第四章 系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究
系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据
的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。4.1
频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。（frequencyresponse）
对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[
ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输
入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响
应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特
性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应
特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。输入谐
波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推
导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性
如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传
递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。【例2】求例1的频率特性和频率响应。系统的频率特
性为因此系统的频率响应为微分方程系统传递函数频率特性一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以用频率特性来描述。【例】图示机械
系统，已知k=10N/m,c=10Ns/m，分别求和
时位移的频率响应。解:系统的动力学方程为4.2频率特性的图示方法常用的频率特性的图示方法有极坐标图和对数坐标
图。一、频率特性的极坐标图(Nyquist图)也称幅相频率特性图1、Nyquist图及物理意义G(j?)：?的复变函数给定?，
G(j?)可以用一矢量或其端点（坐标）来表示幅值(矢量的长度)：A(?)=?G(j?)?相位(与正实轴的夹角）：?(?)=∠G(
j?)?(?)的符号：从正实轴开始，逆时针为正，顺时针为负实部（在实轴上的投影）: U(?)=A(?)cos?(?)虚部（在虚轴上
的投影）：V(?)=A(?)sin?(?)当?从0?∞，G(j?)端点的轨迹即为频率特性的极坐标图（Nyquist图-乃奎斯
特图）图中?的箭头方向为?从小到大的方向。极坐标图中极坐标与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。极坐标图不仅表示任一频率下的幅频
特性和相频特性，而且也表示实频特性和虚频特性。相频特性表示输出信号滞后于输入信号，其相位之差为分析极坐标图（1）当ω=ω3时，N
yquist曲线与单位圆相交幅频特性输入频率ω3的谐波信号时，输出谐波幅值等于输入谐波幅值。（2）当ω<ω3时，例如ω2，Nyq
uist曲线在单位圆外幅频特性输入频率ω2的谐波信号时，输出谐波幅值增大。即输入谐波的频率较低时，输出谐波的幅值不但没有衰减，反
而有增大。这一特性称为系统的低通特性。（3）当ω>ω3时，例如ω4，Nyquist曲线在单位圆内幅频特性输入频率ω4的谐波信号时
，输出谐波幅值被衰减。且随着ω的增大，输出幅值衰减越来越大，当ω→∞时，这一特性称为系统的高频衰减特性。相频特性（4）当ω=ω5时
，Nyquist曲线与负实轴相交幅频特性2.典型环节的Nyquist图(1)比例环节传递函数：G(s)=K频率特性：G(
j?)=K幅频特性：?G(j?)?＝Ｋ相频特性：?G(j?)=0o实频特性：U(?)=K实轴上的一定点，坐标(K,j0)
虚频特性：V(?)=0(2)积分环节传递函数：G(s)=1/s频率特性：G(j?)=1/j?幅频特性：?G(j?)?＝1
/?相频特性：?G(j?)=－90o实频特性：U(?)=0虚频特性：V(?)=－1/?虚轴下半轴，由无穷远点指向原点
(3)微分环节传递函数：G(s)=s频率特性：G(j?)=j?幅频：?G(j?)?＝?相频：?G(j?)=90o实频：
U(?)=0虚轴上半轴，由原点指向无穷远点虚频：V(?)=?传递函数：频率特性：幅频：相频：?G(j?)=－arct
anT?虚频：实频：(4)惯性环节当?＝0时，?G(j?)?=1，?G(j?)=0o当?=1/T时，
，?G(j?)=-45o当?＝?时，?G(j?)?=0，?G(j?)=-90o惯性环节G(s)=1/(Ts+1
)Im1Re0ω=0ω=∞-450当ω从0??时，惯性环节频率特性的Nyquist图为正实轴下的一个半圆，圆心为(1/2,j0)
，半径为1/2。频率特性：G(j?)=1+jT?幅频：相频：?G(j?)=arctanT?实频：U(?)=1虚频：V(?)
=T?(5)一阶微分环节传递函数：G(s)=1+Ts始于点(1,j0)，平行于虚轴传递函数：频率特性：令λ=?/?
n(6)振荡环节λ=?/?n幅频：相频：实频：虚频：当?=0，即?＝0时，?G(j?)?=1，?G(j?)=0o；当?
