《第22章二次函数》
一、选择题
1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）
A．2xyx2=1 B．y2﹣ax2=0 C．yx2﹣2=0 D．x2﹣y24=0
2．设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=
3．已知抛物线y=x2﹣8xc的顶点在x轴上，则c等于（）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
4．若直线y=axb不经过二、四象限，则抛物线y=ax2bx+c（）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴
5．一次函数y=axb与二次函数y=ax2bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）
A． B． C． D．
6．已知抛物线y=﹣x2mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）
A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0
7．对于函数y=﹣x22x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）
A．x﹣1 B．x0 C．x0 D．x﹣1
8．抛物线y=x2﹣（m2）x3（m﹣1）与x轴（）
A．一定有两个交点 B．只有一个交点
C．有两个或一个交点 D．没有交点
9．二次函数y=2x2mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12x22=，则m的值为（）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对
10．对于任何的实数t，抛物线y=x2（2﹣t）xt总经过一个固定的点，这个点是（）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）
二、填空题11．抛物线y=﹣2xx2+7的开口向______，对称轴是______，顶点是______．
12．若二次函数y=mx2﹣3x2m﹣m2的图象经过原点，则m=______．
13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．
14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______．
15．已知二次函数y=x2﹣6xn的最小值为1，那么n的值是______．
16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是______．
17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．
18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则ABC的面积是______．
19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为______．
20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______．
三、解答题
21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
22．把抛物线y=ax2bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x24x+1重合．请求出a，b，c的值．
23．二次函数y=ax2bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当AMC的面积为ABC面积的倍时，求a的值．
24．对于抛物线y=x2bx+c，给出以下陈述：
①它的对称轴为x=2；
②它与x轴有两个交点为A、B；
③APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．
求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．
25．分别写出函数y=x2ax+3（﹣1x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：
（l）0a＜；（2）a2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）
26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，
（1）如图甲：在OA上选取一点D，将COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；
（2）如图乙：在OC上选取一点F，将AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．
①求折痕AF所在直线的解析式；
②再作GHAB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．
（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KLAB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．
《第22章二次函数》
参考答案
一、选择题
1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）
A．2xyx2=1 B．y2﹣ax2=0 C．yx2﹣2=0 D．x2﹣y24=0
【解答】解：A、2xyx2=1当x0时，可化为y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；
B、y2﹣ax2=0可化为y2=ax﹣2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；
C、yx2﹣2=0可化为y=x22，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；
D、x2﹣y24=0可化为y2=x24的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．
故选C．
2．设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=
【解答】解：作出BC边上的高AD．
ABC是等边三角形，边长为x，
CD=x，
高为h=x，
y=x×h=x2．
故选：D．
3．已知抛物线y=x2﹣8xc的顶点在x轴上，则c等于（）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
【解答】解：根据题意，得=0，
解得c=16．
故选D．
4．若直线y=axb不经过二、四象限，则抛物线y=ax2bx+c（）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴
【解答】解：直线y=axb不经过二、四象限，a＞0，b=0，
则抛物线y=ax2bx+c开口方向向上，对称轴x==0．
故选A．
5．一次函数y=axb与二次函数y=ax2bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由一次函数y=axb的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2bx+c的图象应该开口向上，错误；
B、由一次函数y=axb的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax2bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＜0，错误；
C、由一次函数y=axb的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax2bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣＜0，正确．
D、由一次函数y=axb的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax2bx+c的图象应该开口向下，错误；
故选C．
6．已知抛物线y=﹣x2mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（）
A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0
【解答】解：根据顶点坐标公式，得
横坐标为：=﹣1，解得m=﹣2；
纵坐标为：=﹣3，解得n=﹣4．
故选B．
7．对于函数y=﹣x22x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）
A．x﹣1 B．x0 C．x0 D．x﹣1
【解答】解：y=﹣x22x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，
a=﹣10，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
当x1时，y随x的增大而增大，
故只有选项C，D这两个范围符合要求，又因为C选项范围包括选项D的范围，
故选：C．
8．抛物线y=x2﹣（m2）x3（m﹣1）与x轴（）
A．一定有两个交点 B．只有一个交点
C．有两个或一个交点 D．没有交点
【解答】解：根据题意，得
=b2﹣4ac=﹣（m2）2﹣41×3（m﹣1）=（m﹣4）2
（1）当m=4时，=0，即与x轴有一个交点；
（2）当m4时，0，即与x轴有两个交点；
所以，原函数与x轴有一个交点或两个交点，故选C．
9．二次函数y=2x2mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12x22=，则m的值为（）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对
【解答】解：二次函数y=2x2mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12x22=，
x12+x22=（x1x2）2﹣2x1x2=﹣2（﹣）=，
解得：m=3，
