第三章正投影法基础§3-1投影法的基本概念§3-2三视图的形成及其基本规律§3-3几何元素的投影分析§3-4基本体的投影分析§3-5轴测投
影结束§3-1投影法的基本概念本节主要内容一、投影方法二、投影法的种类三、正投影法中平面和直线的投影特点结束S投射中心投射线
A空间点投影ba投影空间点B投影面一、投影方法物体在投影面上的影像称投影，获得投影的方法称投影法。结束二、投影法的种
类中心投影法和平行投影法a投影投射线AbB投影面PcS投射中心C物体1.中心投影法投射线都交于投射中心的投影方法称中心投影法。
中心投影法一般不反映物体的实际大小和形状，由于度量性差，在工程制图中不采用此种方法。结束2.平行投影法投影投射线aA物体b投影面
PBcC将投射中心移至无限远处,则投射线相互平行,此种投影方法称平行投影法。结束在平行投影法中投影大小与物体和投影面间距离无关
，度量性好。投射方向90°≠90°(1)平行投影法种类：正投影法、斜投影法PP斜投影法正投影法结束BACScabPP(2)平行投
影法的特性：真形性、定比性、平行性。a、真形性平行于投影面的线段，其投影反映实长；平行于投影面的平面，其在投影面上的投影反
映平面的实形。DSEde△abc≌△ABCed=ED结束b、定比性直线上两线段之比等于其投影之比。CBAPc、平行性空间两
线段平行，则它们的投影仍相互平行。CADBbcacadbP定比性AC∶CB=ac∶cb平行性AB∥CD，ab∥cd结束三、正投
影法中平面和直线的投影特点投影面q正投影是平行投影的一种，具有平行投影法的特性。真形性、积聚性、类似性rsQRS真形性积聚性类
似性空间平面或直线平行于投影面，其投影反映平面的实形或线段的实长。空间平面或直线垂直于投影面，其平面的投影积聚为一直线，直线的投影
积聚为一点。空间一平面倾斜于投影面，其投影为空间图形的类似形。结束本节结束结束§3-2三视图的形成及其投影规律本节主要内容：一
、三投影面体系二、三视图的形成及其投影规律结束一、三投影面体系1.问题的提出一般情况下，在正投影法中仅用一个投影面，不能完全、
准确地表达物体的全部形状和结构。投影面不同的实体在一个投影面中的投影却相同结束ZXOOX轴V面与H面的交线OY
轴H面与W面的交线YOZ轴V面与W面的交线投影面正立投影面（简称正面或V面）V水平投影面（简称水平面或H面）侧立投影面（简称侧面
或W面）W投影轴H结束2.三投影面体系的建立VWH将物体置于三个相互垂直的投影面内，从不同的方向向三个投影面进行投影，这三个相
互垂直的投影面构成的体系称为三投影面体系。结束W面向右旋转ZVWOXHY1.视图的概念V面不动视图就是将物体向投影面投射所得的图
形。ZWVH面向下旋转YOX国标规定：V面保持不动，H面向下绕OX轴旋转90°W面绕OZ轴向右旋转90°H结束二、三视图的形成
及其投影规律高宽长宽主、俯视图长相等且对正为了简化作图，在三视图中不画投影面的边框线，视图之间的距离可以根据具体情况确定。左视图
主视图主视图——立体的正面投影俯视图——立体的水平投影左视图——立体的侧面投影俯视图2.三视图之间的度量对应关系长对正
主、左视图高相等且平齐高平齐俯、左视图宽相等且对应宽相等结束3.三视图之间的方位对应关系?主视图反映：上、下、左、右?
俯视图反映：前、后、左、右?左视图反映：上、下、前、后上上右后左前上下下右后右左左前下结束本节结束结束§3-3几何
元素的投影分析基本内容:一、点的投影二、直线的投影三、平面的投影结束一、点的投影PAB1B2B31.点在一个投影面上的投影点在
一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。a?Pb?结束Za?点A的正面投影a?●a点A的水平投影Aa?●●XWOa?点A的
侧面投影a●2.点的三面投影空间点A在三个投影面上的投影VHY空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。结束aZWaZXVa
a??a●aaYXOYaya●HY投影面展开不动向右翻转90°ZVa?z●●a?A●●WXxOa●ayHY向下翻转90°结束ZaZ
a?a?●●aXOXYaYaYa●Y点的投影规律ZVaZa??●a?AaX●●WXOaYa●HYa?a?⊥OZ轴①a?a⊥OX
轴②aax=a?az=y=A到V面的距离a?ax=a?ay=z=A到H面的距离aay=a?az=x=
A到W面的距离结束a?●a?●a?●aXa●例1已知点A的两个投影，求第三投影。解法一:通过作45°线使a?aZ=aaXaza?
