第十二章全等三角形12．3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定答案显示提示：点击进入习题872AB163BC54
CACD答案显示提示：点击进入习题见习题见习题1011见习题91213见习题见习题1．在正方形网格中，∠AOB的位置
如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．点MB．点NC．点PD．点QA2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，
OB的距离相等，则点P是()A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对C
3．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是()A．∠1＝∠
2B．∠1>∠2C．∠1<∠2D．无法确定A4．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平
分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰在∠B，∠DAC，∠ECA的平分线的交点处，上述结论中，正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，根据角平分线的判定可知①②③④都是正确的．【
答案】D5．【2018?大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝()
A．30°B．35°C．45°D．60°B6.【2019?滨州】如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD
，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分
∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()A．4B．3C．2D．1【点拨】由S
AS证明△AOC≌△BOD，得出AC＝BD，故①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得∠AMB＋∠O
AC＝∠AOB＋∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正确；作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，则∠OGC＝∠OHD＝9
0°，由全等三角形的性质得出∠OCG＝∠ODH，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG＝OH，由角平分线的判定定理可得MO平分∠
BMC，故④正确；由已知条件不能得到OM平分∠BOC，故③错误．【答案】B7．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点
，过点O作OD⊥BC于D，且OD＝2cm.若△ABC的周长是28cm，则△ABC的面积是()A．22cm2B．25cm
2C．28cm2D．56cm2【答案】C8.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△AB
C三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝()A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【点拨】∵O是△ABC三条角平分线的交点，∴O到AB，BC，AC的距离相等．∵AB，BC，AC的长分别为12，18，24，∴S△O
AB：S△OBC：S△OAC＝AB：CB：AC＝12：18：24＝2：3：4.故选C.【答案】C9．如图，PA
＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB.【点拨】一条线是否是角的平分线应根据这条线上的某一点到角的两边距离是否相等，
即到角两边垂线段的长度是否相等来判定，而题中PA，PB不是到角两边的垂线段，故不能直接得出OP平分∠AOB.10．(1)如图所示，
CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2.求证：OB＝OC.(2)如图所示，CD⊥AB，BE⊥
AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝OC.求证：∠1＝∠2.11．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上的
一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.当点D移到什么位置时，AD恰好平分∠BAC？请说明理由．解：当点D移到B
C的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：当D是BC的中点时，BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.又
∵∠B＝∠C，BD＝CD∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.12．如图，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝
∠DFC＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，故AD平分
∠BAC.(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明．解：AB＋AC＝2AE.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠C
AD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.∴
AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.13．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO
平分∠BAC.求证：(1)CO平分∠ACD；证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E.∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，∴CO平分∠ACD.(2)OA⊥O
C；(3)AB＋CD＝AC.证明：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.∵AE＋CE＝AC，∴AB＋CD
＝AC.【点拨】∵O为△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，∴O到AB，BC，CA边的距离相等，均等于OD的长，∴S△ABC＝B
C·OD＋AC·OD＋AB·OD＝OD·(BC＋AC＋AB)＝×2×28＝28(cm2)．证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂
足分别为E，F.∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO.在△PAE和△PBF中，∴△PAE≌△PBF(
AAS)．∴PE＝PF.∴OP为∠AOB的平分线，即OP平分∠AOB.证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，∴O
D＝OE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)．在△OBD和△OCE中，∴△OBD≌△OCE.∴OB＝OC.证明：在△BOD和△
COE中，∴△BOD≌△COE.∴OD＝OE.∴∠1＝∠2(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.∵∠AOC＝∠AOE＋∠COE，∴∠AOC＝∠BOE＋∠DOE＝×180°＝90°.∴OA⊥OC. |
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