2022年上海高考数学模拟卷（一）注意事项：1．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，
答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1
~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设集合，，若，则实数．【答案】0或22．已知为
虚数单位，若复数，则．【答案】3．不等式的解集是．【答案】4．若方程组无解，则实数．【答案】5．从总体中抽取6个样本：4，
5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________．【答案】6．若数列的前项和为（），则数列的通项公式是．【答案】7
．二项式的常数项为（用具体数值表示）．【答案】50058．小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整
数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为．【答案】9．如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于
点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是______．【答案】【解析】解：设左焦点为，由题设知，，，，，，，双
曲线的渐近线方程是．故答案为：．10．函数在，内的值域为，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：因为，，所以，，由函数在，内的值
域为，，则，所以，故答案为：，．11．若分段函数，将函数，，的最大值记作，，那么当时，，的取值范围是．【答案】【解析】解：由
，得（2），则，作出函数的图象如图所示：当时，；当时，，，当时，，，则，的最大值为．故，的取值范围是，．故答案为：，．12．已知向
量，满足，，若存在不同的实数，，使得，且，，则的取值范围是．【答案】，，【解析】解：设，，，，，且，，，在的角平分线上，，，，，
，在以为直径的圆上，故，为的角平分线与圆的交点．不妨设，，，圆不经过原点，且，则的角平分线方程为：，，，设圆的半径为，则，，设到直
线的距离为，则，故，，且，且．故答案为：，，．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在
答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设，则“”是“恒成立”的条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既
不充分也不必要【答案】14．已知，若，则（）．A．B．C．D．【答案】15．已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，
则函数是（）A．偶函数，且图像关于点对称B．偶函数，且图像关于点对称C．奇函数，且图像关于点对称
D．奇函数，且图像关于点对称【答案】B16．已知数列，以下两个命题：①若，则都是递增数列，则都是递增数列；②若都是等差数列，则都是
等差数列，下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是
假命题D．①是假命题，②是真命题【答案】三、解答题（本大题共有5题，满分20分）解答下列各题必须在答题纸的相应位
置写出必要的步骤．17．如图，正四棱锥中．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）因为是正棱锥，所以在平面
内射影是与的交点，即平面，所以，又因为，与在平面内相交，所以平面。（2）则与均为边长是2的正三角形，取中点，连接，则，所以是二面角
的平面角，.18．已知．（1）若是周期为的偶函数，求和的值；（2）在上是增函数，求的最大值；并求此时在，上的取值范围．【答案】（1
），，是周期为的偶函数，，，，，，．(2)在，上是增函数，由，得：，在，上是增函数，，，．．当时，，．，，，，．．当，，，．1
9．如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中为东西走向，为景区内一景点，为道路上一游客休息区．已知，（百米），到直线，的距
离分别为3（百米），（百米）．现新修一条自经过的直线型观光车轨道（点在上），并在处修建一游客休息区．（1）求轨道的长；（2）已知在
景点的正北方6百米的处有一大型音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域是以为圆心，为半径的圆心区域，且分钟时，（
百米）．当喷泉表演开始时，一观光车（大小忽略不计）正从休息区沿轨道以（百米分钟）的速度开往休息区．试判断观光车在行驶途中是否会被喷
泉喷洒到？并说明理由．【答案】（1）以点为坐标原点，直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系由题设得，直线的方程为，，，，由，
解得，，直线的方程为，由，得，，．（2）将喷泉记为圆，由题意得，生成分钟时，观光车在线段上的点处，则，，，若喷泉不会洒到观光车上
，则对，恒成立，即，当时，上式成立，当时，，，当且仅当时，取等号，，恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．20．定义符号函数，已知
函数．（1）已知（1），求实数的取值集合；（2）当时，在区间上有唯一零点，求的取值集合；（3）已知在，上的最小值为（1），求正实数
的取值集合；【答案】（1）（1），.当时，，，;②当时，，.综上所求，实数的取值集合为.（2）当时，.①当，时，,，方程在，上有唯
一解，即在，上有唯一解，函数与在，上有唯一交点;②当时，，，方程在上有唯一解，即在上有唯一解，函数与在上有唯一交点，画出函数在，上
和函数在上的图象，如图所示：，函数与这两个函数在上只有一个交点，，的取值集合为：.（3）首先，由最大值的定义可知必有（1），从而由
（1）并结合是正数知，;其次，围绕（1）在，时恒成立及的值（也就是的正负）展开思考与讨论，①当时，，，由（1），得，即，当时，此不
等式成立；当，时，不等式两边约去负数，得，即，因它恒成立，故有，即;②当时，分情况讨论如下：若，则，，由（1）恒成立，得，可见均符
合要求，若，则，，由（1）恒成立，得，即，即，令，则，若即，则，这时的均符合题意，若即，则，故，得：，综上所述，正数的取值范围为：
，，．21．设为正整数，各项均为正整数的数列定义如下：，．（1）若，写出、、；（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；（3）
若为奇数，是否存在满足？请说明理由．【答案】（1），，．（2）先证“充分性”：当为偶数时，若为奇数，则为奇数，因为为奇数，所以归
纳可得，对，均为奇数，则，所以，所以数列单调递增．再证“必要性”：假设存在使得为偶数，则，与数列单调递增矛盾，因此数列中的所有项都
是奇数，此时，即，所以为偶数．（3）存在满足，理由如下：因为，为奇数，所以且为偶数，．假设为奇数时，；为偶数时，．当为奇数时，，且
为偶数；当为偶数时，．所以若为奇数，则；若为偶数，则．因此对任意的都有，所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合，，设集合．因为，所以．令是中的最小元素，下面证．设且．当时，，，所以；当时，，，所以．所以若，则且，与是中的最小元素矛盾．所以，且存在满足，即存在满足．第3页共12页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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