●aXa●aZ解法二:用圆规直接量取a?aZ=aaX结束Z在哪里？在哪里？Zb?●OYa?XOXY●abb?a?a?●●●
例2已知点的两个投影，求第三投影。b?●空间点B在哪里？空间点A在哪里？空间点B在OZ轴上空间点A在OX轴上结束●●●●●●两点
的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。Za?a?b?b?XYW判断方法aYHb▲x坐标大的在左
▲y坐标大的在前B点在A点之前、之右、之下。▲z坐标大的在上结束●●●●●c?重影点A、C为H面的重影点a?空间
两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。a?c?()acA、C为哪个投影面的重影点呢被挡住的投
影加()？结束a?a?●●b?b?●●a●b●BA●B●●MA●αA●B●●●●a≡b≡mbb●●aa●二、直线的投影将两点的
同面投影用直线段连接，就得到直线段的同面投影。1.各种位置直线的投影特性直线对一个投影面的投影特性：直线垂直于投影面投影重合为一点
积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosα结束直线在三个投影面
中的投影特性：平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面平行线：特殊位置直线：垂直于某一投影面投影面垂直线:与三个投影面都倾斜的直
线一般位置直线：结束a?a?a?b?a?a?b?a?βγb?b?ααb?b?aaβbaγbb⑴投影面平行线正平线（∥Ｖ面）侧平线
（∥Ｗ面）水平线（∥Ｈ面）实长实长正平线水平线侧平线实长与H面的夹角:α、与V面的角:β、与W面的夹角:γ投影特性：
①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的倾角。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。结束●
c?(d?)c?●d?e?(f?)f?a?a?e?b?b?d●efca(b)⑵投影面垂直线铅垂线（⊥Ｈ面）、正垂线（⊥Ｖ面）、
侧垂线（⊥Ｗ面）铅垂线正垂线侧垂线投影特性:①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。②
另外两个投影，结束b?b?a?a?ab⑶一般位置直线投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹
角的实际大小，且与三根投影轴都倾斜。结束2.直线与点的相对位置直线与点有两种相对位置：点在直线上、点在直线外。判别方法b?V◆
若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。并将线段的同面投影分割成与空间相同的比例。即：c?Ba?CAbcaHAC/CB
=ac/cb=a?c?/c?b?（定比性）◆若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。结束k?●●
●另一判断法?因ak/kb≠a?k?/k?b?应用定比性：所以点K不在AB上。例判断点K是否在线段AB上。a?a?方法一
：k?b?b?因k?不在a?b?上故点K不在AB上。akb方法二：结束b?Vd?a?Bc?ADCacbdH3.两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。(1)两直线平行投影特性空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。结束b?
d?a?c?acbd例1判断图中两条直线是否平行。分析：对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。结论
：AB//CD结束如何判断？例2判断图中两条直线是否平行。分析：c?c?a?a?对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平
行，空间直线不一定平行。d?d?b?b?cbda求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。方法：求出侧面投影结束c?Vb?b?k?c?
