中考中的相似三角形第一部分知识梳理一、相似的性质1、对应角相等，对应边成比例2、对应边上的中线、高之比，对应角平分线之比等于相似比3、周长
之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。二、相似三角形的判定1、平行于三角形一边的直线，截三角形两边或延长线，所得三角形与原三角
形相似2、两角对应相等的两三角形相似3、两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似4、三边对应成比例，两个三角形相似第二部分
中考链接一、相似三角形的性质1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，
若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元2
．（2018?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：273．（2018?重庆）要
制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
为（）A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm4．（2018?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则
△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：95．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，
相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32B．8C．4D．166．（2017?重庆）已知△ABC∽△D
EF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：17．（2018?广东）在△A
BC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．8．（2018?自贡）如图，在△
ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．168题图1
1题图12题图9．（2019?常州）若△ABC～△A′B''C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A''B′C''的周长的比为()A．2
∶1B．1∶2C．4∶1D．1∶410．（2019?兰州）已知△ABC∽△A''B''C''，AB=8，A''B''=6，则=（）A．2
B．C．3D．11．（2019?重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是（）A．2B．3
C．4D．512．（2019?常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△
ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26二、相似三角形的判定（一）利用平行线证三角形相似
1．（2018?枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．
C．D．1题图2题图3题图2．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CA
B，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．3．（2018?东营）如图所示，已
知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则
△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．（2018?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E
在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：
1D．3：14题图5题图6题图7题图5．（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（
）A．1B．C．1D．6．（2018?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交
AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=7．（2018?遵义）如图，
四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则
AD的长为（）A．5B．4C．3D．28．（2018?贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=1
6，则S△ABC=（）A．16B．18C．20D．248题图9题图10题图11题图9．（2018?泸州）如图，正方形ABCD
中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．10．（2018
?临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．
B．C．D．11、（2018?恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线B
D交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6B．8C．10D．1212．（2018?香坊区）如图，点D、E、F分
别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A．=B．=C．=D．=
13．（2018?荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△
ABG=（）A．1：3B．3：1C．1：9D．9：112题图13题图14题图15题图14．（2018?达州）如图，E，F是
平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）
A．B．C．D．115．（2018?临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=1
2.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m16．（2019?杭州）如图，在△ABC中，
点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．B．C．D．1
6题图17题图18题图19题图17．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连
接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=（）A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶318．（2019?玉林）如图，AB∥EF∥DC
，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对19．（2018?济宁）如图，点A是反比
例函数y=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△
BOC的面积是4，则△DOC的面积是．20．（2018?邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，
交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．20题图21题图22题图23题图24题图21．（2018?北京
）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．22．（2018?包
头）如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△
AEF=1，则S△ADF的值为．23．（2018?资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四
边形BCED的面积为．24．（2019?淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、
E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________25．（2018镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC
，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相
切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行
四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．27．（2019?菏泽）如
图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．（
1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．（二）两角对应相等两三角形相似1．（2018?聊城）如图
，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，
使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）2．（20
18?永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2B．4C
．6D．81题图2题图3题图4题图3．（2019?淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD
=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2aB．aC．3aD．a4．（2019?赤峰）如图，D、E分别是△ABC
边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．45．（2018滨
州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为．5题图
．6题图7题图8题图6.(2018盐城)如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边
BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=________．7．（2019?南京
）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．8
．（2019?宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．9．（201
8?济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于
点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长
为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．10．（2018?杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，D
E⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．11．（2018镇江）如图，一次函
