2021年湖北省十堰市中考数学一模试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把
正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.1．数轴上表示﹣2的点到原点的距离是（）A．﹣2B．2C．﹣D．2．如图，△ABC的
顶点在正方形网格的格点上，则∠BAC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．某几何体的三视图如图所示
，则此几何体是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5abB．a3a2＝a6C．（﹣a3b）2＝a6
b2D．（a﹣2）2＝a2﹣2a+45．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此
计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（
）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变6．为响应承办“绿色奥运”的号召，九
年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1
.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（）A．B．C．D．7．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一
条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的
俯角为α，则A，B两地之间的距离为（）A．900sinα米B．900tanα米C．米D．米8．如图，A，B，C，D都是⊙O上的
点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC＝35°，则∠OBC＝（）A．15°B．20°C．30°D．35°9．将从1开始的自然数按
规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（）A．2025B．2023C．2022D．20211
0．如图，已知P（m，0），Q（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函数的图象与线段PQ交于C，D两点，若S△POC＝S△COD＝S
△DOQ，则n＝（）A．B．4C．3D．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．2020年3月9日，中国第54
颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000米，将36000000用科学记数法表示为．12．如图，等腰△ABC中
，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E．若∠DBC＝15°，则∠A＝．13．若a﹣b＝2，ab＝1，则
a3b﹣2a2b2+ab3＝．14．已知实数a，b，c，d满足＝ad﹣bc，若＝8，则a＝．15．如图，将半径为2的圆
形纸片，按如下方式折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是．16．如图，边长为2的菱形ABCD的顶点A，D分别在直角∠M
ON的边OM，ON上滑动．若∠ABC＝120°，则线段OC的最大值为．三、解答题（本题有9个小题，共72分）17．（5分）
计算：tan30°﹣+（π﹣3）0+|﹣|．18．（5分）化简：（1﹣）÷．19．（9分）某市教育局想了解各学校教职工参与志愿服
务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．志愿服务
时间（小时）频数A0＜x≤30aB30＜x≤6010C60＜x≤9016D90＜x≤12020请根据两幅统计图表中的信息回答下列问
题：（1）表中a＝；扇形统计图中“C”部分所占百分比为；“D”所对应的扇形圆心角的度数为；若该市共有5000
名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工人数大约为人；（2）若李老师和王老师参加志愿服务活动，社区随机安
排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在
同一路口的概率．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若
方程的两根都为整数，求正整数m的值．21．（7分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF
∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝2，求DE的长．22．（8分）
如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝7，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长
交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求线段ME的长．23．（9分）某企业研发了一种新产品，
已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝．（1）当售价为60元/件时，年销售量为
万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的
取值范围．24．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为边在正方形的外部作正△ABE，点F是对角线BD上的一个动点（点F
不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得线段AG，连接FG．（1）BD＝；（2）当G，F，C三点在同一直线上时
