6二元一次方程与一次函数
教学目标
【知识与技能】
理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组.
【过程与方法】
学习用函数的观点看待方程组的方法,进一步感受数形结合的思想方法.
【情感、态度与价值观】
培养学生的数形结合的思想以及用函数观点看待数学问题的辩证思想.
教学重难点
【重点】
二元一次方程组与两直线交点坐标之间的关系的理解.
【难点】
对应关系的理解以及对实际问题的探究.
教学过程
一、回顾旧知,引入新课
我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用加减法,我们如何用函数的观点来看待方程组的解呢?
我们知道,任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式,也就是说对每个二元一次方程都对应一个一次函数,于是它也就对应一条直线.任何一个二元一次方程组都可以看成是两个一次函数的组合,也就对应两条直线.
比如可化为(1)
对于(1),根据方程组的解的意义和函数的观点,就是求当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=-x+和直线y=2x-1的交点坐标,这样我们可以利用画图象的方法求交点的坐标,进而求得二元一次方程组的解.
二、讲授新课
想一想:根据下列图象,你能说出这些图象表示的是哪些方程组的解?这些解是什么?
注:此题忽略解方程组与画图象这些已会环节,让学生直观感受本节课的主题.
练一练:利用函数图象解方程组:
师分析:这两个二元一次方程各对应一个一次函数,也就是各对应一条直线.如果这两条直线有交点,那么交点坐标就是这个方程组的解.
让学生自己练习画直线,再求出方程组的解.
学生解:由2x-y=0可得y=2x;由3x+2y=7可得y=-x+.
在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x的图象l1和y=-x+的图象l2,如右图所示.观察图象,得出l1和l2的交点为(1,2).
所以方程组的解为
总结1:两个一次函数图象的交点坐标?二元一次方程组的解.
再想想:你能不通过画图象求直线y=3x+9与直线y=2x-7的交点坐标吗?
让学生先思考再进行讨论.
师:前面讲过,两条直线的交点坐标就是方程组的解,如果我们能先求出方程组的解,它不就是两直线的交点坐标嘛.
学生恍然大悟,连连点头,让学生自己写出过程,教师予以纠正.
总结2:二元一次方程组的解?两个一次函数图象的交点坐标.
师:一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
下面我们再来看一个问题:
在同一直角坐标系内,一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系?方程组解的情况如何?你发现了什么?
生:在同一直角坐标系中,一次函数y=x+1与y=x-2的图象互相平行.
师:很好!那么方程组解的情况如何呢?
生:这个方程组无解.
师:由此,同学们能得到什么结论.
生:在同一直角坐标系中,如果两条直线相互平行,那么这两条直线所对应的一次函数表达式组成的二元一次方程组无解.
师:很好!在以后的学习过程中,同学们要善于运用数形结合的思想来解决问题,做到所学知识之间的融会贯通.
三、巩固练习
1.方程组的解为,则直线y=-x+15和y=x-7的交点的坐标是.?
【答案】(11,4)
2.利用函数图象解方程组
【答案】图象略
四、课堂小结
本节课通过分析探究得出结论:两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的一次函数的表达式所组成的二元一次方程组的解.这有两个方面的应用:一方面,可以根据图象的交点坐标求出方程组的解;另一方面,先求出方程组的解,也就知道了这两条直线的交点坐标.这进一步体现了数形结合的思想.
|
|
