2022年江西省南昌市中考数学一调试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．
x3+x2+2＝0B．y＝5﹣xC．x5D．x2+2x＝32．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（）A．第一象限
、第四象限B．第二象限、第四象限C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限3．（3分）已知点M的坐标是（﹣4，3），则
点M关于原点对称的点的坐标是（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．（3，﹣4）4．（3分）如图，已知AB是⊙
O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（）A．54°B．56°C．24°D．46°5．（3分）若点A（
a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜0
C．a＞0D．a＜﹣1或a＞06．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠
AED＝∠B，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．5.5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知一
个不透明的袋中，有5个红球，3个白球，2个黑球，除颜色外小球完全一样，小明从袋中取出一个小球，取出的小球颜色为红色的概率是
．8．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于．9．（3分）如图，⊙O的半径为
6，弦AB的长度是10，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为．10．（3分）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中
线，则的值为．11．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝A
D＝2，则的长为．12．（3分）如图，平面直角坐标系内，点A（4，0）与点B（0，8）是坐标轴上两点，点C是直线y＝2x上
一动点（点C不与原点重合），若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）13
．（3分）解方程：x2﹣x＝0．14．（3分）（1）解方程：x2﹣x＝0．（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝3
2°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．15．（6分）如图，在△ABC中，∠
A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x
﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作BC⊥y轴于点C．（1）求反比例函数的解
析式．（2）求△ABC的面积．17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画圆
交BC于点D，请用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）（1）如图1，作∠C的平分线CP．（2）如图2，作点M，使得点M与点A
关于点D对称．18．（6分）某品牌洗衣产品分为洗衣粉、洗衣液、洗衣片、洗衣凝珠四种类型（分别用A，B，C，D依次表示这四种类型）．
小洁和小静计划每人购买一种该品牌洗衣产品，上述四种类型洗衣产品中的每一种被选中的可能性均相同．（1）小洁随机选择一种洗衣产品，选的
是洗衣凝珠的概率是．（2）请你用列表法或树状图法表示出两人购买洗衣产品所有可能的结果，求两人选择同一种类型洗衣产品的概率．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价
格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．（1）求此期间五花肉价格月增长率．（2）11
月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉．20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O
与边BC、AC分别交于D、E两点，D恰好是BC的中点，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若∠BAC＝6
0°，OA＝4，求阴影部分的面积．21．（8分）如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾
角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E．且测
得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝150°．已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留
根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，反比例函数y1（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，
B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．（1）求反比例函数解析式．（2）求直线AB解析式．（3）请根据图象，直接写出当y1＜y
2时，x的取值范围．23．（9分）如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．
（1）求证：点P在直线l上；（2）若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴交点为H，Q恰好是线段PH的中点，求m的值；（3
）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标
；如果不过定点，说明理由．六、（本大题共12分）24．（12分）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图1，连接BG、CF，①求的值；②求∠BHC的度数．（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、B
E的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．2022年江西省南昌市中考数学一调试卷答案与解析一、选择
题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．x3+x2+2＝0B．y＝5﹣xC．
x5D．x2+2x＝3【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符