数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线
l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE
=∠ABO时，点E的坐标为．12．（2018?滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠D
AB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD?AO．13．（2018日照）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一
点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是
的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长．14．（2018?东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径A
B的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．15.（2018黄冈）如图，AD是⊙O的直
径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.（1）求证：∠CBP=∠ADB.（2）若OA
=2，AB=1，求线段BP的长.16．（2018?张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不
与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△P
AN∽△PMB．17、（2019?淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以A
E为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE?CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影
部分的面积．18、（2019?济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，
AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．19．（2019
?滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证
：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF?AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．20．（2
019?聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交O
F于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．（三）、三边对应成比例1．（2018?临安区）如
图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2019?连云港）在如图所
示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格
点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处（四）、两边成比例，夹
角相等1、（2018徐州）如图，AB为⊙O的直径，AB=4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使BP?BQ=AB2
．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为．2．（2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（
0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若
不能，请说明理由．三、相似三角形的应用1．（2018?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌
谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影
子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五
尺C．一丈D．五尺2．（2018?绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD
，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2mB．0.3mC．0
.4mD．0.5m1题图2题图3题图4题图5题图3．（2018?泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中
有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边
长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南
门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．4．（2018?岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著
，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为
12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．5．（2018?吉林）如图是测量河宽的示意图，AE
与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=m．6．（2019?吉林
）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为__________
m．7．（2019?荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部
E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2m，BD=
2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．四、综合题1．（2018?扬州）如图，点A在线段BD
上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP
?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③1题图2题图3题图2．（20
18?孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F
，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（
﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．23．（2018?南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中
点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（
）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF?CF4．（2019?安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为（
）A．3.6B．4C．4.8D．54题图5题图5．（2018常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是A
C上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是．6、(2018
盐城)如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.（1）试说明点D在⊙
O上；（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC.求证：BE为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段
AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.7．（2019?凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，
DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，
求MN的长．8．（2019?安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=
135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h
2，h3，求证h12=h2·h3．五、位似1．（2019?邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′
C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO∶AA′=1∶2D．
AB∥A′B′1题图2题图3题图2.（2018菏泽）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是
3、（2019?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B
（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B
1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．4．（2019?河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放
大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则=__________．5．（2019?本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（
4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为_________
_．6．（2019?巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位
似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的
条件下求出点B经过的路径长．7、（2019?福建）已知△ABC和点A''，如图．（1）以点A''为一个顶点作△A''B''C''，使△A''
B''C''∽△ABC，且△A''B''C''的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别
是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D''、E''、F''分别是你所作的△A''B''C''三边A''B''、B''C''、C''A''的中点，求证：△
DEF∽△D''E''F''．探究题1．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似
四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填
