正、余弦定理及其应用
一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理 内容 变形形式 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
②sinA=,sinB=,sinC=;
③a:b:c=sinA:sinB:sinC;
④ 解决的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 已知三边，求各角；
已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinBa>bA>B）
二、应用举例
1、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；
②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）
2、ΔABC的面积公式
（1）；
（2）；
（3）。
【基本训练】
1．在△ABC中，“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______．
3．在△ABC中，为的中点，且，则.
4．在中，若，，，则
考点集结
考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用
〖例1〗a=，b=，B=45°，求A,C及边c．
2)在中，角所对的边分.若，则（）
A．B．C．-1D．1
1.在△ABC中以知A=30°a、b分别为角A、B对边，且a=4=b
解此三角形
考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围
〖例2〗若△的三个内角满足则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.
C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．cos的最小值为。
1.在ΔABC中，若，则ΔABC的形状为.
2、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形是（）
A、等腰三角形B、直角三角形
C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形。
4.在△ABC中，，则A的取值范围是（）
（A） （B） （C） （D）
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝
(1)判断△ABC的性状；
(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．〖例〗在中，分别是三个内角的对边若，，的=________
3）在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．
1、在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积；（II）若，求的值．
ABC中，sin(C-A)=1,sinB=。（I）求sinA的值(II)设AC=，求ABC的面积。
3.△ABC的周长为12，且sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC，则其面积最大值为。
考点四：利用正余弦定理求角
〖例〗中，为边上一点，，．
（1）求的大小；
（2）当时，求的值．
1.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,,则角A的大小为.〖例〗2）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()
A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里B．C.tanA+tanB+tanC＞0D．b=3，c=3，B=30°
2．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果2b=a+c，∠B=30△ABC的面积为，那么b等于()
A． B．1+C． D．2+
3．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．△ABC中已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则其周长为。
5．△ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：=。B．C．D．b=3，c=3，B=30°
7．在中，则.
8.在中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=_____
9.若a、a+1、a+2为钝角三角形的三边求a的范围
10.在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB＝，bsinA＝4.
(1)求cosB和a；
(2)若ABC的面积S＝10，求cos4C的值．的内角、、的对边长分别为、、，，，求。
13、如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75°，求山顶的海拔高度。
B
D
C
A
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