2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1．（3分）在﹣4，﹣2，0，1四个数中，
比﹣3小的数是（）A．1B．﹣2C．0D．﹣42．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（
）A．B．C．D．3．（3分）新型冠状病毒（2019﹣nCoV）的直径约为0.00000012米．用科学记数法可将0.00000
012表示为（）A．1.2×10﹣6B．1.2×10﹣7C．12×10﹣8D．12×10﹣74．（3分）下列运算中，正确的是（
）A．B．6a6b÷2a3b＝3a2C．（﹣2a2b3）3＝﹣6a6b9D．5．（3分）疫情无情人间有情，爱心捐款传真情，新型
冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某单位职工积极参加献爱心活动，该单位50名职工的捐款统计情况如下表：则他们捐款金额的众数和中位数分别是
（）金额501002005001000人数13141553A．100，100B．100，200C．200，100D．200，2
006．（3分）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，
求实际每天施工多少米？设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．37．（3分）如图，在△ABC中，AB
＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC
＝5，S△ABC＝15，则BM+MD长度的最小值为（）A．B．3C．6D．58．（3分）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a
b．例如：42，因为4＞2，所以42＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值
为（）A．10或﹣10B．10C．﹣10D．3或﹣39．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画
，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（）A．4B．4C．2D．21
0．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P以每秒一个单位的速度沿着B﹣C﹣A运动，⊙P始终与A
B相切，设点P运动的时间为t，⊙P的面积为y，则y与t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6题，每
题3分，共18分）11．（3分）分解因式：a4﹣a2＝．12．（3分）如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光
的概率为．13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．（3分）已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展
开图的圆心角是120°，则圆锥的高为cm．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，E为CD边的中点，点P
、Q为BC边上两个动点，且PQ＝6，当四边形APQE的周长最小时，BP＝．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4
，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这
样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说
明，演算步骤或推证过程）17．（8分）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中x是满足不等式组的整数解．18．（8分）端午节是中
国的传统节日．今年端午节前夕，鄂尔多斯市某食品厂抽样调查了达拉特旗某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将
调查情况绘制成如图两幅不完整统计图．（1）本次参加抽样调查的居民有人；（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为度，
根据题中信息补全条形统计图；（3）若该居民小区有5000人，请你估计爱吃D种粽子的有多少人？（4）若有外型完全相同的A、B、C、D
粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．19．（8分）汽车盲区是指驾驶员
位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE
的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC、FD
垂直地面BE，A点到B点的距离AB＝2m（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°
≈0.4）．（1）求盲区中DE的长度；（2）点M在ED上，MD＝2m，在M处有一个高度为0.65m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请
说明理由．20．（8分）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物
喷洒要24min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要14min．（1）求校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2
）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数
关系式为：y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m
3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教
室？请通过计算说明．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交
AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP
，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若，AC＝13，求四边形CHQE的面积．22．（9分）某商场销售一种进
价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润
为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得750元的利润，应将销售单价定为
多少元？（3）当每天销售量不少于30件，且销售单价至少为35元时，该商场每天获得的最大利润是多少？23．（10分）如图1，四边形A
BCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是；
②直线DE、BG之间的位置关系是．（2）探究如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由．（3）应用如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB＝4，请
直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与y
轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣2，0），直线BC的解析式为y3．（1）求抛物线的解析式；（2）过点
A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值及相应点
E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴上一
动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2021年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷答案与解析一、选择题（本大题共
10题，每题3分，共30分）1．（3分）在﹣4，﹣2，0，1四个数中，比﹣3小的数是（）A．1B．﹣2C．0D．﹣4【分析】正
数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案．【解答】解：由题可得，﹣4＜﹣2
＜0＜1，∴四个数中，比﹣3小的数是﹣4，故选：D．2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（
）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看有两层，底层