写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（_____
_____命题）③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，
∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，=．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形AB
CD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFC
D的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．2．（2019?威海）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内
接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军
认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内
接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【探究2】
如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关
系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b
：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．答案与提示一、相似三角形的性质:1、C2、C3、C4、D5、C
6、A7、C8、D9、B10、B11、C12、D5、解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为
4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．9．（2019?常州）∵△ABC～△A′B''C′，相似比为1∶2，∴△
ABC与△A''B′C''的周长的比为1∶2．故选B．10．（2019?兰州）∵△ABC∽△A''B''C''，∴．故选B．11．（2019
?重庆）∵△ABO∽△CDO，∴，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴，解得AB=4．故选C．12．（2019?常德）【解析】如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，∴，设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，∴16x-9x=7，解得x=1，∴S△ADE=16，∴
四边形DBCE的面积=42-16=26．故选D．二、相似三角形的判定（一）利用平行线1、A2、A3、D4、B5、C
6、D7、D8、B9、C10、A11、D12、C13、C14、C15、B16、C1
7、B18、C19、2﹣221、22、23、91、解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边B
C的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴=，∴EF=AF，∴EF=AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：A
E=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF==2x，∴tan∠BDE===；故选：A．2、解：过点F作FG⊥AB于点
G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CA
B，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=F
G，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=
，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．2题图3题图4题图7题图3、解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：=，即EF=2（6﹣x）所以y=×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故
选：D．4、解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴D
E：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．5、解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△AD
E∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．6、解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AE
G∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．7、解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过
点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=
x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=
x=2，故选：D8、解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9
，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选：B．9、解：如图作，FN∥AD，交AB
于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形AN
FD是矩形∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴B
M=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．9题图11题图14题图17题图10、解：∵DE∥BC，∴△
ADE∽△ABC，∴===．故选：A．11、解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF
=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．故选：D．12、解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB
，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，故
选：C．13、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△
BAG，∴=（）2=，故选：C．14、解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CB
A，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF
=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C
．15、解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．B．16．（2019?杭州）∵DN∥BM，∴△
ADN∽△ABM，∴，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴，∴．故选C．17．（2019?凉山州）如图，过O作OG∥BC，交AC
于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S
△AOB：S△BOE=2，设S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，∵AD∶DC=1
∶2，∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=7S，∴S△AEC=9S，S△ABE=3S，∴，故选B．18．（2019
?玉林）图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，∵AB∥EF∥DC，AD∥BC，∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA
，共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△
CBA，故选C．19、解：设A（a，）（a＞0），∴AD=，OD=a，∵直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，∴C
（0，b），B（﹣，0），∵△BOC的面积是4，∴S△BOC=OB×OC=××b=4，∴b2=8k，∴k=①∴AD⊥x轴，∴OC∥
AD，∴△BOC∽△BDA，∴，∴，∴a2k+ab=4②，联立①②得，ab=﹣4﹣4（舍）或ab=4﹣4，∴S△DOC=OD?OC
=ab=2﹣2故答案为2﹣2．21、解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵
∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=?AC=×5=．故答案为：．22、解：∵3AE=2EB，
∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形
ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．23
、解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥B
C，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，24．∵l1∥l2∥l3，∴，
又AB=3，DE=2，BC=6，∴EF=4，故答案为：4．25解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC
==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD
，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如
图3，S?ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公
共点的个数为4，②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP的
值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．故答案为：＜AP＜或AP=5．27．（2019?菏泽）（1）证明：连接OE，∵EG是⊙O的切线
，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C
，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴BF＝＝3，∵BF∥OE，∴△BGF∽△
OGE，∴＝，∴＝，∴OE＝6，∴⊙O的半径为6．（二）两角对应相等两三角形相似1、A2、B3、C4、C5、6
、或7、8、1、解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，
∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=
