2021年四川省眉山市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答
题卡上相应题目的正确选项涂黑.1．（4分）（2021?眉山）6的相反数是（）A．B．C．﹣6D．62．（4分）（2021?眉山
）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行20
0万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为（）A．2×102B
．2×106C．2×109D．0.2×1073．（4分）（2021?眉山）下列计算中，正确的是（）A．a5×a3＝a15B．a
5÷a3＝aC．（﹣a2b3）4＝a8b12D．（a+b）2＝a2+b24．（4分）（2021?眉山）如图，将直角三角板放置在矩形
纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．42°B．48°C．52°D．60°5．（4分）（2021?眉山）正八边形中，每
个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：16．（4分）（2021?眉山）化简（1）的结果是（
）A．a+1B．C．D．7．（4分）（2021?眉山）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给
出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．86，90D．9
0，948．（4分）（2021?眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单
位：平方米）是（）A．7.2πB．11.52πC．12πD．13.44π9．（4分）（2021?眉山）已知一元二次方程x2﹣3
x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7B．﹣3C．2D．510．（4分）（2021?眉山）如
图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠C
BF的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°11．（4分）（2021?眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2
﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．
y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣512．（4分）（2021?眉山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，A
B＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下
列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（）A．①④B．①
②③C．②③④D．①②③④二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.13．（4
分）（2021?眉山）分解因式：x3y﹣xy＝．14．（4分）（2021?眉山）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增
大而减少，则常数a的取值范围是．15．（4分）（2021?眉山）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BA
C交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为
．16．（4分）（2021?眉山）若关于x的不等式x+m＜1只有3个正整数解，则m的取值范围是．17．（4分）（2021
?眉山）观察下列等式：x11；x21；x31；…根据以上规律，计算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝．18．（4分
）（2021?眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段
BD上的一个动点，则MPPB的最小值是．三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.19．
（8分）（2021?眉山）计算：（4）0﹣3tan60°﹣（）﹣1．20．（8分）（2021?眉山）解方程组：．21．（10分）（
2021?眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某
校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根
据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有人，其中“了解较多”的
占%；（2）请补全条形统计图；（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有人；（4）“了解较少”的四名学生中
，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2
人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．22．（10分）（2021?眉山）
“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建
筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋
建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°，cos24°，tan24°）23．（10分）（2021?眉山）为进
一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活
动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买
篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费
用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？24．（10分）（2021?眉山）如图，直线yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点
B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．25．（10分）（2021?眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A
CB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2
）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D
、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．26．（12分）（2021?眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx
+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合
），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，
当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．2021年四川省眉山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每
小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.1．（4分）（2021?眉山
）6的相反数是（）A．B．C．﹣6D．6【分析】根据相反数的概念得出结果即可．【解答】解：相反数指的是两个数符号不同但绝对值相
同，所以6的相反数为﹣6．故选：C．【点评】本题主要考查相反数的概念，注意区分相反数和倒数的概念是解题的关键．2．（4分）（202
1?眉山）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本
飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为（）A．2×
102B．2×106C．2×109D．0.2×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数
．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原
数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：200万＝2000000＝2×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（202
1?眉山）下列计算中，正确的是（）A．a5×a3＝a15B．a5÷a3＝aC．（﹣a2b3）4＝a8b12D．（a+b）2＝a
2+b2【分析】根据同底数幂乘法底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减的运算法则及完全平方公式的展开正确求解即可．【解答】
解:a5?a3＝a8，故A项不符合题意；a5÷a3＝a2，故B项不符合题意；（﹣a2b3）4＝a8b12，故C项符合题意；（a+b
）2＝a2+2ab+b2，故D项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查同底数幂乘法底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相
减的运算法则及完全平方公式的展开，熟练掌握运算法则和公式的运用是解题关键．4．（4分）（2021?眉山）如图，将直角三角板放置在矩
形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）A．42°B．48°C．52°D．60°【分析】利用平行线的性质得出∠3＝∠1，再
利用直角三角形的性质得出∠2即可求解．【解答】解：如图，延长AB交矩形纸片于D，∴∠3＝∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣90°﹣4
8°＝42°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（4分）（2021?眉山）正八边形中
，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等
量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这
个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每
个外角的度数之比为：135:45＝3:1．故选：D．【点评】此题考查多边形的内角与外角的关系．解题的关键是记住多边形一个内角与外角
互补和外角和的特征．6．（4分）（2021?眉山）化简（1）的结果是（）A．a+1B．C．D．【分析】分式的混合运算，先算小括
号里面的，然后算括号外面的．【解答】解：原式，故选：B．【点评】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
7．（4分）（2021?眉山）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80
，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．86，90D．90，94【分析】先将数据
重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得．【解答】解：将数据重新排列为80，86，90，90，94，所以这组数据的中位数是90，
众数为90，故选：B．【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）
的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组
数据的中位数．8．（4分）（2021?眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面
积（单位：平方米）是（）A．7.2πB．11.52πC．12πD．13.44π【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是上面圆锥
下面是圆柱，再根据圆锥的侧面是扇形和圆柱的侧面是长方形即可求解．【解答】解：观察图形可知：圆锥母线长为：2（米），所以该整流罩的侧
面积为：π×2.4×4+π×(2.4÷2)×2＝12π（平方米）．答：该整流罩的侧面积是12π平方米．故选：C．【点评】本题考查了
由三视图判断几何体，几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据几何体求其侧面积．9．（4分）（2021?眉
山）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7B．﹣3C．2D．5【分析
】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．【解答】
解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣
3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一
元二次方程的解，找出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3是解题的关键．10．（4分）（2021?眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中
，点C为圆上的一点，3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（）A．1
8°B．21°C．22.5°D．30°【分析】由圆周角定理可求∠ACB＝90°，由角的数量关系可求∠ABC＝22.5°，∠CAB＝
67.5°，由直角三角形的性质可求∠CAH＝∠ACE＝22.5°，即可求解．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AB
C+∠CAB＝90°，∵3，∴∠CAB＝3∠ABC，∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，∵CD⊥AB，∴∠ACE＝22.
