山东省济南市2019年初三年级学业水平考试数学试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．)1.?－7的相反数是A．?－7B．－C．7D．?1【答案】C2．以下给出的几何体中，主
视图是矩形，俯视图是圆的是ABCD【答案】D3
．2019年1?月3日，“嫦娥四号”?探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆
．数字177.6用科学记数法表示为A．?0.1776×103B．?1.776×102C．1.776×103D．?17.76×
102【答案】B4．?如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为?A．20°B．35°
C．55°D．70°【答案】B5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是A．a－5＞
b－5B．?6a＞6bC．?－a＞－bD．?a－b＞0?【答案】C6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴
对称图形又是中心对称图形的是笛卡尔心形线斐波那契螺旋线A．B．C．D．【答案】C7．化简＋的结果是A．x－2
B．C．D．【答案】B【解析】＋＝＋＝＝＝．8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位
数和平均数分别是A．9.7m，?9.9mB．9.7m，?9.8mC．9.8m，?9.7mD．9
.8m，?9.9m【答案】B9．函数y＝－ax＋a?与y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是A．B．C．?D．【答案】D10
．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则
阴影部分的面积为A．9－3πB．9－2πC．18－9πD．18－6π【答案】A【解析】由已知可得
：CE＝CF＝AB＝3，AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF＝3，∠ECF＝120°．S△AEC＝S△AFC＝×3×3＝，S四边形A
ECF＝9，S扇形ECF＝×π×32＝3π．∴S阴影＝S四边形AECF－S扇形ECF＝9－3π．11．某数学社团开展实践性研究，在
大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向．请计算
一下南门A与历下亭C之间的距离约为(参考数据：tan37°≈，tan53°≈?)．A．225mB．275m
C．300mD．315m【答案】C【解析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，
∴tan37°＝＝．∴可设CD＝3x，AD＝4x．∴AC＝5x．在Rt△BCD中，∵tan∠DBC＝，∴tan53°＝＝．∴＝．∴
BD＝x．∵AB＋BD＝AD，∴105＋x＝4x．解得x＝60．∴AC＝5x＝300（m）．12．关于x的一元二次方程ax2＋bx
＋＝0有一个根是－1，若二次函数y＝ax2＋bx＋的图象的顶点在第一象限，设t＝2a＋b，则t的取值范围是A．－＜t＜B．－1＜
t≤C．－≤t＜D．－1＜t＜【答案】D【解析】将x＝－1代入ax2＋bx＋＝0，得a－b＋＝0．∴a＝b－………………………
……………①．∴t＝2a＋b＝2(b－)＋b＝3b－1……………………………………②．根据题意可知：二次函数y＝ax2＋bx＋的图
象经过点（－1，0）和（0，）．又∵二次函数y＝ax2＋bx＋的图象的顶点在第一象限，∴该抛物线的开口向下，与x轴有两个交点，且顶
点的纵坐标y顶＞．∴a＜0，b＞0．∴a＝b－＜0．∴b＜．又∵b＞0，∴0＜b＜．∴0＜3b＜．∴－1＜3b－1＜．又∵t＝3b
－1，∴－1＜t＜……………………………………③．下面再采用验证法作出进一步的判断：在＜t＜的范围内，若取t＝，得＝3b－1．解得
b＝．∴a＝b－＝－．此时y＝ax2＋bx＋＝－x2＋x＋＝－(x－)2＋，x顶＝＞0，y顶＝＞．∴t＝符合题意………………………
……………④．在－1＜t＜－的范围内若取t＝－，得－＝3b－1．解得b＝．∴a＝b－＝－．此时y＝ax2＋bx＋＝－x2＋x＋＝－
(x－)2＋，x顶＝＞0，y顶＝＞．∴t＝－符合题意……………………………………⑤．综上可知：答案选D．二、填空题：?(本大题共
6个小题，每小题4分，共24分．)13．分解因式：?m2－4m＋4＝________；【答案】(m－2)214．如图，一个可以自由
转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于________；【答案】15．?一个n边形的
内角和等于720°，?则n＝________；【答案】616．代数式与代数式3－2x的和为4，则x＝________；【答案】x＝
－117．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y(元)与用水量x?(m3
)之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多________元．【答案】210【解析】图中l
1的解析式为y＝3x，当x＝150时，y＝3×150＝450（元），∴小雨家去年用水的水费为450元．图中lBC的解析式为y＝6x
－240，当x＝150时，y＝6×150－240＝660（元）．660－450＝210（元）．∴水费将比去年多210元．18．?如
