式的四则混合运算.
教学过程
一、复习归纳
1.二次根式的性质:(1)()2=a(a≥0)
(2)=(3=·)(a≥0,b≥0)(4)=(a≥0,b>0)
2.想一想:你能计算吗?
(1)×;(2)×;(3)×.
师:先计算每组数中的左边的式子,再计算右边的式子.它们相等吗?你发现了什么?
学生先独立完成,然后分组讨论交流,再集体订正.
3.提出问题.
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运煤多少吨??
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运煤多少吨??
这是以前学过的多项式加减法,同类项可以合并,想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗?请尝试计算以下几题.
(1)3+4;(2)+;(3)++4.
二、讲授新课
1.在学生进行练习后进行总结.
①二次根式的乘除运算法则.
=·(a≥0,b≥0)
=(a≥0,b>0)
即将二次根式的性质等式左右两边对换,就得到二次根式的乘法法则和除法法则.
②二次根式的加减运算法则.
师:与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并.
下列计算结果哪些正确,哪些不正确?
+=;a+=a;-=;
a+b=(a+b);
-=-=0.
学生回答,教师予以订正.
③二次根式的四则混合运算.
二次根式即可以进行乘除运算,也可以进行加减运算.以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.说说下列算式的运算顺序,并计算出结果.
(+)·
(+)·56
×+×
2.例题学习.
【例1】计算.
(1)×;(2);(3).
(归纳二次根式的乘除运算的一般步骤:(1)运用法则,化归为根号内的实数运算;(2)完成根号内乘除运算;(3)化简二次根式.)
【答案】(1)×===;
(2)==;
(3)====.
【例2】计算:
(1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;
(4)(+3)(-3);(5)-×;
(6)
【答案】(1)3×2=3×2×=6;
(2)×-5=-5=-5=6-5=1;
(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;
(4)(+3)(-3)=()2-32=13-9=4;
(5)(-)×=×-×=-=6-1=5;
(6)=+=+=2+3=5.
【例3】计算:
(1)+;(2)-;(3)(+)×.
【答案】(1)+3=+=×+=4+=5;
(2)-=-=-=;
(3)(+)×=+=+=2+3=5.
三、课堂小结
师:本节课我们学习了哪些知识?还有什么疑惑的地方吗?
师生共同总结.
第3课时二次根式的运算(2)
教学目标
【知识与技能】
1.巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.
2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.
【过程与方法】
引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.
【情感、态度与价值观】
体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.
教学重难点
【重点】
进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算.
【难点】
熟练进行二次根式的四则混合运算.
教学过程
一、引入新课
师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了二次根式的相关运算法则,这节课我们进一步来学习二次根式的加减乘除混合运算.
二、例题讲解
【例1】先化简,再求出近似值(精确到0.01).
--
(二次根式加减运算的一般步骤是:先化简,再合并.)
【答案】原式=--=2--=(2--)=≈1.73.
【例2】计算.
(1)-3×;
(2)(-3)·;
(3)(-)÷.
(说明:(1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减;(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用;(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简.)
【答案】(1)原式=3-6=-3;
(2)原式=·-3·=-3=-9;
(3)原式=÷-÷=-=4-3=1.
【例3】计算:
(1)-;(2)-8+;
(3)(-)÷;(4)+-.
【答案】(1)-=-
=-=;
(2)-+=-+
=3-2+=;
(3)(-)÷=÷-÷
=-=-=-=2-=;
(4)+-=+-=+-3=-+.
在上面第(4)题中,很容易看出,化成最简二次根式后与,化简后的被开方数不可能相同,因此,结果中可以保留,不必将它化成最简二次根式.
三、课堂小结
师:本堂课我们学到了什么新知识?
学生发言,教师予以补充.
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