4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）
．故选：A1题图5题图2、解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD?AB=2×8=16，
∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．3、∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，解得，△BCA的面积为4
a，∴△ABD的面积为：4a-a=3a，故选C．4．∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得AE=3，
故选C．5、解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B
=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME==，∵∠
EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解
得：x=，∴AF==．6、解：当△BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠BPQ=90度，∠BQP=90度。在直角△ABC中，∠C=9
0°，AC=6，BC=8，则AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.(1)当∠BPQ=90度，则△BPQ~△BCA，则PQ：
BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，设PQ=3x，则BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，此时∠AQP为钝角
，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ，则10-5x=3x，解得x=，则AQ=10-5x=；（2）当∠BQP=90度
，则△BQP~△BCA，则PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5，设PQ=3x，则BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ
=10-4x，此时∠AQP为直角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ，则10-4x=3x，解得x=，则AQ=10-4x=
；故答案为：或7、∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，∵CD平分∠AC
B，∴∠ACD=∠DCB=∠B，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AD×AB=2×5=10，∴AC=．故答案为：．
8、在Rt△ABC中，AB==5，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD==，9、解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形A
BCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=9
0°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG
．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+P
D+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM
=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．9题图11题图12题图10、解：（1）
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，
BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵?AD?BD=?AB?DE，∴DE=．11．解：（1）∵一次函数y
=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，∴，∴，∴一次函数y=kx+b的表达式为y=x﹣6
；（2）如图，记直线l与y轴的交点为D，∵BC⊥l，∴∠BCD=90°=∠BOC，∴∠OBC+∠OCB=∠OCD+∠OCB，∴∠O
BC=∠OCD，∵∠BOC=∠COD，∴△OBC∽△OCD，∴，∵B（0，6），C（2，0），∴OB=6，OC=2，∴，∴OD=，
∴D（0，﹣），∵C（2，0），∴直线l的解析式为y=x﹣，设E（t，t﹣t），∵A（﹣9，0），C（2，0），∴S△ACE=AC
×yE=×11×（t﹣）=11，∴t=8，∴E（8，2）；（3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，∵∠ABO=∠CBE，∠AOB=∠B
CE=90°∴△ABO∽△EBC，∴，∵∠BCE=90°=∠BOC，∴∠BCO+∠CBO=∠BCO+∠ECF，∴∠CBO=∠EC
F，∵∠BOC=∠EFC=90°，∴△BOC∽△CFE，∴，∴，∴CF=9，EF=3，∴OF=11，∴E（11，3）．故答案为（1
1，3）．12、解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DA
C=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO
，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB
?AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD?AO．13、（1）证明：连接DE，OA．∵PD是直径，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，
∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵=，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线．（2）解：作OH⊥PA于H．∵OA=O
P，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，∴=，∴
=，∴PB=．13题图14题图15题图14、（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线
，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD
=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD
=2．15.证：（1）连接OB，则OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°，又AD为直径，∠DBP=∠DBC+∠CBP＝90°，
∴∠OBD=∠CBP又OD=OB，∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠CBP.解：（2）在Rt△ADB与Rt△
APO中，∠DAB＝∠PAO，Rt△ADB∽Rt△APOAB=1，AO=2，AD=4，=，AP=8，∴BP=AP-AB=8
-1=7.16、解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB?OM=
×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．17．（2019?淄博）解：（1）①连接OD，∵AD是
∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴
∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴C
D2＝CE?CA；（2）连接DE、OE，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠
FAD，∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF，∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，∴AF＝DF＝OA＝OD，∴△OFD、△OF
A是等边三角形，∴∠C＝30°，∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，∴CE＝OE＝R＝3，S阴影＝S扇形DFO＝×π×32
＝．17题图18题图19题图18、（2019?济宁）解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF
＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的
切线；（2）∵∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴tanC＝tan∠ODB＝＝，∴设HF＝3x，DF＝
4x，∴DH＝5x＝9，∴x＝，∴DF＝，HF＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△DFH∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝
，∴AF＝CF＝，设OA＝OD＝x，∴OF＝x﹣，∵AF2+OF2＝OA2，∴（）2+（x﹣）2＝x2，解得：x＝10，∴OA
＝10，∴直径AB的长为20．19．（2019?滨州）解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是
⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CD
F＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF?AC，即BC2＝4CF?AC；（3）连接OE，∵
∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×O
E×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．20．（2019?聊城）（
1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA
，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠
ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠
CDE，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴O
E＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，AD＝＝2，在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC＝．（三）、三边对应成比例1、B2、B2．（2019?连云港）【解析】“帅”、“
相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4，“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间
的距离为2，∵，∴马应该落在②的位置，故选B．（四）、两边成比例，夹角相等1．解：如图所示：连接AQ．∵BP?BQ=AB2，∴=
．又∵∠ABP=∠QBA，∴△ABP∽△QBA，∴∠APB=∠QAB=90°，∴QA始终与AB垂直．当点P在A点时，Q与A重合，当
点P在C点时，AQ=2OC=4，此时，Q运动到最远处，∴点Q运动路径长为4．故答案为：4．2．解：（1）∵y=（x﹣a）（x﹣3