k?a?d?d?CBa?ADKdadkabckbcH(2)两直线相交交点符合点的投影规律投影特性若空间两直线相交，则其同面投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。结束b?k?d?c?●a?adkbc●例过C点作水平线CD与AB相交。OX步骤：1
.先作正面投影：作c?d?∥OX交a?b?于k?。2.连接ck并延长求得d。结束d?3?a?●4?●c′b?c2b●●da
1(3)两直线交叉投影特性1?(2?)●★同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。●3(4)★“交点”是
两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线是否相交？Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。结束三、
平面的投影平面在三投影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的同面投影确定。平面对于三投影面的位置可分为三类投影面垂直面投影面平行
面一般位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面垂直面特殊位置平面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面平行面一般位置平面与三个投
影面都倾斜结束b?b?c?a?a?βcγba正垂面、铅垂面、侧垂面1.投影面垂直面只垂直正面投影面——正垂面只垂直水平投影面——
铅垂面只垂直侧面投影面——侧垂面c?ABC是铅垂面。ABC是什么平面？垂直面的投影特性：积聚性在它垂直的投影面上的投影积聚成直线
。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。结束b?c?a?c?b?a?acb正
平面、水平面、侧平面2.投影面平行面平行于正面投影面——正平面平行于水平投影面——水平面平行于侧面投影面——侧垂面ABC是什么平
面？水平投影是实形，所以ABC是水平面平行面的投影特性：实形在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与
相应的投影轴平行的直线。结束例参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。S为铅垂面R为正平面P为正垂面结束b?b?c?c
?a?a?bac3.一般位置平面投影特性：三个投影都是类似形。结束4.平面上的直线和点(1)平面上取任意直线如何判断直线在平面
内？方法一：若一直线通过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在
该平面内。方法二：结束b?c?a?bacmdn例1已知平面由相交的两直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二
（利用方法二）（利用方法一）d?b?m?n?c?a?bac有无数个解。结束a?c?20b?bca例2在平面ABC内作一条水平线
，使其到H面的距离为20mm。n?m?问题：本题有几个解？nm结论：唯一解！结束b?k?c?●a?ab●kc(2)平面上取点
面上取点的方法——定点先定线即：找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1已知K点在平面AB
C上，求K点的水平投影。利用平面的积聚性求解结束f?m?●g?e?f●meg例2已知M点在平面EFG上，求M点的水平投影。h?h
通过在面内作辅助线求解结束c?d?b?a?adb例3如图所示，已知一般位置平面ABCD的正面投影和AB、AD两条边的水平投影
ab和ad，补全该面的水平投影。分析：ABCD既然是平面，则它的对角线必相交。k?作图：1）连接a′、c′和b′、d′，得交点k
′；2）连接b、d，在bd上求出k，并连接a、k；k3）在ak上求出c，连接b、c和d、c，即得该平面的水平投影；c结束本节结
束结束§3-4基本体的投影分析基本要求1.掌握立体的投影特性和作图方法。2.掌握立体表面取点、取线的方法。结束一、平面体表
面为平面的基本体称为平面基本体，简称平面体。绘制平面立体的方法：只要找出属于平面立体上的各棱面、棱线、顶点的投影，并且判断可见性
。一）棱柱1.六棱柱的投影特性2.第三章%20正投影法基础.ppt#56.幻灯片56六第三章%20正投影法基础.ppt#56.
幻灯片56棱柱的表面取点二）棱锥1.第三章%20正投影法基础.ppt#57.幻灯片57棱锥的投影特性2.第三章%20正投影
法基础.ppt#59.幻灯片59棱锥的表面取点结束1.六棱柱的投影特性一个视图反映上、下底面的实形，其它两个视图反映棱线的长
度。结束一）棱柱高平齐长对正宽相等结束由于直六棱柱的各个面均处于特殊位置，因此在表面上取点可以利用平面的积聚性投影。m′m″（n
′）（n″）当立体表面上的点处于立体的不可见表面上时，其投影加括号表示，例如（n′）。nm结束2.六棱柱表面取点1.棱锥的投影
特性一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。结束二）棱锥高平齐长对正宽相等结束(1)正四棱锥m′m″由于正四棱锥的各个面
