第4章立体表面的交线截交线：当平面与平面立体相交在立体表面产生的交线称为截交线。相贯线:两立体相交在立体表面产生的交线称为相贯线
。平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯4.1平面与立体的相交1.平面与平面立体的截交线截交线的性质：1）截交线既在截平
面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面的共有线。2）截交线的形状由直线围成的平面多边形。3）多边形的顶点是立体棱线与截平面的交
点，多边形的各边是截平面与立体表面上不同平面的交线。平面与平面立体截交线的求法1）求各棱线与截平面的交点→线面交点法。2）求
各棱面与截平面的交线→面面交线法。求截交线的步骤：1)空间及投影分析a、截平面与体的相对位置:确定截交线的形状b、截平面与投影面
的相对位置确定截交线的投影特性2)画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。1?●2?4?●●3?●4●13●●
2●例1：四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影。s’s’’1?(4?)2?3?1)空间分析2)投影分析3)求截交线s4)
补全棱线的投影5)检查:尤其注意检查截交线投影的类似性我们采用的是哪种解题方法？线面交点法例2：求P、Q两平面与三棱锥截交线
的投影解题步骤1．分析:截平面的正面投影积聚，截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影待求；2．求出截交线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ；3．顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；4。补全轮廓线。例3已知立体的V、W投影，试求其H投影。例4已知上部
开有通槽的四棱锥主视图，试完成其俯、左视图。例5:已知主视图和左视图，求俯视图。1.2求平面立体斜截面的实形4.1.3平面与回
转体的相交回转体截切的基本形式平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的平面图形。截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或者由
直线段围成。求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交
线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。⒉画
出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：先找特殊点，补充中间点。将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。2.1
圆柱的截交线截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置●●●●例1：补画左视图保留动画解题步骤：1)空间及投
影分析截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置2)分析圆柱体轮廓素线的投影3)求截交线例2圆柱被正垂面截切，试画出三视图。解
题步骤1．分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚，侧面投影和水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求
出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性；5．补全轮廓线。截平面与圆柱轴线的倾角为θ，其交线
的W投影为椭圆，椭圆的长、短轴随θ的变化而变化截平面与圆柱轴线成45°时,投影为圆例3:圆柱上部有一切口，若已知其Ｖ、Ｈ投影
，试求Ｗ投影例4:圆柱上部有一切口，若已知其Ｖ、Ｈ投影，试求Ｗ投影2.2圆锥面截交线根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同
，截交线有五种形状。平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线例1:求正垂面与圆锥的截交线,求画出斜截面的实形。解题步骤1．
分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的解特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般
点Ⅴ；4．光滑且顺次连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．补全轮廓线。例2:截平面P与圆锥相交，求截交线的投影例3圆锥被
正垂面P和侧平面Q截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。2.3圆球的截交线截交线总是一个圆。由于截平面相对于投影面的位置
不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。例1:求平面λ与圆球的截交线例2:求半圆球切槽后的Ｈ、Ｗ投影水平面截圆球的截交
线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线
。保留动画保留动画2.4综合举例首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，
并依次将其连接。同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。例:求连杆头部的截交线4.2回转体的相贯线相
贯线的主要性质1)共有性相贯线是两立体表面的共有线。2)分界性相贯线两立体表面的分界线。3)封闭性相贯线一般是封闭的空
间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。两立体相交可分为：1)两平面立体相
交：可归结为求两平面的交线问题，或求棱线与平面的交点问题2)平面与曲面立体相交：可归结为求平面与曲面立体截交线问题3)曲面立
体相贯线本节主要介绍此问题3.1利用积聚性求相贯线例１:轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。●●●●●●●●●求相贯线的投
影：空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面
，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。利用积聚性，采用表面取点法。1、找全特殊点2、补充一般点3、判别可见性光滑连接4、
补全轮廓线曲面立体相贯的三种基本形式1．两外表面相交3。两内表面相交2．外表面与内表面相交；3.2用辅助平面法求相贯线辅助平面
法：根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。作图方法：假想用辅助平面截切两回转体
，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：使辅
助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。一般选择投影面平行面此处用水平面作为辅助平面求共有点例1：求圆柱与圆锥
相贯线的投影解题步骤1分析:相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点；2求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3求出若干
个一般点Ⅳ、Ⅴ；4光滑顺次连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5补全轮廓线。例2：两圆柱斜交，求其相贯线3.3相贯线的
特殊情况1．蒙日定理:若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）.2.若两回转面相交，具有公共回转轴线时，则其相贯线为圆。当回转轴线过球心时，回转体与球的相贯线为圆。3.4圆柱、圆锥相贯线变化规律当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。例4如图所示为三个回转体相交，试求其相贯线。 |
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