5°，∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝HG，∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，∵∠CAF＝∠CBF，∴∠CBF
＝22.5°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．11
．（4分）（2021?眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达
式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【分析】由抛物线解析式求
得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x
+5＝（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点
坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5．故选：A．【点评】本
题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键．12．（4分）（2021?眉山）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF
为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动
的路程是2，其中正确结论的序号为（）A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△
OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用S
AS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′
，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿
线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DA
O＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO
＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠D
AF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC
，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE(SAS)，∴∠DOE＝∠D
AF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠D
OE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠A
DF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△
DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB?ta
n∠ABD＝6?tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．【点评】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性
质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解
题关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.13．（4分）（2021?眉
山）分解因式：x3y﹣xy＝xy（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取xy，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝xy（
x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1），故答案为：xy（x+1）（x﹣1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因
式分解的方法是解本题的关键．14．（4分）（2021?眉山）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范
围是a．【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式2a+3＜0，再解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：∵一次函数y
＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，∴2a+3＜0，解得a．故答案为：a．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，
熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．15．（4分）（2021?眉山）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC
交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为．
【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理分别得出DC,AD的长，即可得出DE的长．【解答】
解：如图所示：连接EC,由作图方法可得：MN垂直平分AC,则AE＝EC,∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝3,AD⊥BC,在Rt△ABD中，AD4,设DE＝x,则AE＝EC＝4﹣x,在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2
,即x2+32＝(4﹣x)2,解得：x,故DE的长为．故答案为：．【点评】此题主要考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形
的性质、勾股定理等知识，正确得出AE＝EC是解题关键．16．（4分）（2021?眉山）若关于x的不等式x+m＜1只有3个正整数解，
则m的取值范围是﹣3≤m＜2．【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关
于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式x+m＜1得：x＜1﹣m，根据题意得：3＜1﹣m≤4，即﹣3≤m＜2,故答案是：﹣
3≤m＜2．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．1
7．（4分）（2021?眉山）观察下列等式：x11；x21；x31；…根据以上规律，计算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021
＝．【分析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案．【解答】解：∵x11；x21；x31；…
∴x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝11112021＝2020+12021，故答案为：．【点评】本题考查了分式的加减法，
解此题的关键是能根据已知条件得出规律．18．（4分）（2021?眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相
交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MPPB的最小值是．【分析】过点P作PE⊥BC于E，由
菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得P
EPB，则MPPB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．【解答】解
：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC
是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PEPB，∴MPPB＝PM+PE，∴当点M，点P，
点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB，∴ME，∴MPPB的最小值为，故答案为
．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，将MPPB转化为PM+PE是解题的关键．三、解答题：本大题共8个小题，共7
8分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.19．（8分）（2021?眉山）计算：（4）0﹣3tan60°﹣（）﹣1．【分析】结合零
指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算和二次根式的化简可以求出结果．【解答】解：原式＝1﹣3（﹣2）＝12＝3．【点评】本
题主要是想考查学生对零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算和二次根式的化简的掌握情况．解题的时候需要注意的是负整数指数幂
要记得取其正整数指数幂的倒数，而不是相反数，也就是公式要使用正确．20．（8分）（2021?眉山）解方程组：．【分析】方程组整理后
，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：，①×15+②×2得：49x＝﹣294，解得：x＝﹣6，把x＝﹣6代入②得：
y＝1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．（10分
）（2021?眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我
市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，
并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有50人，其中“了解较
多”的占30%；（2）请补全条形统计图；（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人；（4）“了解较少”
的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从
中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．【分析】（1）先由了解
较少的人数及其所占百分比求出总人数，用“了解较多”的人数除以总人数即可得出所占的百分比；（2）用总人数减去其它人数，求出基本了解的
人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以“非常了解”和“了解较多”的学生所占的百分比即可；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符
