平面向量知识点归纳平面向量
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：
02．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；AB
AB3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
共线的单位向量是)；
?|AB|
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
abab5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；
0③平行向量无传递性！（因为有)；AB、
AC?A、B、C④三点
共线共线；aa6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如a?ba?b下列命题：（1）若
，则。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若a?b,b?cAB?DCAB?DCa?cABCDABCD，
则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。a//b,b//ca//c（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
AB1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
，注意起点在前，终点在后；
abc2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
iyxj3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，
为基底，则平面内的
??????aaaax,yx,ya?
xi?yj?x,y任一向量可表示为，
称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有
12????一对实数、，使a=e＋e。如12212113
a?(1,1),b?
(1,?1),c?(?1,2)c?a?b（1）若，则______（答：）；
22
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是e?(0,0),e?(1,?2)e?(?1,2),e?(5,7)A.B.
121213
e?(3,5),e?(6,10)e?(2,?3),e?(,?)C.
D.
121224
（答：B）；
a,bBC,ACAD,BEAD?a,BE?bBC?ABC（3）已知分别是的边上的中线,且
,则可用向量表示为24
a?b_____（答：）；
33
???
???
???
???
???
r?sCD?2DBCD?rAB?sAC?ABCBCD（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___
（答：0）
??
a
a四．实数与向量的积：实数
与向量
的积是一个向量，记作
，它的长度和方向规定如下：
??????????aaaa1a?a,2当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，
???aa?0当＝0时，，注意：≠0。
1
五．平面向量的数量积：
?abOA?
a,OB?b?AOB?1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
?
????????abababa0??称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝
时，，2
b垂直。
??abab|a||b|cos2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的?
a
bababcos??数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注
意数量积是一个实数，不再是一个向量。如
?
11dcka?(1,
),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b（1）已知，与的夹角为，则等于____224
（答：1）；
a?2,b?5,ab??3a?b（2）已知
，则等于____
23（答：
）；
a与a?ba?b?a?ba,b（3）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____
30（答：）
?ba|b|cos3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如12
?
???
??|a|?3|b|?5aba?b?12已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）5
a
bababa|a|??4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。
?ab5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：a
?b?a?b?0①；
22
2
ababababab
??a
?a?a?a,a?a
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝
a?b?
?cos?
ab|a?b|?|a||b|ab－
；③非零向量，夹角的计算公式：；④。如
ab
?
?
?
?
????a
?(,2)b?(3,2)ab（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______
41
???????0（答：或且）；
33
六．向量的运算：
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量AC
a
b
AB?a,BC?b
加法还可利用“三角形法则”：设
，那么向量
叫做
与
的和，即
a?b?AB?BC?AC；
AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA②向量的减法：用“三角形法则”：设
，由减向量的终点
指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如
(AB?CD)?(AC?BD)?AB?BC?CD?AB?AD?DC?（1）化简：①___；②____；③_____
CB0AD（答：①
；②；③）
；AB?a,BC?b,AC?c|a?b?c|ABCD（2）若正方形的边长为1，
，则＝_____
2
2（答：）；
a?(x,y),b?(x,y)2．坐标运算：设，则：1122y?y)a?b?(x?x①向量的加减法运算：，。如
1212
2
???AP?AB?AC(?R)A(2,3),B(5,4)C(7,10)（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、
三象限的角平分线上
1（答：
）；2
F?(3,4),F?(2,?5),F?(3,1)F?F?F?FA(1,1)（2）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐
123123标是
（答：（9,1））
????????a?x,y?x,y②实数与向量的积：。
1111??A(x,y),B(x,y)AB?x?x,y?y③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段
11222121的终点坐标减去起点坐标。如
1
AD?3ABA(2,3),B(?1,5)AC?AB设
，且，，则C、D的坐标分别是__________
3
11
(1,
),(?7,9)（答：）
；3
a?b?
xx?yy④平面向量数量积：。如
1212?
abcac已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）,若x＝
，求向量、的夹角；3
2
22222|a|?
x?y,a?|a|?x?y⑤向量的模：。如
13a,b|a?3b|60已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；
2
2
????????
|AB|?x?x?y?yAx,y,Bx,y⑥两点间的距离：若，则。
21211122
七．向量的运算律：
??
??????a?b
?b?aa?b?b?aa?a1．交换律：，，；
?????????????a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?ca?b?a?b?a?b2．结合律：，；??????????????a?a?a,a?b?a?ba?b?c?a?c?b?c3．分配律：，。
如
?
?
?
????????????
?
2
2a?(b?
c)?a?b?a?ca?(b?c)?(a?b)?c?|a|(a?b)下列命题中：①；②；③
??
??
???
22
2
a?ca?b?c?b,?2|a|?|b|?|b|
a?0b?0a?b
?0a?a
；④若，则或；⑤若则；⑥；
a?bb2
2
2
2
2
2?
(a?b)
?a?b(a?b)?a?2a?b?b⑦
；⑧；⑨。其中正确的是_____（答：①⑥⑨）
2
a
a
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记a(b?c)?(a?b)c两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？
22??(a?b)?(|a||b|)a//b?a?b
?xy?yx八．向量平行(共线)的充要条件：＝0。如
1212abxa
?(x,1),b?(4,x)(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；
a?(1,1),b?(4,x)u?a?2bv?2a?bu//v＝（2）已知，，，且，则x______（答：4）；PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)＝（3）设，则k_____时，A,B,C共线（答：－2或11）
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?xx?yy?0九．向量垂直的充要条件：.
1212如
3
OA?(?1,2),OB?(3,m)OA?OBm?(1)已知，若，则（答：
）；
2
?B?90?（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；n?(a,b),n?mm(b,?a)或(?b,a)n?m（3）已知向量，且，则的坐标是________（答：）
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