一次函数知识点汇总
一次函数知识点
1．函数的概念：
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．
在某一变化过程中，有两个量，如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变yyxxx量，是因变量，此时称是的函数．
yyx1：下列各图给出了变量x与y之间的函数是：【】
2．表示方法
2?（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：，．S?RS?30t（2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
3．关于函数的关系式(解析式)的理解：
（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．y?4x（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．xy例如：中是自变量，是的函数．y?2x?4x（3）函数关系式在书写时有顺序性．
1?y
yy例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．y??3x?1xxx?
3
yy（4）求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．
xxx1
4．自变量的取值范围：
很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如中，自变量受到开平y?x?1x方运算的限制，有即；
x?1x?1?0当汽车行进的速度为每小时公里时，它行进的路程与时间的关系式为；这里的实际意义影tt80s?80ts响的取值范围应该为非负数，即．
ttt?0在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：（1）整式型：一切实数
（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为．0（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可
x?2
y?
例题4：函数中的自变量x的取值范围是【】x?1
A、x≥－2B、x≠1C、x＞－2且x≠1D、x≥－2且x≠1
x?1?4y?
例题5：函数中的自变量x的取值范围为_________________
2x?2x?24
214x?x?48
y?例题6：函数中的自变量x的取值范围为_________________
x?7
例题7：若等腰三角形周长为30，一腰长为a，底边长为L，则L关于a的函数解析式为.5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系：?yyy?y（1）图像在图像的上方1212?yyy?y（2）图像在图像的下方
1212y
y
yy21yy2
1
x
x
O
xxO
xx1
2
1
2
2
yy?y?0?y?0（3）特别说明：图像在x轴上方；图像在x轴下方
例题8：直线l：y＝kx＋b与直线l：y＝kx＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的1122不等式kx＋b＜kx＋c的解集为【】
12A、x＞1B、x＜1C、x＞－2D、x＜－2
xxy?kx?b(k?0)(3，0)kx?b?0例题9：如图，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是【】x?3x?3x?0x?0A．B．C．D．7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．y?2x?4例题10：画出函数的图像
8．函数解析式与函数图象的关系：
（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．
9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断6
例题11：下列各点中，在反比例函数y＝
图象上的是【】x
A．（－2，3）B．（2，－3）C．（1，6）D．（－1，6）10．一次函数及其性质知识点一：一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即y?kxy?kx?bkbk?0b?0是前一节所学过的正比例函数．
3
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．y?kx?b⑵当，时，仍是一次函数．y?kxb?0k?0⑶当，时，它不是一次函数．
b?0k?0⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．知识点二：一次函数的图象及其画法
⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
y?kx?bk?0kb⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
????0，
01，k①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；b??
??②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．0，
b?，0b?0??k??
??⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线
x，yy?kx?b??，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以
x，yy?kx?by?kx?blll通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．y?kx?by?kx?by?kx?bl
知识点三：一次函数的性质
y⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；y?kx?bk?0x⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．yy?kx?bk?0x
知识点四：一次函数的图象、性质与、的符号
y?kx?bkb??k?kx?bk?0
一次函数
k?0k?0kb，符号
b?0b?0b?0b?0b?0b?04
y
y
y
y
y
y
图象
O
O
OO
O
O
x
x
xxxx
随的增大而增大随的增大而减小
yyxx性质
字母k，b的作用：k决定函数趋势，b决定直线与y轴交点位置，也称为截距.倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的平移：b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋bbb＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移个单位，对应解析式为：y＝kx－b口诀：“上＋下－”
将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m）将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m）口诀：“左＋右－”
知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式
⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方x，y程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．y?kx?b例题12：一次函数的图象只经过第一、二、三象限，则【】k?0，b?0k?0，b?0k?0，b?0k?0，b?0A．
B．C．D．
yy?kx?b例题13：如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【】k?0b?0k?0b?0k?0b?0k?0b?0A．，
B．，
C．，
D．，
y例题14：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数的图象与轴交点的坐标.
5
(2k?1)x?(k?3)y?k?11?0例题15：已知一次函数，试说明：不论k为何值，这条直线总要经过一个定点，并求出这个定点.
例题16：一次函数y＝ax＋b的图像关于直线y＝－x轴对称的图像的函数解析式为______例题17：某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租yx车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程（单位：千米）与所用时间（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．
yx（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．
例题18：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．
6
b
例题19：已知一次函数y＝ax＋4与y＝bx－2的图象在x轴上相交于同一点,则
的值是【】a
11
A、4B、－2C、D、－
22例题20：求直线y＝2x－1与两坐标轴所围成的三角形面积.
y?kx?bk?0y?kx?bk?011．直线（）与（）的位置关系111222?k?kb?b（1）两直线平行且1212?k?k（2）两直线相交
12?k?kb?b（3）两直线重合且1212?kk??1（4）两直线垂直
12y?x?1例题21：已知一次函数，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一次函数解析式.
12．一次函数与一元一次方程的关系：
xx直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解.求直线与y?kx?b（k?0）kx?b?0(k?0)y?kx?bbbb
x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交轴于，就是y?0y?kx?bkx?b?0x??(?,0)?kkk
x直线与轴交点的横坐标.y?kx?b13．一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不a、ba?0ax?b?0ax?b?0等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
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