1.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
（I）证明：是侧棱的中点；
求二面角的大小。
2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
3.如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．
4.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．
6.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，求证：∥
（III）求二面角的大小。
7.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。
8.如图3，在正三棱柱中，AB=4,,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。
如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，
（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，
求证：∥
（III）求二面角的大小。
10.如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：
（Ⅰ）直线到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．
11．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
12（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，
PH是四棱锥的高，E为AD中点
证明：PEBC
若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
参考答案
1、【解析】（I）解法一：作∥交于N，作交于E，
连ME、NB，则面，,
设，则,
在中，。
在中由
解得，从而M为侧棱的中点M.
解法二:过作的平行线.
（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。
（Ⅰ）设，则
，
，由题得
，即
解之个方程组得即
所以是侧棱的中点。
法2：设，则
又
故，即
，解得，
所以是侧棱的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
设分别是平面、的法向量，则
且，即且
分别令得，即
，
∴
二面角的大小。
2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。
（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..
设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。
由得2AD=，解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。.
因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，
所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.
解法二：
（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC，=0，求得b=1，所以AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量则
又=（-1，1，0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1,z=,=(1,1,).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故°，求得
于是，
，
°
所以与平面所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC平面ABC，，所以平面ABC
而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中，，
所以
4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE//PD，，又∵，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设
则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=
5、解：方法（一）：
（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以就是与平面所成的角，
且
所求角为
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，
设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，
所求角的大小为.
（3）设所求距离为，由，得：
6、【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD,BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
…………………………………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴PM∥平面BCE.…………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°,∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,
在Rt⊿FGH中,,
∴二面角的大小为
…………………………………………12分
解法二:因等腰直角三角形，，所以
又因为平面，所以⊥平面，
所以
即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I)设，则，
∵，∴，
从而
，
于是，
∴⊥,⊥
∵平面，平面，
∴
（II），从而
于是
∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，
故∥平面
（III）设平面的一个法向量为，并设＝（
即
取，则，，从而＝（1，1，3）
取平面D的一个法向量为
故二面角的大小为
7、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。
SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得ACBE.
(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，SDCD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。
过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，
故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60°
在Rt△ADE中，AD=,DE=，AE=。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由cot60°=
得，即=3
，解得=
8、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,
所以DE⊥平面.又DE平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ）解法1:过点A作AF垂直于点,
连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以AF平面,故是直线AD和
平面所成的角。因为DE，
所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，
于是AD=，AE=4-CE=4-=3.
又因为，所以E==4,
,.
即直线AD和平面所成角的正弦值为.
解法2:如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),(2,0,),D(-1,,0),E(-1,0,0).
易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.
设是平面的一个法向量，则
解得.
故可取.于是
=.
由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为.
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。……..12分
9、【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD,BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴PM∥平面BCE.…………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°,∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,
在Rt⊿FGH中,,
∴二面角的大小为………………12分
解法二:因等腰直角三角形，，所以
又因为平面，所以⊥平面，所以
即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I)设，则，
∵，∴，
从而
，
于是，
∴⊥,⊥
∵平面，平面，
∴
（II），从而
于是
∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，
故∥平面
（III）设平面的一个法向量为，并设＝（
即
取，则，，从而＝（1，1，3）
取平面D的一个法向量为
故二面角的大小为
10、解法一:（Ⅰ）平面,AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。
在中，
由平面，得AD，从而在中，
。即直线到平面的距离为。
（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE
，所以，为二面角的平面角，记为.
在中,,由得,,从而
在中,,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二:
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则
A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设可得,由.即,解得∥，
面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则因且,而
,此即解得①,知G点在面上,故G点在FD上.
,故有②联立①,②解得,.
为直线AB到面的距离.而所以
（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设,.由
得,解得.即.故
由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以
111111.解：(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，.
故二面角A-PB-C的余弦值为.
12.解：以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则
（Ⅰ）设
则
可得
因为
所以
（Ⅱ）由已知条件可得
设为平面的法向量
则即
因此可以取，
由，
可得
所以直线与平面所成角的正弦值为
5
C
B
A1
B1
C1
D
E
S
A
B
C
D
M
z
x
y
|
|