合题意；B．方程中未知数个数为2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C．是分式方程，故该选项不符合题意；D．该方程是一元二次方
程，故该选项符合题意；故选：D．2．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（）A．第一象限、第四象限B．第二象限、第
四象限C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4，∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，∴抛物线经过第三，四象限，故选：C．3．（3
分）已知点M的坐标是（﹣4，3），则点M关于原点对称的点的坐标是（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）D．（3，
﹣4）【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．【解答】解：点M（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是
（4，﹣3），故选：B．4．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（）A．5
4°B．56°C．24°D．46°【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，即可得出∠A＝90°﹣∠ABD的度数，再根据同
弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝66°，∴∠A＝90°﹣∠
ABD＝90°﹣66°＝24°，∵，∴∠BCD＝∠A＝24°．故选：C．5．（3分）若点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例
函数y（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜0C．a＞0D．a＜﹣1或a＞0【分析】
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限时，②当点A（a，y1），B（a+1，y
2）在不同象限时．【解答】解：∵k＜0，∴反比例函数y（k＜0）的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，①当A（a，y
1），B（a+1，y2）在同一象限，∵y1＞y2，∴a＞a+1，此不等式无解；②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，
∵y1＞y2，∴a＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a＜0，故选：B．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是B
C边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．5.5【分析】利用两个角相等可证明△A
DE∽△AEC，得，代入即可求出AD的长．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AED＝∠B，∴∠AED＝∠C，∴180°﹣
∠EAC﹣∠AED＝180°﹣∠EAC﹣∠C，∴∠ADE＝∠AEC，∴△ADE∽△AEC，∴，∵AE＝3，AC＝AB＝6，∴，∴A
D＝3，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知一个不透明的袋中，有5个红球，3个白球，2个黑
球，除颜色外小球完全一样，小明从袋中取出一个小球，取出的小球颜色为红色的概率是．【分析】直接利用概率公式求解即可．【解答】解
：∵口袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为，故答案为：．8．（3分）已知m，n是
一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于20．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出m+n和m
n的值，m2+n2整理得：（m+n）2﹣2mn，代入计算即可．【解答】解：根据题意得：m+n＝﹣4，mn＝﹣2，所以m2+n2＝（
m+n）2﹣2mn＝（﹣4）2﹣2×（﹣2）＝16+4＝20．故答案为：20．9．（3分）如图，⊙O的半径为6，弦AB的长度是10
，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为．【分析】根据垂径定理得出AN＝BNAB，利用勾股定理得出ON即可．【解答】解：∵ON⊥
AB，∴AN＝BNAB，∵AB＝10，∴AN＝BN＝5，在Rt△OAN中，ON2+AN2＝OA2，∴ON，故答案为：．10．（3分
）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为．【分析】根据中位线的性质得：DE∥BC，DEBC，从而得：△
DEF∽△CBF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，∴D
是AB的中点，E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DEBC，∴△DEF∽△CBF，∴，故答案：．11．（3分）
如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则的长为π．【分析】根
据四边形ABCD是矩形，得∠D＝∠DAB＝90°，由DE＝AD＝2，得△ADE是等腰直角三角形，即知∠DAE＝45°，AE2，故∠
EAB＝45°，从而可得π．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∵DE＝AD＝2，∴△ADE是等腰直角三
角形，∴∠DAE＝45°，AE2，∴∠EAB＝45°，∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴AB＝AE＝2，∴π，故
答案为：π．12．（3分）如图，平面直角坐标系内，点A（4，0）与点B（0，8）是坐标轴上两点，点C是直线y＝2x上一动点（点C不
与原点重合），若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为（0，0）或（4，8）或（，）或（，）．【分析】设C（x，2x），分∠A
CB＝90°、∠BAC＝90°、∠ABC＝90°三种情况，根据勾股定理计算，即可得到答案．【解答】解：设C（x，2x），∵点A（4
，0）与点B（0，8），∴AB2＝42+82＝80，BC2＝x2+（2x﹣8）2＝5x2﹣32x+64，AC2＝（2x）2+（x﹣
4）2＝5x2﹣8x+16，当∠ACB＝90°时，AC2+BC2＝AB2，∴5x2﹣8x+16+5x2﹣32x+64＝80，解得x
＝0或4，点C的坐标为（0，0）或（4，8）；当∠BAC＝90°时，AC2+AB2＝BC2，∴5x2﹣8x+16+80＝5x2﹣3
2x+64，解得x，点C的坐标为（，）；当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，5x2﹣8x+16＝5x2﹣32x+64+8