=1，即?＝?n时，?G(j?)?=1/(2ξ)，?G(j?)=－90o；当?=?，即?＝?时，?G(j?)?=0，?G
(j?)=－180o；Im振荡环节G(jω)1Re0AB曲线与虚轴交点B的频率是无阻尼固有频率?n此时的幅值为1/(2ξ)由求
得?rξ<0.707时，幅频?G(j?)?在频率?r处出现峰值(谐振峰值，?r：谐振频率)求?r显然?r有阻尼固有频率）阻尼比ξ取值不同，Nyquist图的形状也不同ξ≥0.707， 无谐振ξ=0.707，A(ω)在初始点时最大ξ
≤0.707幅频A(ω)出现峰值,且ξ越小,谐振频率和谐振峰值越高ξ≥1， 两个一阶环节的组合ImRe0ω=01ω(7)延
时环节传递函数：G(s)=e??s频率特性：G(j?)=e?j??=cos??－jsin??幅频：?G(j?)?＝1相
频：?G(j?)=－??实频：U(?)=cos??虚频：V(?)=－sin??Nyquist图：单位圆3.绘制N
yquist概略图形的方法一：1）由G(j?)求出其实频特性Re[G(j?)]、虚频特性Im[G(j?)]、幅频特性?G(j
?)?、相频特性?G(j?)的表达式；2）求出若干特征点，如起点(?=0)、终点(?=?)、与实轴的交点(Im[G(j?)]=0)
、与虚轴的交点(Re[G(j?)]=0)等，并标注在极坐标图上；3）补充必要的几点，根据?G(j?)?、?G(j?)和Re[G(j
?)]、Im[G(j?)]的变化趋势以及G(j?)所处的象限，作出Nyquist曲线的大致图形。传递函数一般表示成若干典型环节的
串联形式：幅频特性=组成系统典型环节的幅频特性之乘积。相频特性=组成系统典型环节的相频特性之代数和。传递函数频率特性4.绘制N
yquist图的方法二：当ω＝０时，若υ=0，则?G(j?)?=K，?G(j?)=0ｏ，Nyquist曲线的起始点是一个在正实轴
上有有限值的点若υ=1，则?G(j?)?=∞，?G(j?)=－90ｏ，在低频段，Nyquist曲线逐渐接近于与负虚轴平行的直线；若
υ=2，则?G(j?)?=∞，?G(j?)=－180ｏ，当ω＝∞时，则?G(j?)?=0，?G(j?)=(m-n)×90ｏ当G(s
)包含有导前环节时，若由于相位非单调下降，则Nyquist曲线将发生“弯曲”。【例3】传递函数
，绘制Nyquist图。幅频：解方法1：系统的频率特性相频：?G(j?)=－90ｏ－arctanT?实频
：虚频：?＝0，U(?)=－KT，V(?)=－?， ?G(j?)?=?，?G(j?)=－90ｏ?＝?，U(?)=0，V(?)=0
， ?G(j?)?=0，?G(j?)=－180ｏ幅频：方法2：由传递函数可知，系统由比例环节、积分环节和惯性环节串联组成。所以幅频
特性和相频特性是各个环节的组合。相频：?G(j?)=－90ｏ－arctanT?m=0,n=2,υ=1当ω＝０时，则?G(j?)
?=∞，?G(j?)=－90ｏ，在低频段，Nyquist曲线渐近于与负虚轴平行的直线；当ω＝∞时，则?G(j?)?=0，?G(j?