图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，?使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在M
N上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于________．【答案】【解析】由
题意可得：四边形ABNM是正方形，AM＝AB＝MN＝BN＝5，CN＝DM＝8－5＝3，∠ABM＝45°，CD＝CF＝5，DE＝EF
．在Rt△CFN中，∵CF＝5，CN＝3，∴FN＝4．∴MF＝MN－FN＝5－4＝1．设DE＝EF＝x，则ME＝3－x．在Rt△M
EF中，∵ME2＋MF2＝EF2，∴(3－x)2＋12＝x2．x＝．∴EF＝，则ME＝3－x＝．∴MF∶ME∶EF＝3∶4∶5．过
点P作PG⊥AM于点G，则∠GPM＝∠ABM＝45°．∴PG＝MG．∵PG∥MF，∴△EFM∽△EPG．∴PG∶EG∶PE＝MF∶
ME∶EF＝3∶4∶5．设PG＝MG＝3y，则EG＝4y，PE＝5y．∵EG＝MG＋EM，∴4y＝3y＋．∴y＝．∴PE＝5y＝．
三、解答题：?(本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)19．?(本小题满分6分)计算：()－1＋(π
＋1)0－2cos60°＋【解】原式＝2＋1－2×＋3＝5．20．?(本小题满分6分)解不等式组：，并写出它的所有整数解．【
解】由①，得5x－2x≤9＋3．∴x≤4．由②，得6x＞x＋10．∴x＞2．∴原不等式组的解集是2＜x≤4．它的所有整数解为：3，
4．21．?(本小题满分6分)如图，在□ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．【证明】∵
四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC．∴∠AFB＝∠DAF，∠DEC＝∠BCE．又∵∠DAF＝∠BCE
，∴∠AFB＝∠DEC．∴△ABF≌△CDE．∴BF＝DE．22．?(本小题满分8分)??为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书
架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种
图书的数量比B种图书多20本．(1)求A和B两种图书的单价；(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当
天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元?【解】（1）设B种图书的单价为x元，A种图书的单价为1.5x元，根据题意，得
；－＝20．－＝20．解得x＝20．经检验x＝20是原方程的根．∴1.5x＝30．答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20
元．(2)（20×30＋20×25）×0.8＝880(元)．答：共花费880元．23．?(本小题满分8分)如图，AB、CD是⊙O
的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．(1)求证；∠ABD＝∠CAB；(2)若B是OE的中点，AC＝
12，求⊙O的半径．【解析】（1）证明：∵AD＝AD，∴∠ABD＝∠ACD．∵OA＝OC，∴∠ACD＝∠CAB．∴∠ABD＝∠CA
B．（2）解：连接BC，则∠ACB＝90°．∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°．∵B是OE的中点，∴OB＝BE＝OE．∴OC＝
OB＝OE．∴∠E＝30°．∴∠COE＝60°．又∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形．∴∠ABC＝60°．在Rt△ABC中，∵t
an∠ABC＝，∴tan60°＝．∴BC＝＝4．24．?(本小题满分10分某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，
从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.24.14.74.14.34.34
.44.64.15.25.24.55.04.54.34.44.85.3
4.55.24.44.24.35.34.95.24.94.84.6
5.14.24.44.54.14.55.14.45.05.25.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力（
x）频数频率Ax＜4.240.1B4.2≤x≤4.4120.3C4.5≤x≤4.7aD4.8≤x≤5.0bE5.1≤x≤5.310
0.25合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：(1)统计表中的a＝_______，b?＝_______；(2)请补全条形统计
图；(3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人?(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机
挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【解】（1）a＝8，b?＝0.