，判断线段BD与AG的数量关系及位置关系并证明你的结论；（3）连接EG，若AG＝3，直接写出EG的长．25．（12分）如图1，已知
抛物线y＝ax2﹣6ax+c过点A（2，0），C（0，﹣4），交x轴于点B，顶点为D，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式，并写
出D点的坐标；（2）M为抛物线上一点，若tan∠BCM＝，求直线CM的解析式；（3）如图2，CA，BD的延长线交于点E，点P在（1
）中的抛物线的对称轴上，Q为y轴左侧的抛物线上一点，是否存在以点O，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正
确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.1．解：﹣2在数轴上的位置如图所示：根据图示知，数轴上表示﹣2的点到原点的距离
是2．故选：B．2．解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠BAC+∠ACB＝∠ACD+∠ACB＝∠DCB＝45°，故选
：B．3．解：由几何体的左视图和主视图都是长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，∴该几何体是三棱柱．故选：C．4．
解：A．根据合并同类项法则，2a+3b≠5ab，那么A不符合题意．B．根据同底数幂的乘法，a3a2＝a5，那么B不符合题意．C．根
据积的乘方与幂的乘方，（﹣a3b）2＝a6b2，那么C符合题意．D．根据完全平方公式，得（a﹣2）2＝a4+4﹣4a，那么D不符合
题意．故选：C．5．解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：
B．6．解：原计划植树用的时间应该表示为，而实际用的时间为．那么方程可表示为．故选：A．7．解：由题意知∠BAC＝90°，∠ABC
＝α，AC＝900米，∵tan∠ABC＝，∴AB＝＝（米），故选：D．8．解：如图所示：∵∠ADC＝35°，∴的度数是70°，∵O
A⊥BC，OA过圆心O，∴＝，∴的度数是70°，∴∠AOB＝70°，∵OA⊥BC，∴∠OEB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣∠AOB
＝90°﹣70°＝20°，故选：B．9．解：观察数字的变化，发现规律：第n行的第一个数为n2，所以第45行第一个数为452＝202
5，再依次减1，到第4列，即452﹣3＝2022．故选：C．10．解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．∵S△P
OC＝S△COD＝S△DOQ，∴PC＝CD＝DQ，即OE＝EF＝FP，∵OP＝3OE＝m，∴OE＝m，OF＝m．设直线PQ的解析式
为y＝kx+n，∵点P（m，0）在直线PQ上，∴0＝km+n，解得：k＝﹣，即直线PQ的解析式为y＝﹣x+n．令﹣x+n＝，即nx
2﹣mnx+m2＝0，则x1?x2＝OE?OF＝＝m×m，解得：n＝，故选：A．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．解：36000000＝3.6×107，故答案为：3.6×107．12．解：设∠A＝x，∵DE垂直平分线AB，∴AD＝BD，∴
∠ABD＝∠A＝x，∴∠ABC＝15°+x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝15°+x，在△ABC中，根据三角形内角和等于180°
得，15°+x+15°+x+x＝180°，解得x＝50°．故答案为：50°．13．解：a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2a
b+b2）＝ab（a﹣b）2＝1×22＝4．故答案为4．14．解：∵＝8，∴2a2﹣6a＝8，即a2﹣3a﹣4＝0，∴（a﹣4）（
a+1）＝0，解得a＝4或﹣1，故答案为：4或﹣1．15．解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：∵OD＝AO，∴
∠OAD＝30°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，同理∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，∴阴影部分的面积＝S扇形BOC＝
×⊙O面积＝×π×22＝；故答案为：．16．解：如图，连接AC，BD交于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠ABC＝12
0°，∴∠GBC＝60°，∠BAD＝60°，∴BG＝BC＝1，CG＝AG＝，取AD的中点E，连接OE，∵AD＝2，∠MON＝90°
，∴OE＝AE＝1，过E作EF⊥AC于F，则∠DAG＝30°，∴EF＝AE＝，AF＝，∴CF＝，连接CE，∴CE＝＝＝，连接OC，
有OC≤OE+EC，当O、E、C共线时，OC有最大值，最大值是OE+CE＝1+，故答案为：1+．三、解答题（本题有9个小题，共72
分）17．解：原式＝＝1﹣2+1+＝．18．解：＝＝?＝．19．解：（1）本次被抽取的教职工共有：10÷20%＝50（人），a＝5
0﹣（10+16+20）＝4，扇形统计图中“C”部分所占百分比为：×100%＝32%，扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数
为：360°×＝144°，志愿服务时间多于60小时的教职工人数大约为：5000×＝3600（人）．故答案为：4，32%，144°，
3600；（2）设三个路口分别为1，2，3，根据题意画图如下：可以看出，共有9种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同
一路口的结果有3种．所以李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率是＝．20．解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个