故选：C．
10．对于任何的实数t，抛物线y=x2（2﹣t）xt总经过一个固定的点，这个点是（）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）
【解答】解：把y=x2（2﹣t）xt变形得到（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x，
对于任何的实数t，抛物线y=x2（2﹣t）xt总经过一个固定的点，
1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0，
x=1，y=3，
即这个固定的点的坐标为（1，3）．
故选D．
二、填空题
11．抛物线y=﹣2xx2+7的开口向上，对称轴是x=1，顶点是（1，6）．
【解答】解：y=x2﹣2x7=（x﹣1）26，
二次项系数a=10，抛物线开口向上，
顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1．
故答案为：上，x=1，（1，6）．
12．若二次函数y=mx2﹣3x2m﹣m2的图象经过原点，则m=2．
【解答】解：由于二次函数y=mx2﹣3x2m﹣m2的图象经过原点，
代入（0，0）得：2m﹣m2=0，
解得：m=2，m=0；
又m≠0，
m=2．
故答案为：2．
13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是y=2（x1）23．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；
可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2k，代入得：y=2（x1）23．
14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是﹣．
【解答】解：当x=1时，y=ax2=a；
当x=2时，y=ax2=4a，
所以a﹣4a=4，解得a=﹣．
故答案为：﹣．
15．已知二次函数y=x2﹣6xn的最小值为1，那么n的值是10．
【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9n，
函数的最小值是1，
﹣9n=1，
n=10．
故答案为：10．
16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．
【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），
x1+x2=2，x1?x2=﹣3，
x1﹣x2===4，
抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．
故答案为：4．
17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是S=﹣x23x，自变量x的取值范围是0x＜3．
【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x23x．
自变量x的取值范围是：0x＜3．
故答案为：S=﹣x23x，0x＜3．
18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则ABC的面积是5．
【解答】解：令x=0，则y=﹣5，即A（0，﹣5）；
设B（b，0），C（c，0）．
令y=0，则x2﹣2x﹣5=0，
则bc=2，bc=﹣5，
则b﹣c===2，
则ABC的面积是×5×=5．
故答案为5．
19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x．
【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax2bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，
解得．
所以此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x，
故答案为：y=﹣x2﹣x．
20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是y=﹣x23．
【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），
则设抛物线解析式为：y=ax23，故0=9a3，
解得：a=﹣，
即抛物线解析式为：y=﹣x23．
故答案为：y=﹣x23．
三、解答题
21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣2=3，即a=5，
此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
22．把抛物线y=ax2bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x24x+1重合．请求出a，b，c的值．
【解答】解：将y=2x24x+1
整理得y=2x24x+1=2（x1）2﹣1．
因为抛物线y=ax2bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x24x+1=2（x1）2﹣1，
所以将y=2x24x+1=2（x1）2﹣1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y=ax2bx+c，
故y=ax2bx+c=2（x1﹣2）﹣11=2（x﹣1）=2x2﹣4x2，
所以a=2，b=﹣4，c=2．
23．二次函数y=ax2bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当AMC的面积为ABC面积的倍时，求a的值．
【解答】解：（1）由图象可知：a0
图象过点（0，1），
所以c=1，图象过点（1，0），
则ab+1=0
当x=﹣1时，应有y0，则a﹣b1＞0
将ab+1=0代入，可得a（a1）1＞0，
解得a﹣1
所以，实数a的取值范围为﹣1a＜0；
（2）此时函数y=ax2﹣（a1）x1，
M点纵坐标为：=，
图象与x轴交点坐标为：ax2﹣（a1）x1=0，
解得；x1=1，x2=，
则AC=1﹣=，
要使SAMC=××==S△ABC=?
可求得a=．
24．对于抛物线y=x2bx+c，给出以下陈述：
①它的对称轴为x=2；
②它与x轴有两个交点为A、B；
③APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．
求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．
【解答】解：抛物线y=x2bx+c=（x）2，抛物线y=x2bx+c的对称轴为x=2，
﹣=2，则b=﹣4，
P点的纵坐标是=c﹣4，
又它与x轴有两个交点为A、B，
=b2﹣4ac=16﹣4c0，且AB===2
解得c4，①
又APB的面积不小于27，
×2×|c﹣1627，即×|c﹣1627②
由①②解得c﹣5．
综上所述，b的值是﹣4，c的取值范围是c﹣5．
25．分别写出函数y=x2ax+3（﹣1x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：
（l）0a＜；（2）a2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）
【解答】解：对称轴x=﹣=﹣，
（1）当0a＜时，即﹣＜﹣＜0，当x=﹣时有最小值，最小值y=（﹣）2a×（﹣）3=3，
（2）当a2.3．即﹣＜﹣1.1，在﹣1x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=（﹣1）2a×（﹣1）3=4﹣a．
26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，
（1）如图甲：在OA上选取一点D，将COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；
（2）如图乙：在OC上选取一点F，将AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．
①求折痕AF所在直线的解析式；
②再作GHAB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．
（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KLAB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．
【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形，
OD=OC=6，
D（6，0），C（0，6），
设直线CD的解析式为y=kxb，
则，解得，
直线CD的解析式为y=﹣x6．
（2）①在直角ABG中，因AG=AO=10，
故BG==8，CG=2，
设OF=m，则FG=m，CF=6﹣m，
在直角CFG中，m2=（6﹣m）222，解得m=，
则F（0，），
设直线AF为y=k′x，将A（10，0）代入，得k′=﹣，
AF所在直线的解析式为：y=﹣x．
②GH∥AB，且G（2，6），可设H（2，yF），
由于H在直线AF上，
把H（2，yF）代入直线AF：yF=﹣×2+=，
H（2，），
又H在抛物线上，=﹣×22+h，解得h=3，
抛物线的解析式为y=﹣x23，
将直线y=﹣x，代入到抛物线y=﹣x23，
得﹣x2x﹣=0，
=﹣4（﹣）（﹣）=0，
直线AF与抛物线只有一个公共点．
（3）可以猜想以下两个结论：
①折痕IJ所在直线与抛物线y=﹣x23只有一个公共点；
②经过K作KLAB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y=﹣x23上．
验证①，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D，
将折痕CD：y=﹣x6代入y=﹣x23中，得﹣x2x﹣3=0，
=1﹣4（﹣）（﹣3）=0，
折痕CD所在的直线与抛物线y=﹣x23只有一个公共点．
验证②，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），
当x=6时，y=﹣×62+3=0，
点L在这条抛物线上．
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