3平行线的判定
教学目标
【知识与技能】
1.证明并掌握平行线的另两个判定定理,即内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.
2.经历平行线判定定理的推导过程,了解推理、证明的方法步骤和格式.
【过程与方法】
通过经历利用平行线第一个判定定理简单论证平行线的另两个判定定理的过程,进一步掌握平行线的判定方法,领悟归纳和转化数学思想方法.
【情感、态度与价值观】
通过判定公理的证明、推导,进一步发展空间观念,培养学生的逻辑推理能力.
教学重难点
【重点】
在观察实验的基础上进行平行线定理的推导.
【难点】
证明平行线的判定定理.
教学过程
一、复习引入
1.什么叫做平行线?(同一平面内,两条直线不相交,就叫做平行线)
2.什么叫做同位角、内错角和同旁内角?
(在黑板上画出右图,指出在直线a、b被直线c所截成的角中,∠1与∠2是同位角,∠2与∠3是内错角、∠2与∠4是同旁内角)
3.前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件?
4.通过前面的学习我们知道,判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明,那么,利用“同位角相等,两直线平行”这个基本事实,你能证明它们吗?我们一起来试一试.
二、探索新知
1.证明一.
(1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内错角相等,两直线平行.
(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言,谁能说一说,怎么转化?
(画出两条直线a、b,被第三条直线c所截,标出内错角∠1、∠2,表示如果∠1=∠2,那么a∥b)
(3)怎么证明呢?请写出完整的证明过程.
已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),∴∠3=∠2(等量代换).∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
2.证明二.
(1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补,两直线平行.
(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二.
(3)讨论:要由同旁内角互补证明两直线平行,要怎么证明?
(我们知道有定理“同位角相等,两直线平行”,如果能由同旁内角互补推出同位角相等,那么根据已有的这个定理就能证明出两直线平行)
(4)学生板书证明过程.
3.变式训练,培养能力.(出示投影)
(1)如图1所示,由∠DCE=∠D,可判断哪两条直线平行?由∠1=∠2,可判断哪两条直线平行?
(2)如图2,已知∠1=45°,∠2=135°,l1∥l2吗?为什么?
学生活动:学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出各种答案.
三、例题讲解
【例1】已知:如图,AB⊥EF,E、F分别为垂足.直线AB与CD平行吗?请说明理由.
【答案】AB∥CD.理由如下:
由已知AB⊥EF,CD⊥EF,
根据垂直的定义,得∠1=∠2=90°.
∴AB∥CD.
由此可以得到,在同一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
【例2】如下图所示,AC⊥CD于点C,∠1与∠2互余.判断AB、CD是否平行,并说明理由.
【答案】AB∥CD.理由如下:如图所示,
由已知AC⊥CD,
根据互余的意义,得∠2与∠3互余.
又已知∠1与∠2互余,
根据“同角的余角相等”,得∠1=∠3.
根据“内错角相等,两直线平行”,可得AB∥CD.
【例3】如图所示,AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90°.判断AB、CD是否平行,并说明理由.
【答案】AB∥CD.理由如下:
已知AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,根据角平分线的意义,知∠1=∠BAC,∠2=∠ACD,
∴∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=2×90°=180°.
根据“同旁内角互补,两直线平行”,得AB∥CD.
四、提升练习
已知直线a、b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a、b的位置关系,并说明理由.
【答案】a∥b,可以用平行线的三种判定方法加以说明,其一:因为∠1+∠2=180°,又∠3=∠1(对顶角相等),所以∠2+∠3=180°,所以a∥b(同旁内角互补,两直线平行),其他略.
五、课堂小结
可以采用师生问答的方式或先让学生归纳,然后教师补充的方式进行,发挥学生的主体作用,培养学生的归纳能力.
学生能由教师的引导思考:
通过本节课的学习,你学习了什么知识?你有什么收获呢?你还有哪些困惑呢?能谈一谈你的想法吗?
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