合条件的结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷8%＝50（人），“了解较多”的所占的百分比是：
100%＝30%．故答案为：50，30；（2）“基本了解”的人数为50﹣（24+15+4）＝7（人），补全图形如下：（3）1000
780（人），答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人．故答案为：780；（4）列表如下：A1A2A3BA1（A2
，A1）（A3，A1）（B，A1）A2（A1，A2）（A3，A2）（B，A2）A3（A1，A3）（A2，A3）（B，A3）B（A1
，B）（A2，B）（A3，B）共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种，则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率
公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22．（10分）（2021?眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡
地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞
行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：
sin24°，cos24°，tan24°）【分析】过C作CF⊥AD于F，则AF＝CE，证△BCE是等腰直角三角形，得BE＝CE，设
BE＝CE＝x米，则AF＝x米，再由锐角三角函数定义得AEx米，然后由AE﹣BE＝AB得x﹣x＝20，解方程，即可解决问题．【解答
】解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：则AF＝CE，由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，在Rt△ACE中，tan∠CAEtan24°，∴AEx
米，∵AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x≈16.4，∴AF≈16.4（米），∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（
米），即这栋建筑物的高度为43.6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的
关键是掌握锐角三角函数定义和俯角定义．23．（10分）（2021?眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体
育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮
球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2
）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？【分
析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买
篮球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，
利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出
结论．【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，依题意得：2，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程
的解，且符合题意，∴2x﹣30＝90．答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200
﹣m）个足球，依题意得：90m+60(200﹣m)≤15500，解得：m．又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为116．答：学校最多
可以购买116个篮球．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程
；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．（10分）（2021?眉山）如图，直线yx+6与x轴交于点A，与y轴交
于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半
径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．【分析】（1）对于yx+6，令yx+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0
，则y＝6，由点A、B的坐标得：AB10，即可求解；（2）在Rt△NHB中，NB，即直线AB向上平移个单位得到MN，即可求解；（3
）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，得到点C的坐标为（﹣3,10），故CN5，进而求解．【解
答】解：（1）对于yx+6，令yx+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（﹣8,0）、（0,6），∵∠
AOB为直角，则AB是圆P的直径，由点A、B的坐标得：AB10，故圆的半径AB＝5；（2）过点N作HN⊥AN于点H，设直线MN与圆
P切于点G，连接PG，则HN＝PG＝5，则sin∠NBH＝sin∠ABO,在Rt△NHB中，NB，即直线AB向上平移个单位得到MN
，故MN的表达式为yx+6x；（3）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，解得：x＝﹣3或，故点
C的坐标为（﹣3,10），由点C、N的坐标得：CN5，则△BCN的面积CN?NH5×5．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了
一次函数的性质、圆的切线的性质、解直角三角形、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．25．（10分）（2021?眉山）如图，在等
腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证
：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG
绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形两条对角线互相垂
直平分且相等的性质，可证明△ACD≌△BCE；（2）过点M作MH⊥AD于点H，当∠ADC＝90°时，则∠ADM＝45°，由正方形的
边长和AC的长，可计算出AD的长，利用△AMH和△DMH边之间的特殊关系列方程，可求出AM的长；（3）A、D、E三点在同一直线上又
分两种情况，即点D在A、E两点之间或在射线AE上，需要先证明点B、E、F也在同一条直线上，然后在△ABE中用勾股定理列方程即可求出
AD的长．【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DCE＝90°，CD＝CE；∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠B
CE＝90°﹣∠BCD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）如图1，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AH
M＝∠DHM＝90°．∵∠DCG＝90°，CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD＝45°，∴∠ADC＝90°，∴∠MDH＝90°﹣45°
＝45°，∴MH＝DH?tan45°＝DH；∵CD＝DG?sin45°＝2，AC＝2，∴AD，∴tan∠CAD，∴AH＝3MH＝3
DH，∴3DH+DH＝3；∴MH＝DH，∵sin∠CAD，∴AMMH．（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E
之间．∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；由△ACD≌△BCE，得∠
BEC＝∠ADC＝135°，∴∠BEC+∠CEF＝180°，∴点B、E、F在同一条直线上，∴∠AEB＝90°，∵AE2+BE2＝A
B2，且DE＝2，AD＝BE，∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，解得AD1或AD1（不符合题意，舍去）；如图4，A、D
、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，∴△BCF≌△ACE
（SAS），∴∠BFC＝∠AEC，∵∠CFE＝∠CED＝45°，∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，∴点B、F、E
在同一条直线上；∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵A
E2+BE2＝AB2，∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，解得AD1或AD1（不符合题意，舍去）．综上所述，AD的长为1或1．【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次根式的化简等知识与方法，解第（3）题时要分类讨论，以免丢解．26．（12分）（2021?眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2,0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解；（3）在点OB上取点E（2,0），则∠ACO＝∠OCE，利用解直角三角形的方法，求出OM的长度，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝4，解得a，故抛物线的表达式为yx2+x+4①；（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA,故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2,0），则CH和抛物线的交点即为点P，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣8）；（3）在点OB上取点E（2,0），则∠ACO＝∠OCE，∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，过点E作EH⊥BC于点H，在△BCE中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，则EHEB（4﹣2）BH，由点B、C的坐标知，BC＝4，则CH＝BC＝BH＝43，则tan∠ECBtan∠AMO，则tan∠AMO,则OM＝6,故CM＝OM﹣OC＝6﹣4＝2,则t＝2÷1＝2．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． |
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