正余弦定理考点分析及例题讲解考点回顾：直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边
之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA
＝cosB＝http://www.shulihua.net/，cosA＝sinB＝http://www.shulihua.net/
，tanA＝http://www.shulihua.net/。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C
为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的
正弦的比相等。http://www.shulihua.net/。（R为外接圆半径）正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：sinA∶s
inB∶sinC＝a∶b∶c；＝＝＝＝2R；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝，sin
B＝，sinC＝.三角形面积公式：S＝absinC＝bcsinA＝casinB.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理的公式：或.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，
求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、
已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.解题中利用中，
以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称
为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A
、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－
bb；（3）边与角关系：典例解析题型1：正弦定理例1、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60
°，B＝45°，则AC＝例2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形
D．钝角三角形题型2：余弦定理例1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于()A
．1B．2C.－1D.解析由余弦定理得cosA＝，∴＝，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．巩固练习：1、在△ABC中
，(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2
＋b2＋ab，则C＝_______.(4)在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.B．3C.D．5
2、在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于()A．60°B．45°或135°C．120°D．30°题型3：
正弦、余弦定理求角度例1、(2013·湖南·文5)在锐角△ABC中,角A、B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于
().3、在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则角C等于()A．30°B．120°C．60°D．150
°4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sin
A＝sinC时，求b及c的长．2．解(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－，0<∠C<π，∴sinC＝.(2)当a＝2
,2sinA＝sinC时，由正弦定理＝，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－及0<∠C<π，得cosC＝±.由余弦
定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±b－12＝0(b>0)，解得b＝或2，∴或题型2：三角形面积例1、在△ABC中，a
＝10，b＝8，C＝30°，则△ABC的面积S＝.例2、在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是
________．例3、在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．题型3：正、余弦定理判断三角形形状判
断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例1、在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的
形状．例2、在中，已知，那么一定是（）直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形1、在△ABC
中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．解由余弦定理知cosA＝，cosB＝，cosC＝，代入已
知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(
a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．2、在△AB
C中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直
角三角形D．等腰三角形答案B解析∵sin2＝＝，∴cosA＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形
．3、已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为()A．60°B．90
°C．120°D．150°解析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即＝－，∴cosC＝－
，∴∠C＝120°.5、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形
B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAco
sB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.6、在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶
5∶7，则这个三角形的最小外角为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析∵a∶b∶c＝sinA∶s
inB∶sinC＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则cosC＝＝－.∴C＝120°.∴最小外角为60
°.7、△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．
等腰直角三角形D．等边三角形8、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则()A．
a>bB．as120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.9、如果将直
角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确
定解析：设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a
＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．10、在△ABC中，sinA＝sin
B，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11、在△ABC中，若＝＝，则△AB
C是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：＝＝，∴ta
nA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.12、在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是()A.B．
(10，＋∞)C．(0,10)D.解析∵＝＝，∴c＝sinC.∴0个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由a＝2bcosC得，
sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2s
inBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.14、在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则s
inA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶615、已知三角形面
积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A．1B．2C.D．4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由
πR2＝π，得R＝1，由S△＝absinC＝＝＝，∴abc＝1.在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝_
_______.解析∵cosC＝，∴sinC＝，∴absinC＝4，∴b＝2.17、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.解析由正弦定理＝，得＝，∴sinB＝，故B＝30°或150°
.由a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.18、在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，
b，c，则＋＋＝________.19、在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝_
_______.解析＝＝＝12.∵S△ABC＝absinC＝×6×12sinC＝18，∴sinC＝，∴＝＝12，∴c＝6.
20、在△ABC中，求证：＝.证明因为在△ABC中，＝＝＝2R，所以左边＝＝＝＝＝右边．所以等式成立，即＝.22、在△ABC中，
B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．60°C．75°D．90°解析设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，∴＝＝＝＋＝＝＋，∴tanA＝1，A＝45°，C＝75°.23、在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.解cosB＝2cos2－1＝，故B为锐角，sinB＝.所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin＝.由正弦定理得c＝＝，所以S△ABC＝acsinB＝×2××＝. |
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