是2个正方形，上层的左边是1个正方形．故选：A．3．（3分）新型冠状病毒（2019﹣nCoV）的直径约为0.00000012米．用
科学记数法可将0.00000012表示为（）A．1.2×10﹣6B．1.2×10﹣7C．12×10﹣8D．12×10﹣7【分析
】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7；故选：B．4．（3分）下
列运算中，正确的是（）A．B．6a6b÷2a3b＝3a2C．（﹣2a2b3）3＝﹣6a6b9D．【分析】A、根据二次根式加减法
的法则计算判断即可；B、根据单项式的除法法则计算判断即可；C、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可；D、根据分式的乘除法法则
计算判断即可．【解答】解：A、，故原计算错误，不合题意；B、6a6b÷2a3b＝3a3，故原计算错误，不合题意；C、（﹣2a2b3
）3＝﹣8a6b9，故原计算错误，不合题意；D、a，故原计算正确，符合题意；故选：D．5．（3分）疫情无情人间有情，爱心捐款传真情
，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某单位职工积极参加献爱心活动，该单位50名职工的捐款统计情况如下表：则他们捐款金额的众数和中位数
分别是（）金额501002005001000人数13141553A．100，100B．100，200C．200，100D．20
0，200【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：捐款金额200出现的次数最多，故众数是200；共有数据50个，第25
个数和第26个数都是100，所以中位数是100．故选：C．6．（3分）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天
，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）
A．B．C．D．3【分析】设实际每天施工x米，，原来计划每天施工（x﹣50）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划少
用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设实际每天施工x米，，原来计划每天施工（x﹣50）米，，依题意，得：3．故
选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D
为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝5，S△ABC＝15，则BM+MD长度的最小值为（）A．B．3C．6D．5【分析
】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA
+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【解答】解：由作法得EF垂直平分
AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+M
D的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵S△ABC?BC?AD＝15，∴AD6，∴BM+MD长度的最小值
为6．故选：C．8．（3分）定义新运算：对于任意实数a、b，都有ab．例如：42，因为4＞2，所以42＝42﹣4×2＝8．若
x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值为（）A．10或﹣10B．10C．﹣10D．3或﹣3【分析】
首先解方程x2+x﹣6＝0，再根据运算ab，分两种情况进行讨论求出x1x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2
+x﹣6＝0的两个根，∴（x﹣2）（x+3）＝0，解得：x＝2或﹣3，①当x1＝2，x2＝﹣3时，x1x2＝22﹣2×（﹣3）＝
10；②当x1＝﹣3，x2＝2时，x1x2＝﹣3×2﹣22＝﹣10．故选：A．9．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以
点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（）A
．4B．4C．2D．2【分析】根据图形得到S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算
即可．【解答】解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，∴S2﹣
S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积π×12﹣224，故选：A．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A
CB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P以每秒一个单位的速度沿着B﹣C﹣A运动，⊙P始终与AB相切，设点P运动的时间为t，⊙P的面积
为y，则y与t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求出AB的长度，再分点P在BC上与在AC上两种情
况，根据相似三角形对应边成比例求出⊙P的半径，然后根据圆的面积公式写出y、t的函数关系式，再根据二次函数的图象即可得解．【解答】解
：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，如图，过点P作PD⊥AB，∵⊙P始终与AB相切，∴PD为⊙P的半径，①当点P在
BC上时，sinB，即，解得PDt，所以，y＝π?PD2πt2，（0＜t≤4）②当点P在AC上时，sinA，即，解得PD（7﹣t）
，所以，y＝π?PD2π（7﹣t）2，（4≤t＜7）因此，y与t之间的函数关系图象为两段二次函数图象，纵观各选项，只有B选项图象符
合．故选：B．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．（3分）分解因式：a4﹣a2＝a2（a+1）（a﹣1）．【分
析】先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a4﹣a2＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a2（a+1）（a﹣1）．12．（3分）如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率为．【分析】采
用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意列表如下：共有6种等可能的情况数，
其中灯泡发光的有4种，即能让灯泡发光的概率是．故答案为：．13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是且x≠2．【分
析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意，得：，解得且x≠2．故答案为：且x≠2．14．（3
分）已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为6cm．【分析】设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥
底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，然后利用扇形的面积公式即可得到关于r的方程，解方程即可求得圆锥底面圆的半
径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2
πrcm，S圆锥侧面积2πr×9，解得：r＝3，∴圆锥的高为6cm，故答案为：6．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，B
C＝12，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝6，当四边形APQE的周长最小时，BP＝3．【分析】要使四边形
APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段A
F＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+E
Q＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．【解答】
解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝6，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一
点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH＝DF＝AD﹣AF＝12﹣6＝，EH＝3+6＝9，∠H＝90°，∴∠
GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝12﹣x﹣6＝6﹣x，在△CQE中，∠QCE＝90°，∠
CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝3，解得x＝3．故答案为：3．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3
，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转
2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是3032π．【分析】矩形旋转一次，顶点A所经过的路径是以右下角的顶点为圆
心，这个顶点到A的距离为半径的圆周长的，每转4次又回到开始位置，即可得出答案．【解答】解：旋转1次，A旋转到左上角，A经过的路径为
：2π?42π，旋转2次，A旋转到右上角，A经过的路径为：2π+2π?5π，旋转3次，A旋转到右下角，A经过的路径为：π+2π?3
6π，旋转4次，A旋转到左下角，A经过的路径为：6π+2π?06π，即旋转4次，A又回到左下角，故每旋转4次，A经过的路径为6π，
而2021＝4×505+1，∴连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×505+2π＝3032π，故答案
为：3032π．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）17．（8分）（1）计算：．（2
）先化简，再求值：，其中x是满足不等式组的整数解．【分析】（1）化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后
先算乘法，再算减法；（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再解不等式组确定x的取值范围，从而结合分式有意义的
条件选取合适的x的值，代入求值．【解答】解：（1）原式＝241﹣4＝221﹣4＝﹣5；（2）原式＝（）??，解不等式①，可得：
x＞﹣1，解不等式②，可得：x≤1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，∴不等式组的整数解为0，1，又∵x﹣1≠0，2x﹣1≠0，∴x
≠1且x，∴当x＝0时，原式1．18．（8分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，鄂尔多斯市某食品厂抽样调查了达拉特旗某居民区
市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图．（1）本次参加抽样调查的居民有60
0人；（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为72度，根据题中信息补全条形统计图；（3）若该居民小区有5000人，请你估计
爱吃D种粽子的有多少人？（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个
吃的粽子恰好是A种粽子的概率．【分析】（1）用喜欢D种口味粽子的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢B种口味
粽子的人数，再计算出喜欢C种口味粽子的人数，则用360度乘以喜欢C种口味粽子的人数所占的百分比得到它在扇形统计图中所占圆心角的度数
，然后补全条形统计图；（3）用总人数乘以爱吃D种粽子的人数所占的百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出他第二
个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民有：240÷40%＝600（人），
故答案为：600；（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝
120（人），所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°72°；补全条形统计图为：故答案为：72；（3）估计爱吃D种粽子
的有：5000×40%＝2000（人）；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3
，所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．19．（8分）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域
．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PE
B＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC、FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB＝2m（参考数据：s
in43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）．（1）求盲区中DE的长度；（2）点M在ED
上，MD＝2m，在M处有一个高度为0.65m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．【分析】（1）在Rt△ABC中，由边角关系可
求出AC，进而得出DF＝AC，再在Rt△DEF中，由直角三角形的边角关系可求出DE；（2）先求出EM，再根据直角三角形的边角关系求
出MN，与0.65m进行比较得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝43°，AB＝2，∴AC＝sin43°×AB≈0.
7×2＝1.4（m），即DF＝1.4m，在Rt△DEF中，DF＝1.4，∠E＝20°，∴DE3.5（m），答：盲区中DE的长度约为
3.5m；（2）如图，过点M作MN⊥DE，交PE于N，EM＝DE﹣DM＝3.5﹣2＝1.5（m），在Rt△EMN中，EM＝1.5，
∠E＝20°，∴MN＝tan20°×EM≈0.4×EM＝0.6＜0.65，∴能看见．20．（8分）为了做好校园疫情防控工作，校医每
天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要24min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要1
4min．（1）求校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）
与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为：y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系
，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十班教室（共10
间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．【分析】（1）设完成一间办公室和一间
教室的药物喷洒各要xmin和ymin，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；（2）根据（1）可知点A（6，12），则反比例函数表达
式为y，当x＝60时，y1，即可求解．【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则，解得：，故
校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要4min和6min；（2）一间教室的药物喷洒时间为6min，则10个房间需要60min，
当x＝6时，y＝2x＝12，故点A（6，12），设反比例函数表达式为：y，将点A的坐标代入上式并解得：k＝72，故反比例函数表达式
为y，当x＝60时，y1.2＞1，故一班学生不能安全进入教室．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上
的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（E
P不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若，AC＝13，求四边形CH
QE的面积．【分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据
切线的判定和性质定理即可得到结论．（2）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三
角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝12，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接
OE，OP，∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，∴PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP，∴PB＝BE，∵OE＝OP，O