15；(2)补全后的条形统计图如图所示：（3）400×0.25=100（人）．答：估计该校八年级学生视力为“E级”的有100人．
（4）根据题意，列表如下：一二男1男2女1女2男1（男，男）（女，男）（女，男）男2（男，男）（女，男）（女，男）女1（男，女）
（男，女）（女，女）女2（男，女）（男，女）（女，女）共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中“1男1女
”的结果有8种，所以其概率为＝．25．?(本小题满分10分)如图1，点A(0，8)、点B(2，a)在直线y＝－2x＋b上，反比例
函数y＝(x＞0)的图象经过点B．(1)求a和k的值；(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接A
C、?BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△B
CD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m的值．【解】（1）将点A(0，8)代入y＝－2x＋b，得b＝8．∴直线AB的解析式为
y＝－2x＋8．将点B(2，a)代入y＝－2x＋8，得a＝－2×2＋8＝4．∴点B(2，4)．将点B(2，4)代入y＝(x＞0)，
得k＝2×4＝8．∴反比例函数的解析式为y＝(x＞0)．（2）当m＝3时，D（5，4）．∴F（5，0）．将x＝5代入y＝，得y＝．
∴E（5，）．∴DE＝4－＝，EF＝．∴＝＝．（3）根据题意，得C（m，8），D（2＋m，4）．∴BC2＝(m－2)2＋(8－4)
2＝m2－4m＋20，BD2＝(2＋m－2)2＋(4－4)2＝m2，CD2＝AB2＝(2－0)2＋(4－8)2＝20．①若BC＝C
D，则m2－4m＋20＝20．解得m1＝4，m2＝0（不合题意，舍去）．②若BC＝BD，则m2－4m＋20＝m2．解得m＝5．∴满
足条件的m的值为4或5．26．?(本小题满分12分)?小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(一)猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，?将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
(1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，?请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是______，NB与MC的数量关系是_____
_；?(2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，(1)中结论是否仍然成立?若成立，请给予
证明，若不成立，请说明理由．?(二)拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝7
5°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最
小值．?【解】（1）∠NAB＝∠MAC，NB＝MC；（2）(1)中结论仍然成立，证明如下：由旋转可得：AN＝AM，∠NAM＝∠BA
C．∴∠NAB＋∠BAM＝∠BAM＋∠MAC．∴∠NAB＝∠MAC．又∵AB＝AC，∴△NAB≌△MAC．∴NB＝MC．（3）过点
A1作A1G⊥B1C1于点G，则B1G＝A1B1＝4，A1G＝B1G＝4．在△A1B1C1中，∴∠A1B1C1＝60°，∠B1A1
C1＝75°，∴∠C1＝45°．在Rt△ABC中，∵∠C1＝45°，∴A1C1＝A1G＝4．作A1B1的延长线B1F，将A1C1绕
点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P1(点P1在B1F上)，将A1B1绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1P2，连
接P1P2．根据题意可知：当点P在点C1处时，点Q在点P1处，当点P在点B1处时，点Q在点P2处．∵点P在线段B1C1上运动，∴点
Q在线段P1P2上运动．过点B1作B1H⊥P1P2于点H，则线段B1Q长度的最小值=B1H．与（2）同理可得：A1Q＝A1P，∠