）（0＜a＜3），∴A（a，0），B（3，0）．当x=0时，y=3a，∴D（0，3a）；（2）∵A（a，0），B（3，0），∴对称
轴直线方程为：x=．当x=时，y=﹣（）2，∴C（，﹣（）2），PB=3﹣，PC=（）2，①若△AOD∽△BPC时，则=，即=，解
得a=±3（舍去）；②若△AOD∽△CPB时，则=，即=，解得a=3（舍去）或a=．所以a的值是．（3）能．理由如下：连接BD，
取中点M∵D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）．若点C也在圆上，则MC=MB．即（﹣）2+（a+（）2）2=（﹣3）2+（a
﹣0）2，整理，得a4﹣14a2+45=0，所以（a2﹣5）（a2﹣9）=0，解得a1=，a2=﹣（舍），a3=3（舍），a4=
﹣3（舍），∴a=．三、相似三角形的应用1、B2、C3、4、5、1006、541、解：设竹竿的长度为x尺，∵竹
竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．2、解：∵AB⊥BD
，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO
=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：C．3、解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠C
KD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即=，∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．4、解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△A
CB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC?BC=AB?C
P，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：
．5、解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=（米）．故答案为：100．
3题图4题图6题图6、设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影
长为60m，∴，解得h=54（m）．故答案为：54．6、如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M
，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴，即：，∴，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．四、综合题
1、A2、B3、D4、B5．AP长的取值范围是3≤AP＜41、解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠B
AC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AM
D∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP?CM∵AC=
AB∴2CB2=CP?CM所以③正确故选：A．2、解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、
∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15
°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠
AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30
°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=
∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设E
F=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+
2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，
整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．2题图3题图4题图3、
解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形
CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB
，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CB
H=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有
22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=co
s∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF?FC，故D正确，故选：D．4．（2019?安徽）如图，作DH
∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△A
DC，∴，∴，∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，∵EF⊥AC，EF⊥E
G，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x=4，∴CD=4，故选B．5、解：如图所示，过P作PD∥
AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF=∠B交
AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CP
G∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP＜4；综上所述，AP
长的取值范围是3≤AP＜4．6、（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。（2）证明：
∵点D在⊙O上，∴∠ADB=90°，由翻折可得AC=AD，∵AB2=AC·AE，∴AB2=AD·AE，∴，又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE~△ADB，∴∠ABE=∠ADB=90°，∵OB是半径，∴BE为的⊙O切线。（3）解：设EF=x，∵AB2=AC2+BC
2=AC·AE，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC，∴△BDF~△ACF，∴即
则BF=，在Rt△BDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2，则22+（1+x）2=()2，解得x1=,x2=-1
（舍去）,则EF=7、（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴
，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB
=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴
MC2=MB2+BC2=28，∴MC=，∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，∴，且MC=，∴MN=．8、（1）∵∠ACB=90°，
AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，又∵
∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC．（2）∵△PAB∽△PBC，∴，在Rt△ABC中，AB=AC，∴，∴，∴PA=
2PC．（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，∵∠CPB+∠AP
B=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°，又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，∴∠
EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3=2h2，∵△PAB∽△PBC，∴，∴，∴．即h12=h2·h3．五
、位似1、C2、（2,2）1．（2019?邵阳）∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO∶OA′=1∶2，故选项C错误，符合题意．故选C．3．（2019?烟台）如图，P点坐标为（-5，-1）．故答案为：（-5，-1）．3题图6题图4．（2019?河池）∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴．5．（2019?本溪）以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（-4×，-2×），即（2，1）或（-2，-1），6、①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．②如图，△A2B2C为所作．③OB=，点B经过的路径长=．7、（1）作线段A''C''=2AC、A''B''=2AB、B''C''=2BC，得△A''B''C''即可所求．∵A''C''=2AC、A''B''=2AB、B''C''=2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴，∴△DEF∽△ABC同理：△D''E''F''∽△A''B''C''，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D''E''F''．探究题1、（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真．（2）如图1中，连接BD，B1D1．∵∠BCD=∠B1C1D1，且，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，∵，∴，∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，∴，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．∴，∵EF=OE+OF，∴，∵EF∥AB∥CD，∴，∴，∴，∵AD=DE+AE，∴，∴2AE=DE+AE，∴AE=DE，∴=1．2．（2019?威海）解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB=∠ABC=60°如图①，在BD上截取DM=AD,连接AM,∵∠ADB=∠ACB=60°∴△ADM是等边三角形∴AM=AD∵∠AMB=∠ACD∠AMB=∠ADC=120°∴△AMB≌△ACD(AAS)∴BM=CD∴BD=BM+DM=CD+AD（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+2AD；故答案为：BD＝CD+2AD；（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴BM＝CD，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD．故答案为：BD＝CD+AD |
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