均处于特殊位置，因此在表面上取点可以利用平面的积聚性投影。m结束2.棱锥表面取点s‘s’‘(2)三棱锥m′m″n’snm结束二、
回转体回转体的表面是回转面或回转面和平面。常见的有圆柱体、圆锥体和球等。一）圆柱1.圆柱的投影特性2.圆柱的表面取点、取线二）圆
锥1.圆锥的投影特性2.圆锥的表面取点、取线三）球1.球的投影特性2.球的表面取点、取线结束圆柱体的表面是圆柱面和上、下底面。圆
柱面可以用一条母线绕与之平行的轴线回转而成，也可以用一个圆母线沿轴线方向连续移动而成。1.圆柱的投影特性一个投影为圆，另外两个投
影为大小相同的矩形。结束一）圆柱2′（4′）1″（3″）1′4″2″3′正面投影的1′1′和3′3′两边为正面转向线的投影。侧
面投影的2″2″和4″4″两边为侧面转向线的投影3′2″2′（4′）1′4″1″（3″）4132结束2.圆柱表面取点已知圆柱
体表面上点A的正面投影a′、点B的侧面投影（b″），试完成各点的其它两视图。a′a″（b′）（b″）ba结束圆锥的表面是圆锥面和
底面。圆锥面是用一条母线绕与之相交的轴线回转而成。1.圆锥的投影特性一个投影为圆，另外两个投影为大小相同的等腰三角形。结束二）圆
锥s′s″正面投影的两腰s′a′和s′c′为正面转向线的投影。侧面投影的两腰s″d″和s″b″为侧面转向线的投影。s″（
c″）s′（d′）c′a′d″b″dacsb结束2.圆锥表面取点S′S″已知圆锥体表面上点Ⅰ的正面投影1′、点Ⅱ的水平面投影2
″，试完成各点的其它两视图。（2′）（2″）1″1′素线法——过点的已知投影和圆锥顶点连接成一条直线。a′纬圆法——过点的已知投影
作一个圆。s21a结束圆球的表面是由圆母线绕与自身的直径回转而成。1.球的投影特性三个投影均为圆。结束三）球a″a′a圆的各
个投影均没有积聚性，三个投影上的圆为三个方向投射的三条不同转向线。例如：a′是正面投影转向圆的投影。结束已知圆球表面上点Ⅰ的水平
面投影1′试完成其它两视图。1′1″方法：通过点Ⅰ的水平投影作水平面的辅助纬圆，这个辅助纬圆的正面投影积聚为一条线，正面投影1′
必然落在此线上。1结束2.圆球表面取点本节结束结束§3-5轴测投影基本要求1.轴测投影的基本知识2.正等轴测图的
画法3.斜二轴测图的画法结束一、轴测投影的基本知识。1.轴测投影的形成轴测投影（或轴测图）是将立体用平行投影法连同确定其空间位置
的直角坐标系，沿不平行于坐标面的方向向单一投影面进行投影所得到的投影图。轴测图能同时反映形体长、宽、高三个方向的形状，具有立体感强
，形象直观的优点，但不能确切地表达零件原来的形状与大小，且作图较复杂，因而轴测图在工程上一般仅用作辅助图样。结束结束ZZ1OXOY
X1Y1轴测轴轴测投影图轴测投射方向轴测投影面结束2.轴测投影的特性由于轴测图是用平行投影法所得，因此它必定具有下列投影特性：(
1)立体上相互平行的线段，在轴测图上仍相互平行。(2)立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。(3)立体
上平行于轴测投影面的直线和平面，在轴测图上反映实长和实形。结束3.轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数(1)轴间角：立体的空间坐标轴O
1X1、O1Y1、O1Z1的轴测投影OX、OY、OZ称为轴测轴，轴测轴之间的夹角称为轴间角，例如：∠XOY、∠YOZ、∠
ZOX。(2)轴向伸缩系数：轴测轴上的线段与立体空间坐标上对应线段的长度比，称为轴向伸缩系数。p1、q1、r1分别成为X、Y、
Z轴的变形系数。结束正轴测投影图：投射方向与轴测投影面垂直，将物体放斜．使物体上的三个坐标面和P面都斜交．这样所得的投影图称
为正轴测投影图，简称正等测。斜二轴测投影图：投射方向与轴测投影面倾斜，为了便于作图，通常取XOZ坐标面平行于轴测投影面，这样所得
的投影图称为斜轴测投影图，简称斜二测。结束二、轴测图的画法1.正等轴测投影图的画法：(1)正等轴测图的形成简化轴向伸缩系数：p=q=r=1轴向伸缩系数：p1=q1=r1=0.82轴间角结束ZXYZ1Y1X1轴测投影面投射方向结束(2)平面立体正等轴测图的画法基本方法：按照“轴测”原理，根据立体表面上各棱线交点的坐标值，找出它们的轴测投影并连接，即完成轴测图。结束ZZ′4′6''2''1''3′5''O′X′ⅥOⅡⅤY56ⅣXⅠⅢ12OX43Y结束(3)回转体正等轴测图的画法基本方法：把端面圆看作四边平行于坐标轴X、Y的正方形的内切圆，用四心法近似画出圆柱体上、下端面椭圆的四段圆弧。端面的椭圆用四段圆弧近似代替结束4ZXⅣⅡφDO12YⅢⅠφD3四心法：一种近似画椭圆的方法xOy结束ZOYX结束三种方向正等轴测圆柱的比较结束2.斜二轴测投影图的画法：(1)斜二轴测图的形成轴向伸缩系数：p=q=1、r=0.5轴间角OY与OX夹角为135°，OZ与OX夹角为90°。结束结束(2)空心圆锥体斜二轴测投影图的画图步骤：结束结束本章小结投影法是图解空间几何问题和图示三维形体的理论基础。本章介绍的点、直线、平面、立体等的多面正投影的方法是以后学习的基础，应当熟练掌握。结束 |
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