0，解得x，点C的坐标为（，）．综上所述，点C的坐标为（0，0）或（4，8）或（，）或（，）．故答案为：（0，0）或（4，8）或（
，）或（，）．三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）13．（3分）解方程：x2﹣x＝0．【分析】利用因式分解法把方程化
为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程．【解答】解：x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．14．（3分）
（1）解方程：x2﹣x＝0．（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，
使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；（2）根据旋转的性质可得∠EBA＝∠CBA
＝32°，AB＝EB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，∴
x1＝0，x2＝1；（2）由旋转可知：∠EBA＝∠CBA＝32°，AB＝EB，∴∠EAB＝∠AEB（180°﹣32°）＝74°．1
5．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【分析】由等腰三角形的
性质和角平分线的性质可得∠A＝∠CBD＝36°，可得结论．【解答】证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC．16．（6分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B
作BC⊥y轴于点C．（1）求反比例函数的解析式．（2）求△ABC的面积．【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到
一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；（2）因为BC⊥y轴，所以C（0，4），利用一次函数解析式可
以求得它与y轴交点A的坐标（0，﹣4），由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC∥x轴，所以S△ABCAC?BC，
即可求解．【解答】解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，∴2m﹣4＝4，∴m＝4，∴B（4，4），
∴k＝16，∴反比例函数的解析式为y；（2）∵BC⊥y轴，∴C（0，4），BC∥x轴，∴BC＝4，令x＝0，则y＝2x?4＝﹣4，
∴A（0，﹣4），∴AC＝8，∴S△ABCAC?BC＝16，∴△ABC的面积为16．17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝9
0°，∠ACB＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画圆交BC于点D，请用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）（1）如图1，作
∠C的平分线CP．（2）如图2，作点M，使得点M与点A关于点D对称．【分析】（1）延长CA交圆于点A′，连接A′D交AB于点E，连
接CE交圆于点P，CP即为∠C的平分线；（2）结合（1）连接DP交AB于点F，连接A′F并延长交AD延长线于点M，即可得点M与点A
关于点D对称．【解答】解：（1）如图，CP即为所求；（2）如图，点M即为所求．18．（6分）某品牌洗衣产品分为洗衣粉、洗衣液、洗衣
片、洗衣凝珠四种类型（分别用A，B，C，D依次表示这四种类型）．小洁和小静计划每人购买一种该品牌洗衣产品，上述四种类型洗衣产品中的
每一种被选中的可能性均相同．（1）小洁随机选择一种洗衣产品，选的是洗衣凝珠的概率是．（2）请你用列表法或树状图法表示出两人购
买洗衣产品所有可能的结果，求两人选择同一种类型洗衣产品的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果
，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）小洁随机选择一种洗衣产品，选的是洗衣凝珠的概率是；故答案为：
；（2）根据题意画图如下：共有9种等可能结果，其中两人选择同一种类型洗衣产品的有4种结果，所以两人选择同一种类型洗衣产品的概率为．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价
格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．（1）求此期间五花肉价格月增长率．（2）11
月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉．【分析】（1）设此期间五花肉价格月增长率为x，由题意
得关于x的一元二次方程，求解，并保留符合题意的答案即可；（2）由（1）中的增长率求得11月份五花肉的单价，然后由题意求得答案．【解
答】解：（1）设此期间五花肉价格月增长率为x，由题意，得30（1+x）2＝36.3．解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去
）．答：此期间五花肉价格月增长率为10%；（2）根据题意，得3（千克）．答：她买了3千克五花肉．20．（8分）如图，在△ABC中，
以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，D恰好是BC的中点，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（
2）若∠BAC＝60°，OA＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）如图，连接OD，由D恰好是BC的中点，得到BD＝CD，得到OD是
△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，求得∠ODF＝∠DFC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接O
E，则OE＝OA，推出△AOE是等边三角形，得到∠AOE＝60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：如图
，连接OD，∵D恰好是BC的中点，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC于点F，∴∠OD
F＝∠DFC＝90°，∵DF经过⊙O的半径OD的端点D，且DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，则OE＝OA，
∵∠A＝60°，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵OA＝OE＝6，∴S阴影4×24π﹣4，∴阴影部分的面积为4π﹣4．
21．（8分）如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离
（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CD
E＝150°．已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）【分析】过E作EF⊥BC于F