实数根，∴Δ＞0．∴△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）＝﹣8m+40＞0．解得，m＜5；（2）由题意得，，∵x为整数，且m为正整数，∴
m＝3或m＝5，又m＜5．∴m＝3．21．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：过点D作DH⊥
BC于点H，如图所示：∵四边形BEDF是菱形，∴BF＝DF＝DE，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，∴∠DFH＝30°，∵D
H⊥BC，∴∠DHF＝∠DHC＝90°，∴DH＝DF，∵∠C＝45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DH＝CH＝CD＝×2＝2，∴
DF＝2DH＝4，∴DE＝4．22．（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°．∴∠DOB＝∠A+
∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线；（2）解：连接DM，∵DE
为⊙O的直径，∴∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝OB．∵OC＝OD，∴BC＝OC＝7，∴⊙O的半径OD的长为7．∴BD
＝＝7，∴BE＝＝＝7，∵∠DBM＝∠DBE，∠DMB＝∠BDE＝90°，∴△BMD∽△BDE，∴，∴，∴BM＝3，∴EM＝BE﹣
BM＝7﹣3＝4．23．解：（1）当x＝60时，代入y＝﹣x+80中，得y＝﹣60+80＝20（万件），故答案为：20．（2）设销
售该产品的年利润为W万元，当40≤x＜60时，W＝（x﹣30）（﹣2x+140）＝﹣2（x﹣50）2+800，∵﹣2＜0，∴当x
＝50时，Wmax＝800，当60≤x≤70时，W＝（x﹣30）（﹣x+80）＝﹣（x﹣55）2+625，∵﹣1＜0，当x＞55时
，W随x的增大而减小，∵60≤x≤70，∴当x＝60时，Wmax＝600，∵800＞600，∴当x＝50时，Wmax＝800∴当售
价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元．（3）45≤x≤55，理由如下：由（2）得：当40≤x＜60时，W＝（x﹣3
0）（﹣2x+140）＝﹣2（x﹣50）2+800，对称轴为直线x＝50，抛物线开口向下，（x﹣30）（﹣2x+140）＝750，
解得：x1＝45，x2＝55，由函数的性质可知：45≤x≤55．24．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD＝4，∠C＝
90°，∴BD＝CB＝4，故答案为：．（2），BD∥AG．理由如下：连接AC，由旋转可知AG＝AF，∠GAF＝60°，∴△AGF是
等边三角形，∴AF＝GF，∠G＝60°，∵BA＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴A
F＝CF＝FG，∴△AGC是直角三角形，∠FAC＝∠FCA＝30°，tanG＝，即tan60°＝，∴，∴，∵四边形ABCD是正方形
，∴AC⊥BD，∵AC⊥AG，∴BD∥AG．（3）如图2﹣1中，连接AC交BD于点O，当点D在线段OB上时，∵四边形ABCD是正方
形，∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∵AB＝4，∴AO＝OD＝OB＝OC＝2，∵AF＝3，∴OF＝＝＝1，∴BF＝OB﹣OF
＝2﹣1，∵AE＝AB，AG＝AF，∠EAB＝∠GAF＝60°，∴∠EAG＝∠BAF，∴△EAG≌△BAF（SAS），∴EG＝BF
＝2﹣1，如图2﹣2中，当点F在线段OD上时，同法可得BF＝2+1，∵△EAG≌BAF，∴EG＝BF＝2+1，综上所述，EG的长为
：或．25．解：（1）由题意得，∴，解得，，∴＝﹣（x﹣3）2，∴顶点D的坐标为（3，），（2）如图1，延长CA，BD交于点E，由
B（4，0），D（3，）得，，由C（0，﹣4），A（2，0）得，yAC＝2x﹣4，由得E（，），∴AE＝，BE＝，AB＝2，∴AE
2+BE2＝AB2，∴△AEB是直角三角形，且∠AEB＝90°，∴tan∠BCE＝，∴点A即为符合条件的点，∴M1（2，0），直线
CM的解析式为：，当M在BC下方时，如图2，设CM交对称轴于点F，过C作CN⊥FD于点N，则∠BCN＝45°，∵∠OCB＝∠BCN
＝45°，∠BCA＝∠BCM，∴∠FCN＝∠ACO，∴tan∠FCN＝tan∠ACO＝，∴，∴F（3，），∴直线CM解析式为，综上
所述：符合条件的直线CM解析式为：，；（3）设对称轴交x轴于点G，P（3，m），由（2）知△ABE为直角三角形，且，①如图3，当∠
OPQ＝90°时，过Q作QH⊥PG于点H，∴∠H＝∠PGO＝90°，∴∠GOP+∠GPO＝90°，∠HPQ+∠GPO＝90°，∴∠GOP＝∠HPQ，∴△OPG∽△PQH，∴，若，则PH＝2OG＝6，QH＝2PG＝﹣2m，∴Q（2m+3，m﹣6），∴可得方程，解得，，∴符合题意的点，若，则同理可得，②如图4，当∠PQO＝90°时，若＝，设Q（x，﹣（x﹣3）2），∴QH＝2OG＝（x﹣3）2﹣1，由OG+HQ＝3得，x+（x﹣3）2﹣1＝3，∴x＝，∴符合条件的Q3（，），如图5，若＝2，∴PH＝QG＝（x﹣3）2﹣，∴﹣x+3＝＝（x﹣3）2﹣，∴x＝1，∴符合条件Q4（1﹣，﹣4﹣2），当∠POQ＝90°时，若＝2，如图5，∴OH＝，∴﹣（x﹣3）2＝﹣，∴x1＝1，x2＝5（舍去），∴Q5（1，﹣），若＝，如图6，∴QH＝2PG＝6，∴﹣（x﹣3）2＝﹣6，∴x＝3，∴Q6（3﹣，﹣6），综上所述，Q点的坐标为，，Q3（，），Q4（1﹣，﹣4﹣2），Q5（1，﹣），Q6（3﹣，﹣6）． |
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