)=(m-n)×90ｏ=(0-2)×90ｏ=-1800【例4】传递函数
，绘制Nyquist图。解方法1：系统的频率特性幅频：相频：虚频：实频：?＝0，U(?)=－?，V(
?)=?， ?G(j?)?=?，?G(j?)=－180ｏ?＝?，U(?)=0，V(?)=0， ?G(j?)?=0，?G(j?)=
－360ｏ令U(?)=0幅频：方法2：由传递函数可知，系统由一个比例环节、两个积分环节和两个惯性环节串联组成。相频：m=0,n=
4,υ=2当ω＝０时，则?G(j?)?=∞，?G(j?)=－180ｏ，当ω＝∞时，则?G(j?)?=0，?G(j?)=(0-4)×
90ｏ=-360010倍频程dec二、频率特性的对数坐标图(Bode图)Bode图对数坐标图由对数幅频特性图和对数相频特性图组
成。①对数幅频特性图：表示幅频特性横坐标：频率ω，按对数分度，单位s-1角频率变化10倍，在横坐标上线段长等于一个单位将该频带
宽度称为十倍频程，用“dec”表示刻度值不标lgω值，而是标真值ω值。标注真值几何上的等分→真值的等比纵坐标：?G(j?)?的分贝
值按线性分度，单位dB1dB=20lg?G(j?)?（简写为20lg?G?）特别：当幅值分贝为0dB，?G(j?)?=1，输出幅值
=输入幅值幅值分贝dB>0，?G(j?)?>1，输出幅值>输入幅值(放大）幅值分贝dB<0，?G(j?)?<1，输出幅值<输入幅值
(衰减）②对数相频特性图：表示相频特性横坐标：同上纵坐标：相位∠G(j?)按线性分度传递函数一般表示成若干典型环节的串联形式：
对数幅频特性=组成系统各典型环节的对数幅频特性之代数和。对数相频特性=组成系统各典型环节的相频特性之代数和。Bode图的优点1）
作图简单：将串联环节幅值的乘、除化为加、减。2）可用近似方法作图：先分段用直线作出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线修正。3）可分
别作出各环节的Bode图，然后用叠加法得出系统的Bode图。4）便于细化感兴趣的频段。2.典型环节的Bode图(1)比例环节传
递函数G(s)=K频率特性G(j?)=K对数幅频特性20lg?G(j?)?＝20lgＫ相频特性?G(j?)=0
o对数幅频特性曲线：一条高度为20lgK的水平直线对数相频特性曲线：与00重合的一直线(2)积分环节传递函数G(s)=1/s
频率特性G(j?)=1/j?对数幅频特性20lg?G(j?)?＝20lg1/?=－20lg?相频特性?G(j?)=
－90o对数幅频特性:过点（1,0）斜率－20dB/dec的直线对数相频特性:过点(0,－90o)平行于横轴的直线(3)微
分环节传递函数G(s)=s频率特性G(j?)=j?对数幅频特性20lg?G(j?)?＝20lg?相频特性?G(j?)=
90o对数幅频特性：过点（1,0）斜率20dB/dec的直线对数相频特性：过点(0,90o)平行于横轴的直线对数幅频特性幅频特性
(4)惯性环节传递函数频率特性令相频特性对数幅频特性低频段(ω<<ωT)：20lg?G(j?)??20lg?T－20lg?T＝0d
B低频渐近线：0dB水平线，止于点(ωT，0)高频段(ω>>ωT)：20lg?G(j?)??20lg?T－20lg?高频渐近线：始
于点(ωT,0)，斜率为－20dB/dec的直线ωT是低频渐近线与高频渐近线交点处的频率，称为转角频率对数相频特性：?=0，?
G(j?)=0°；?=?T，?G(j?)=－45°；?=?，?G(j?)=－90°；对数相频特性曲线对称于点(?T,－45°)?
≤0.1?T时，?G(j?)?0°?≥10?T时，?G(j?)?-90°传递函数频率特性ωT:转角频率(5)一阶微分环
节(或称导前环节)对数幅频特性：低频段（ω<<ωT）：20lg?G(j?)??20lg?T－20lg?T＝0dB高频段（ω>>ω
T）：20lg?G(j?)??20lg?－20lg?T始于点（ωT,0)，斜率20dB/dec的直线对数相频特性：?=0，?
G(j?)=0°；?=?T，?G(j?)=45°；?=?，?G(j?)=90°；对数相频特性曲线对称于点(?T，45°)传递函数
频率特性对数幅频特性：(6)振荡环节低频段：ω<<ωn(λ≈0)20lg?G(j?)??0dB（低频渐近线为0dB水平线）
振荡环节的Bode图高频段：ω>>ωn(λ>>1)20lg?G(j?)??－40lgλ=－40lg?＋40lg?n高频渐近线为始
于点(1,0)，斜率－40dB/dec的直线ωn:转角频率对数相频特性：?=0，?G(j?)=0°；?=?n，?G(j?)=－
90°；?=?，?G(j?)=－180°；对数相频特性曲线对称于点(1,－90°)相频特性(8)延时环节传递函数G(s)=e??
