2.5变换投影面2.5.1换面法的基本概念几何元素的空间位置保持不动，用一个新的投影面来代替原来的某一投影面，使空间几何元素与新的投影
面处于有利于解题的位置。我们把这种方法称为变换投影面法。新投影面的选取必须符合以下两个基本条件：1．新的投影面必须与空间几何元素处
于有利于解题的位置；2．新投影面必须垂直于被替换投影体系中的某一投影面。2.5.2换面法的投影规律1.点的一次换面a???a
?a?1a?1axVV?A??V1X??Hax1.???axV1V1?Haax1X1—X1H?XaHX1V新投影体系旧投影体
系X—H1)．换V面A点的两个投影：a,a?1A点的两个投影：a,a?新旧投影之间的关系a???a?1a?a?1axVV?A
??X?V1?Hax1?.??axV1?Haax1X1?Xa1)aa?1?X1HX12)a?1ax1=a?ax一般规律
：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。X1H
1V?.a??a1?O1axVXH?a?2).换H面ax1X1H1V?.?a??a1?a?1?●axV.XHV1?HX1a?求
新投影的作图方法更换V面更换H面a??ax1Vaxax1XHa?由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距
离等于被代替的投影到原投影轴的距离。作图规律：X2a2ax2?H2?a?1?????ax1?V1X1—先把V面换成平面V1，V
1?H，得到中间新投影体系:HV1X2—再把H面换成平面H2，H2?V1，得到新投影体系:H22.点的二次换面⑴
新投影体系的建立按次序更换V1Va??A?axX?aHX1?a2???ax2.ax1.?H2HV1V1X2X1?a?1⑵求新
投影的作图方法a?作图规律a2a?1?X2轴a2ax2=aax1?VaxXHa?3.换面法的基本作图问题1．把一
般位置直线变换为新投影面平行线可求直线的实长和对投影面的倾角一次换面b?V1a?1a?a?AVVXb1b?HbBaa
.H?X1●V1●a?1b?1b例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V
1。作图：H新投影轴的位置？不行！换H面行吗？与ab平行。［例2］已知直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′，试求直线AB的实长和α角
2把投影面平行线变换为新投影面的垂直线把投影面平行线变换为投影面垂直线，是为了使直线投影成为一个点，从而解决与直线有关的度量问
题(如求两直线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。［例2］已知正平线AB的两投影，试把它变为投影面垂直线两次换面3.
把一般位置直线变换为投影面垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投影面均不
垂直，不能构成正投影体系，所以需要经过两次换面。第一次：将一般位置直线变为新投影体系中的投影面平行线。第二次：将投影面平行线变为另
一投影体系中的投影面垂直线。X2a2?b2ax2b?b??P2VV1b1?a?a?VBXa1?AHbabXaX1H
Ha1X1.●V1●b1H2?V1a2??b2?X2作图：先变换V面然后再换H面例3已知直线AB的V投影和端点A的H投影
，其实长为30mm，是完成该直线的H投影。b2130H1X1b11V30a1bx1b?ax1O1a?bxVXOHaxb1ab2分析
由于一次换面可把一般位置直线变换为投影面平行线，利用已知直线AB=30，先求出新投影a1b1，然后再返回求出其旧投影ab。作图步
骤：1）在V面适当位置作O1X1∥a?b?；2）求得点A的H1投影a1；3）以a1为圆心，以为30mm半径画圆弧，与过b?垂直于O
1X1的直线交于两点b11、b21，连a1b11,a1b21，即为实长；4）过b?作直线垂直于OX轴，并量取b1bx=b1
1bx1,b2bx=b21bx1，连即为所求（两个解答）。平面的投影变换d?P1c1a?c?a1?d1c?Cb1d.VX
Ha●●●c1a1?d1d1X1bDBccHdαP1bX1H一次换面3。把一般位置平面变换成投影面垂直面例如：求平面△ABC对
H面的倾角.Vd?a?b?AXaX1H1Vb1a1?b?d1c1d?Va?XHc?bdac［例］求平面△ABC的?角作
图过程：★在平面内取一条水平线AD。★将AD变换成新投影面的垂直线。a2●b2●a1?b1.●c2●.P2c
1●HP1P1X2X1把一般位置平面换为投影面平行面：第一次把一般位置平面换为投影面垂直面，第二次再把投影面垂直面换为投影面平行
面。二次换面c?如图所示：a?b?VXHa先换V面再换H面bc参考动画过程写出作图步骤X1H1Va2??b2?b1d?a
1d1c2?c1V2H1X2d［例1］试求平面△ＡＢＣ的实形和?角实形先换H面再换V面d2b?a?c?VXHbac例2
已知一般位置平面?ABC的V、H投影，是求其内切圆中心的投影。分析因为?ABC为一般位置平面，为求其内切圆中心的投影，应先用
两次换面求出?ABC的实形，然后在实形上求出内切圆中心，最后返回求出内切圆中心的投影。作图步骤：1）换V面，把?ABC变换为正垂面；2）换H面，把?ABC变换为水平面；3）在实形?a2b2c2上求出内切圆中心G2；4）返回求得内切圆中心的投影G、G?。 |
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