，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，∵∠CDE＝150°，∴∠EDF＝30°，设EF为x米，DFx米
，DE＝2x米，∵∠B＝∠EFC＝90°，∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EFC，∴，即，解得：x，∴DE＝（2828）米，答
：DE的长度为（2828）米．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，反比例函数y1（x＞0）与直线y2＝
ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．（1）求反比例函数解析式．（2）求直线AB解析式．（3）请根据
图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥
BN，得出△BNC∽△AMC，根据相似三角形的性质求得AM＝9，进而求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；（3
）观察图象即可求得．【解答】解：（1）∵反比例函数y1（x＞0）过点B（3，3），∴k＝3×3＝9，∴反比例函数解析式为y；（2）
作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，∴△BNC∽△AMC，∴，∵点B（3，3），∴BN＝3，∵AB＝2BC，∴，∴AM
＝9，∴A的纵坐标为9，把y＝9代入y得，x＝1，∴A（1，9），把A、B代入y2＝ax+b得，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣3x
+12；（3）由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是1＜x＜3．23．（9分）如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m
﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．（1）求证：点P在直线l上；（2）若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴
交点为H，Q恰好是线段PH的中点，求m的值；（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，
判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．【分析】（1）求出P（2m，﹣2m﹣4），判断P点在直线
y＝2x﹣4上即可；（2）联立，则x2﹣（4m+1）x+4m2+2m＝0，由韦达定理可得x1+x2＝4m+1，可知Q点横坐标为2m
+1，再由中点坐标公式可得2m+1＝m，即可求m＝﹣1；（3）设直线MN的解析式为y＝kx+b，联立，得到x2﹣kx﹣4﹣b＝0，
由韦达定理可得m+n＝﹣k，mn＝﹣4﹣b，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，可证明△MAE∽△ANF，则，
即，可求k与b的关系为：2k﹣b+1＝0，则直线MN的解析式为yx+b＝（1x）b，当x＝﹣2时，y＝1，由此可知直线MN经过定点
（﹣2，1）．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝（x﹣2m）2﹣2m﹣4，∴P（2m，﹣2m﹣4），将x＝2
m代入y＝x﹣4，得y＝﹣2m﹣4，∴P点在直线y＝﹣2x﹣4上；（2）当x＝0时，y＝4，∴H（0，4），联立，∴x2﹣（4m+
1）x+4m2+2m＝0，∴x1+x2＝4m+1，∴Q点横坐标为2m+1，∵Q恰好是线段PH的中点，∴2m+1＝m，∴m＝﹣1；（
3）存在，理由如下：当m＝0时，y＝x2﹣4，令y＝0，则x＝±2，∴A（2，0），设M（m，m2），N（n，n2），设直线MN的
解析式为y＝kx+b，联立，∴x2﹣kx﹣4﹣b＝0，∴m+n＝﹣k，mn＝﹣4﹣b，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x
轴交于点F，∵MA⊥AN，∴∠MAE+∠NAF＝90°，∠MAE+∠AME＝90°，∴∠AME＝∠NAF，∴△MAE∽△ANF，∴
，∵AE＝2﹣m，ME＝m2﹣4，AF＝n﹣2，NF＝n2﹣4，∴，∴2k﹣b+1＝0，∴yx+b＝（1x）b，∴当x＝﹣2时，y
＝1，∴直线MN经过定点（﹣2，1）．六、（本大题共12分）24．（12分）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点
A旋转一周．（1）如图1，连接BG、CF，①求的值；②求∠BHC的度数．（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分
别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．【分析】（1）①通过证明△CAF∽△BAG，
可得；②由①得出∠ACF＝∠ABG，∠CAB＝45°，最后用三角形的内角和定理，即可求出答案；（2）过点C作CH∥EF，由“ASA
”可证△CMH≌△FME，可得CH＝EF，ME＝HM，由“SAS”可证△BCH≌△BAE，可得BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，由三角形中位线定理可得结论．【解答】解：（1）①如图1，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴ACAB，AFAG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴；②∵AC是正方形BCD的对角线，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ACF）＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ABG）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如图2，连接ME，过点C作CQ∥EF，交直线ME于Q，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CQ∥EF，∴∠FCQ＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMQ＝∠FME，∴△CMQ≌△FME（ASA），∴CQ＝EF，ME＝QM，∴AE＝CQ，∵CQ∥EF，AG∥EF，∴CQ∥AG，∴∠QCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCQ＝∠BCF+∠QCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCQ，又∵BC＝AB，CQ＝AE，∴△BCQ≌△BAE（SAS），∴BQ＝BE，∠CBQ＝∠ABE，∴∠QBE＝∠CBA＝90°，∵MQ＝ME，点N是BE中点，∴BQ＝2MN，MN∥BQ，∴BE＝2MN，MN⊥BE． |
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