第二轮复习----题型一探索规律题类型1数式规律观察下列各式：a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，根据其中的规律可得an=__
____（用含n的式子表示）．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有
关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3
a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2
b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A.128B.256C.512D.1024在求1+3+
32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+3
2+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②
，②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，所以S=．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1）
，能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是______．将自然数按以下规律排列：表中数2在
第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为__
____．观察下列各式：=1+，=1+，=1+，……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为______．类型2点的坐
标规律如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y=x于点B1．过B1点作B1
A2∥y轴，交直线y=2x于点A2，以O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y=x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y=2
x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y=x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y=2x于点A4，以点O为圆
心，以OA4长为半径画弧，交直线y=x于点B4，…按照如此规律进行下去，点B2018的坐标为______．第6题图第7题图在平面
直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移
动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（）A.（1010，0）B
.（1010，1）C.（1009，0）D.（1009，1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+1和双曲线y=-，在直线
上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B
2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2020=______．第8题图第9题图
第10题图如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作
y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为______．如图所示
，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，
l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆
与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为______．（n为正整数）类型3
图形变化规律如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A.148B
.152C.174D.202用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A.3nB.6nC
.3n＋6D.3n＋3如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A
，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，
D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是______．第13题图第14题图如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而
成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）
地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是______．15.数轴上O，A两点的距离为4，一
动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O
的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为______（n
≥3，n是整数）．答案1.【答案】【解析】解：由分析可得an=．故答案为：．观察分母的变化为3、5、7，…，2n+1次幂；分子的变
化为：奇数项为n2+1；偶数项为n2-1；依此即可求解．本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，
找到规律，并进行推导得出答案．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了完全平方公式，（a+b）n展开式；关键在于观察、分析已知数据
，找出规律是解决问题的关键．由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）n展开式的各项系数之和为2n，代入（a+b）9计算可得所有项的系数
和．【解答】解：当n=1、2、3、4、…时，（a+b）n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…，由此可知则（a+b）9展开
式中所有项的系数和为（1+1）9=29=512.故选C．3.【答案】（m≠0且m≠1）【解析】解：设S=1+m+m2+m3+m4+
…+m2016（m≠0且m≠1）①，将①×m得：mS=m+m2+m3+m4+…+m2017②，由②-①得：mS-S=m2017-1
，即S=，∴1+m+m2+m3+m4+…+m2016=（m≠0且m≠1）．故答案为：（m≠0且m≠1）．仿照例子，将3换成m，设S
=1+m+m2+m3+m4+…+m2016（m≠0且m≠1），则有mS=m+m2+m3+m4+…+m2017，二者做差后两边同时除
以m-1，即可得出结论．本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算1+m+m2+m3+m4+…+m2016．本题属
于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论，此题中尤其要注意m的
取值范围．4.【答案】（45，12）【解析】解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数
的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐
标为（45，12）．故答案为：（45，12）．根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的
偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律
是解决问题的关键．5.【答案】9【解析】解：由题意可得：+++…+=1++1++1++…+1+=9+（1-+-+-+…+-）=9+
=9．故答案为：9．直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．6.【答
案】（22018，22017）【解析】【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规
律，求出相应的点的坐标．根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B20
18的坐标．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（1，2），设点B1的坐标为（a，a），，解得，a=2，∴点B1的坐标为（2，1
），同理可得，点A2的坐标为（2，4），点B2的坐标为（4，2），点A3的坐标为（4，8），点B3的坐标为（8，4），……∴点B2
018的坐标为（22018，22017），故答案为：（22018，22017）．7.【答案】C【解析】【分析】根据图象可得智能机器
人移动4次完成一个循环，再计算2019次移动中共完成了几次循环，余数为多少，即可得出点A2019的坐标．本题考查了平面直角坐标系中
点的坐标的变化规律，解答本题的关键是观察智能机器人移动的规律．【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2
，0），A5（2，1），A6（3，1），…，?由智能机器人移动的规律看出：每移动4次将在x轴上向右前进2个单位长度，∵20194=
504...3，∴完成504次移动后，机器人回到x轴，离坐标原点的距离为：个单位长度，接下来机器人还需继续按规律移动3次，再次到达
x轴，水平前进了1个单位长度，此时离坐标原点的距离为：1008+1=1009个单位长度，A2019的坐标是（1009，0）．故选C
．8.【答案】2【解析】解：当a1=2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1=2，A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2=-=-，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═-，A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3=-=，B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3=-，A
4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4=-=3，B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4=2=a1，…由上可知，a1，a2，a3，a4，a
5，…，3个为一组依次循环，∵2020÷3=673…1，∴a2020=a1=2，故答案为：2．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐
标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a
2020即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组
依次循环是解题的关键，也是本题的难点．9.【答案】（0，42013）或（0，24026）【解析】解：∵直线l的解析式为：y=x，∴
l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°，∵OA=1，∴AB=，∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，∴AA1=3，
∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…，∴A2013纵坐标为：42013，∴A2013（0，42013）．故答案为：（0，
42013）或（0，24026）根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到
A2013坐标即可．本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三
角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．10.【答案】（n，）【解析】解：连接OP1，OP2，OP3，
l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1=1，OP1=2，∴A1P1===，同理：A
2P2==，A3P3==，……，∴P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点Pn的
坐标是（n，），即（n，）故答案为：（n，）．连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△O
A1P1中，OA1=1，OP1=2，由勾股定理得出A1P1==，同理：A2P2=，A3P3=，……，得出P1的坐标为（1，），P2
的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾
股定理；由题意得出规律是解题的关键．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现棋子的规律是解题
的关键．观察各图可知棋子数量的规律，然后写成第n个图案的通式，再取n=10进行计算即可求解．【解答】解：根据图形，第1个图案有12
=2（1+2+3）+2×0枚棋子，第2个图案有22=2（1+2+3+4）+2×1枚棋子，第3个图案有34=2（1+2+3+4+5）
+2×2枚棋子，第4个图案有48=2（1+2+3+4+5+6）+2×3枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+1+n+2）+2（
n-1）枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（枚）．故选：C．12.【答案】D【解析】【分析】解决这类问题首先要从简单
图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从
而推出一般性的结论．本题考查了规律性.图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变
化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善于用联想来解决这类问题．【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；第二个图
需棋子3×2+3=9；第三个图需棋子3×3+3=12；…∴第n个图需棋子（3n+3）枚．故选D．13.【答案】4039π【解析】【
分析】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度
的弧组成的，半径每次比前一段弧半径多1，总结出规律ADn-1=AAn=4（n-1）+1，BAn=BBn=4（n-1）+2，再计算弧
长即可．【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径多1，AD=AA1=1
，BA1=BB1=2，……，ADn-1=AAn=4（n-1）+1，BAn=BBn=4（n-1）+2，故的半径为BA2020=BB2
020=4（2020-1）+2=8078，的弧长=．故答案为：4039π．14.【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数【解析】解：
观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m
，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数．故答案为m、n同为奇数或m、n同为偶数．几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为
奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．本题考查了图形规律问题以及坐标表示位置：通过类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．15.【答案】4-【解析】【分析】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律，根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4=，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．【解答】解：由于OA=4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4=，故线段AnA的长度为4-（n≥3，n是整数）．故答案为：4-． |
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