sG(j?)=e?j??频率特性?G(j?)?＝1?G(j?)=－??对数幅频特性20lg?G(j?)?＝0dB相频特性随
?增加而线性增加，在线性坐标中，?G(j?)是一直线，但对数相频特性是一曲线。④②10dB①③⑤典型环节的对数幅频特性①积分环节:
过点（1,0）斜率－20dB/dec的直线②微分环节：过点（1,0）斜率20dB/dec的直线③惯性环节：低频渐近线：0dB高频渐
近线：始于点(ωT,0)，斜率－20dB/dec的直线④导前环节：低频渐近线：0dB高频渐近线：始于点(ωT,0)，斜率20d
B/dec的直线⑤振荡环节：低频渐近线0dB高频渐近线始于点(1,0)，斜率－40dB/dec的直线典型环节的对数相频特性②积分环
节:过点(0,－90o)平行于横轴的直线③微分环节：过点(0，90o)平行于横轴的直线④惯性环节：在00~-900范围内变换
对称于点(?T,－45°)的曲线⑤导前环节：在00~900范围内变换对称于点(?T,45°)的曲线⑥振荡环节：在00~-1800范
围内变换对称于点(1,-90°)的曲线3.系统Bode图的绘制(1)环节曲线叠加法1）G(s)→若干个标准形式环节的传递函数
(常数项为1)2）确定标准形式环节传递函数的频率特性G(j?)3）确定各典型环节的转角频率4）作出各典型环节的对数幅频特性的渐
近线5）将各典型环节的对数幅频特性叠加（不包括增益K）6）叠加后的曲线垂直移动20lgK（增益K），得到系统的对数幅频特性7）作
各环节的对数相频特性，叠加得到系统的对数相频特性8）有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性加上－??【例6】作传递函数为的
系统的Bode图。传递函数化为标准形式解：1）G(s)→标准形→G(j?)系统的频率特性系统由一比例环节、一导前环节、二个惯性环
节串联组成。惯性环节转角频率转角频率导前环节惯性环节转角频率求各环节的转角频率作惯性环节、导前环节的对数幅频特性渐近线，叠加上移
9.5dB（比例环节20lg3）作各环节的对数相频特性曲线，叠加1000.10.2121020L(ω)40db20dbω0db[-
20]-20db[-20]--40db若系统频率特性1）系统在低频段的频率特性为(2)顺序斜率法分析表明系统的Bode图具有以下
特点：因此，其对数幅频特性在低频段表现为过点(1,20lgK)，斜率为－20?dB/dec的直线2）在各环节的转角频率处，对数
幅频特性渐近线的斜率发生变化，其变化量等于相应的典型环节在其转角频率处斜率的变化量（即其高频渐近线的斜率）。顺序斜率法绘制对数幅
频特性的步骤：G(s)→标准形式（常数项为1）→G(j?)；确定各典型环节的转角频率，标在横坐标轴上；过点(1,20lgK)，
作斜率为－20?dB/dec的直线；延长该直线，每遇到一个转角频率改变一次斜率。惯性环节增加-20dB/dec一阶微分
环节增加+20dB/dec二阶振荡环节增加-40dB/dec1000.10.2121020L(ω)40db20dbω
0db[-20]-20db[-20]--40dbA(ω)ΔA(0)Amax0.707A(0)ωrωMωbω4.3频率特性的特征量
频率特性的特征量（频域性能指标）1）零频幅值A(0)：表示当频率ω接近于0时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。A(0)越接近于
1，系统的稳定误差越小。2）复现频率ωM：幅频特性值与A(0)的差第一次达到Δ时的频率值。Δ：反映低频输入信号的允许误差。复现
带宽0～ωM：复现低频输入信号的频带宽度。3）谐振频率ωr：幅频特性A(ω)出现最大值Amax时的频率。谐振比或相对谐振峰值Mr
：4）截止频率ωb：幅频特性A(ω)的数值由A(0)下降3dB即0.707A(0)时的频率。截止带宽0～ωb：频率0~ωb的范
围带宽越大，响应的快速性越好例4.4最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统：所有零点和极点均在[s]平面的左半平面与非最小相位系统相比：幅频特性相同，但前者的相位变化范围最小（非最小相位系统）（最小相位系统）最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图结论：在相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范围是所有这类系统中最小的。任何非最小相位系统的相角范围都大于最小相位系统的相角范围。BodeDiagram0-5相同的幅值特性Magnitude(dB)-10-15-200-45Phase(deg)-90最小相位系统非最小相位系统-135-180-2-10121010101010Frequency(rad/sec)和的相角特性第四章小结（1）掌握频率特性的定义和代数表示法；掌握频率特性与传递函数的关系；掌握频率特性的求法；（2）掌握频率特性Nyquist图和Bode图的组成原理；熟悉典型环节Nyquist图和Bode图的特点及其绘制；掌握一般系统Nyquist图和Bode图的特点和绘制。（3）掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能的关系。（4）了解最小相位系统和非最小相位系统的概念。作业4.1，4.5，4.7，4.8，4.11，4.13，4.14，4.17，4.18，4.19