QA1P1＝∠PA1C1．又∵A1P1＝A1C1＝4，∴△QA1P1≌△PA1C1．∴∠QP1A1＝∠PC1A1＝45°．在Rt△
P1B1H中，∵∠B1P1P2＝45°，∴B1H＝＝＝4－4．∴线段B1Q长度的最小值=B1H＝4－4．27．（本题满分12分
）如图1，抛物线C：y＝ax2＋bx经过点A（－4，0）、B（－1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛
物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx－经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐
标为m（m＜－2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，
连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【
解】（1）将点A（－4，0）、B（－1，3）的坐标分别代入y＝ax2＋bx，得．解得．∴抛物线C的函数解析式为y＝－x2－4x．∵
y＝－x2－4x＝－(x2＋4x)＝－(x2＋4x＋4－4)＝－(x＋2)2＋4，∴抛物线C的顶点G的坐标为（－2，4）．
（2）∵抛物线C与新的抛物线C′关于原点O中心对称，∴新的抛物线C′的函数解析式为－y＝－(－x)2－4(－x)，即y＝x2－4x
．将点A（－4，0）的坐标代入y＝kx－，得0＝－4k－－．解得k＝－．∴直线l的函数解析式为y＝－x－．设点D的坐标为（m，－m
2－4m）（其中m＜－2）．由题意可知：点D与点E关于原点O中心对称，∴点E的坐标为（－m，m2＋4m）且OD＝OE＝DE．∵DE
＝2EM，∴EM＝DE．∴OD＝OE＝EM．∴xM＝2xE＝－2m．把x＝－2m代入y＝－x－，得y＝－×(－2m)－＝m－．∴点
M的坐标为（－2m，m－）．∵点E是OM的中点，∴yE＝．∴m2＋4m＝．整理，得5m2＋17m＋6＝0．解得m1＝－3，m2＝
－（不合题意，舍去）．∴m＝－3．（3）存在点符合题意的点P，使得∠DEP＝∠GAB．在（2）的条件下，m＝－3，则点D的坐标为（
－3，3），点E的坐标为（3，－3）．取抛物线C′的顶点为点G′．由题意可得：点G（－2，4）与点G′关于原点O中心对称，∴点G′
的坐标为（2，－4）．分别连接BG、EG′、OG′．由点A（－4，0）、B（－1，3）可得直线AB的解析式为y＝x＋4，且AB＝3
．由点B（－1，3）、G（－2，4）可得直线BG的解析式为y＝－x＋2，且BG＝．∵kAB·kBG＝1×(－1)＝－1，∴AB⊥B
G．∴∠ABG＝90°．由点O（0，0）、E（3，－3）可得直线OE的解析式为y＝－x，且OE＝3．由点G′（2，－4）、E（3，
－3）可得直线EG′的解析式为y＝x－6，且EG′＝．∵kOE·kEG′＝1×(－1)＝－1，∴OE⊥EG′．∴∠OEG′＝90
°．∵AB＝OE＝3，BG＝EG′＝，∠ABG＝∠OEG′＝90°，∴△ABG≌△OEG′．∴∠GAB＝∠G′OE．∴要使∠DEP＝∠GAB，只要∠DEP＝∠G′OE即可．方法一：直线OG′的解析式为y＝－2x．作线段OE的垂直平分线，交线段OE于点N，交线段OG′于点F，作直线EF，交抛物线C与两点P1、P2，则∠FEO＝∠G′OE．∴点P1、P2即为所求线段OE的垂直平分线的解析式为y＝x－3．由解得．∴点F的坐标为（1，－2）．由点E（3，－3）、F（1，－2）可得直线EF的解析式为y＝－x－．由得2x2＋7x－3＝0．解得x1＝，x2＝．∴点P的横坐标为或．方法二：直线OG′的解析式为y＝－2x．在线段OG′上取一点F，使FE＝FO，则∠FEO＝∠G′OE＝∠GAB．直线EF交抛物线C于两点P1、P2，则点P1、P2即为所求．设F的坐标为（t，－2t），则OF2＝(0－t)2＋(0＋2t)2＝5t2，EF2＝(t－3)2＋(－2t＋3)2＝5t2－18t＋18．∵FE＝FO，∴5t2＝5t2－18t＋18．解得t＝1．∴F（1，－2）．由点E（3，－3）、F（1，－2）可得直线EF的解析式为y＝－x－．由得2x2＋7x－3＝0．解得x1＝，x2＝．∴点P的横坐标为或． |
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