B＝OB，∴△BEO≌△BPO（SSS），∴∠BEO＝∠BPO，∵BP为⊙O的切线，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE
⊥BC，∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，∴EP⊥AB，∵CG⊥AB，∴C
G∥EP，∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EA
O，∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），∴CE＝QE，∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AH
G＝90°，∴∠CEH＝∠AHG，∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH＝CE，∴CH＝EQ，∴四边形CHQE是平行四
边形，∵CH＝CE，∴四边形CHQE是菱形，∵sin∠ABC＝sin∠ACG，∵AC＝13，∴AG＝5，∴CG12，∵△ACE≌△
AQE，∴AQ＝AC＝13，∴QG＝8，∵HQ2＝HG2+QG2，∴HQ2＝（12﹣HQ）2+82，解得：HQ，∴CH＝HQ，∴四
边形CHQE的面积＝CH?GQ8．22．（9分）某商场销售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与
销售单价（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）在保证销售量尽可
能大的前提下，该商场每天还想获得750元的利润，应将销售单价定为多少元？（3）当每天销售量不少于30件，且销售单价至少为35元时，
该商场每天获得的最大利润是多少？【分析】（1）直接利用每件利润×销量＝总利润即可得到答案；（2）利用（1）中的关系式，令W＝750
解出x，再根据一次函数性质即可得到答案；（3）根据已知求出x的范围，再由二次函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）根据题意得
，W＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000；（2）由题意知，W＝750元，即﹣10x2+600x﹣80
00＝750，解得x1＝25，x2＝35，∵销售量y＝﹣10x+400随销售单价x的增大而减小，∴当x＝25时，既能保证销售量大，
又可以每天获得750元的利润；答：应将销售单价定为25元；（3）由题意知，x≥35，且﹣10x+400≥30，解得35≤x≤37，
∵W＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∴对称轴为直线x＝30，∴在对称轴右侧W随着x的增大而减小，
∴当x＝35时，W最大值，W最大＝﹣10×（35﹣30）2+1000＝750，答：该商场每天获得的最大利润是750元．23．（10
分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．（1）发现①线段DE、BG之间
的数量关系是DE＝BG；②直线DE、BG之间的位置关系是DE⊥BG．（2）探究如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（
1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）应用如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线
DE与BG的交点为P，若AB＝4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．【分析】（1）证明△AED≌△AGB可得出两个
结论；（2）①根据正方形的性质得出AE＝AG，AD＝AB，∠EAG＝∠DAB＝90°，求出∠EAD＝∠GAB，根据SAS推出△EA
D≌△GAB即可；②根据全等三角形的性质得出∠GBA＝∠EDA，求出∠DHB＝90°即可；（3）先确定点P到CD所在直线距离的最大
值和最小值的位置，再根据图形求解．【解答】解：（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是：DE＝BG，理由是：如图1，∵四边形AB
CD是正方形，∴AB＝AD，∠BDA＝90°，∴∠BAG＝∠BAD＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∴△AED≌△
AGB，∴DE＝BG；②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，理由是：如图2，延长DE交BG于Q，由△AED≌△AGB得：∠
ABG＝∠ADE，∵∠AED+∠ADE＝90°，∠AED＝∠BEQ，∴∠BEQ+∠ABG＝90°，∴∠BQE＝90°，∴DE⊥BG
；故答案为：①DE＝BG；②DE⊥BG；（2）探究（1）中的结论仍然成立，理由是：①如图3，∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方
形，∴AE＝AG，AD＝AB，∠EAG＝∠DAB＝90°，∴∠EAD＝∠GAB＝90°+∠EAB，在△EAD和△GAB中，，∴△E
AD≌△GAB（SAS），∴ED＝GB；②ED⊥GB，理由是：∵△EAD≌△GAB，∴∠GBA＝∠EDA，∵∠AMD+∠ADM＝9
0°，∠BMH＝∠AMD，∴∠BMH+∠GBA＝90°，∴∠DHB＝180°﹣90°＝90°，∴ED⊥GB；（3）应用将正方形AE
FG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，过P作PH⊥CD于H，①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，
在Rt△AED中，AD＝4，AE＝2，∴∠ADE＝30°，DE2，∴DF＝DE﹣EF＝22，∵AD⊥CD，PH⊥CD，∴AD∥PH
，∴∠DPH＝∠ADE＝30°，cos30°，∴PH（22）＝3；②∵DE⊥BG，∠BAD＝90°，∴以BD的中点O为圆心，以BD
为直径作圆，P、A在圆上，当P在的中点时，如图5，此时PH的值最大，∵AB＝AD＝4，由勾股定理得：BD＝4，则半径OB＝OP＝2
∴PH＝2+2．综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2，最小值是3．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣2，0），直线BC的解析式为y3．（1
）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边
形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式；（2）根据四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线，使该方程判别式为0即可求得E的坐标；（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y3，∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，∴点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3）；∵A（﹣2，0），∴代入抛物线得：，解得：，∴抛物线的表达式为：yx2+x+3；（2）∵AD∥BC，∴设直线AD的表达式为：yx+m，将A（﹣2，0）代入直线AD即可求得：m＝﹣1，∴直线AD：yx﹣1，设过点E与直线BC平行的直线：yx+n，∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，∴令yx+nx2+x+3，化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，由Δ＝36﹣4（4n﹣12）＝0得：n，∴方程①的解为：x1＝x2＝3，∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为（3，）；（3）存在，理由：①当AE是平行四边形的对角线时，∵y（x+2）2+（x+2）+3x2+4，∴新抛物线的表达式为：yx2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝2，∵点A、E的坐标分别为（﹣2，0）、（3，），∴AE中点的坐标为（，），设点M（2，t），点N（s，t2+4），则由中点公式得：，，解得：s＝﹣2，t＝2（负值舍去），∴N（﹣2，2）；②当AE是平行四边形的边时，设M（2，t''），点N（s''，t''2+4），则s''﹣2＝5，解得s''＝7，N（7，﹣2），s''﹣2＝﹣5，解得s''＝﹣3，N（﹣3，﹣2），综上，点N的坐标为：（﹣2，2）或（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）． |
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