目录前言第一讲静电场第二讲导体第三讲静电场的基本方程?
分界面上的边界条件第四讲电轴法第五讲部分电容目
录第六讲习题第七讲电流与电流密度第八讲导电媒质中的恒定电场与
静电场的比拟第九讲恒定磁场第十讲恒定磁场的基本方程
第十一讲镜象法目录第十二讲磁场能量与力第十三讲习题第十四讲时变场电磁感应
定律第十五讲达朗贝尔方程的解第十六讲习题前言关于课程工程应用关于课程电磁场问题转化为电或磁路问题的
条件将电磁场问题转化为电路或磁路问题的条件低频不同介质间导电或导磁的特性相差很大涉及数学知识矢量分析场论数理方程矢
量分析矢量的表示：E、E或OP矢量分析矢量的大小：模或绝对值
（|E|、E、|E|或|OP|）单位长度矢量：E0|E0|=1
E=EE0矢量分析矢量的加法矢量分析结合律：（A+B）+C=A
+(B+C)矢量分析分配律：K(A+B)=KA+KB矢量减法：A-B=A+(-B)直角坐标系矢量分析矢量的投
影表示法(直角坐标）A=Axi+Ayj+Azk圆柱坐标系矢量分析矢量的投影表示法(柱坐标）A=A
rr0+A??0+Azkx=rcos? r=?x2+y2y=
rsin? tg?=y/xz=z z=z 0?r<+? 0??<
2?-?A??0x=rsin?cos?r=?x2+y2+z2y=r
sin?sin? tg?=y/xz=rcos? cos?=z/?x2
+y2+z2 0?r<+? 0=ABcos(A,B)交换律：A?B=B?A投影积：A?B=ABA
=BAB矢量分析标积的性质：1.正负：+?>3?/2或?
?>?/22.平行：同方向 A?B=
AB反方向 A?B=-AB相等 A?B=A2=|A|2
坐标单位矢量i?i=1,j?j=1,k?k=1矢量分析标
积的性质：3.正交： A?B=0推理：i?j=0,k?j=0,i?k=04.分配律：A?（B+
C)=A?B+A?C5.矢量与数量乘积：（mA）?B=m(A?B)矢量分析用
矢量投影表示标积(直角坐标）：设 A=Axi+Ayj+Azk B=Bxi+Byj+Bzk
则由于：i?j=0,k?j=0+,i?k=0A?B=(Axi+Ayj+Azk)
?(Bxi+Byj+Bzk)=AxBx+AyBy+AzBz矢量分析用矢量投影表示标积(柱坐标）
：A?B=ArBr+A?B?+AzBz用矢量投影表示标积(球坐标）：A?B=A
rBr+A?B?+A?B?矢量分析矢量的矢积：C=A×B矢量分析矢积的性质：1.平
行：A×B=02.垂直：|A×B|=AB3.不服从交换律：A×B=-B×A矢
量分析直角坐标单位矢量矢积： i×j=k j×i=-k j×k=i k×j=-i
k×i=j i×k=-j i×i=j×j=k×k=04.分配律：A×（B+C)=
A×B+A×C5.矢量与数量乘积：(mA)×B=m(A×B)矢量分析用矢量投影表示矢积(直角坐标）：
A×B=（AYBZ-AZBY)i+（AZBX-AXBZ)j+
（AXBY-AYBX)kijkA×B=
AXAYAZBXBYBZ场论标量场：空间各
点以标量物理量分布函数表示的场如：?(r,t)
?（x,y,z,t)?(x,y,z)场
论矢量场：空间各点以矢量物理量分布函数表示的场如：A(r,t
)A(x,y,z,t)A(x,y,z)
A=AXi+AYj+Azk场论标量场的等值面：?（r）
=?（x,y,z)=C标量场的梯度场论场论标量场的梯度△?(r)=
?(M’)-?(M)=?(r+?s）-?(r)单位矢量：
s=cos(s,x)i+cos(s,y)j+cos(s,z)k场论?(r+?s）-?(r
)=?[x+?cos(s,x),y+?cos(s,y),z+?cos(s,z)]-?(
x,y,z)??????=
?[?cos(s,x)+?cos(s,y)+?cos(s,z)+?]?x
?y?z场论方向导数：???(r
+?s）-?(r)?=lim????????s??0|?s|??
???????=?cos(s,x)+
?cos(s,y)+?cos(s,z)?s?x?y
?z?????????=(?i+?j
+?k)?s?s?x?y?z场论梯度：增加最
快方向，大小等于其方向导数??????grad?=
(?i+?j+?k)?x?y?z微分算
子????=(?i+?j+?k)
?x?y?z????
????=(?i+?j+?k)?x?y
?z场论矢量场的通量?Q=?V/?t?V=v?tcos??S?Q=vcos??S
?Q=v??S场论?Q=v??SdQ=v?dS=vcos?dSQ=??dQ=
??v?dS(s)(s)连续性原理：??v?dS=Qs
（源）(s)场论矢量场
散度（通量密度）??(s)A?dS?AX?AY?AZ
divA=lim————=(?+?+?)?V?0
?V?x?y?z?
???=(?i+?j+?k)?x?y
?zdivA=??A场论矢量场环量?=∮LA·dl场
论矢量场旋度?=∮LA·dl=∮L（AXdx+AYdy+Azdz）场论
?Az?AY?Ax?Az?Ay?AxrotA=(—-—
)i+(—-—)j+(—-—)k?y?z?z?x?
x?ydS=dydzi+dxdzj+dxdyk∮LA·dl=∫SrotA·dS=∫S▽×A·d
S环量密度：∮LA·dlrotA=lim————
?S?0?S方向：是使环量密度取最大值的曲面元?S
的方向模：环量密度的最大值第一讲静电场电场强度：表征电场特性的基本场矢量库仑定律
电场强度f表示试体qt在点（x,y,z）上所受的力E仅与电场有关而与试体的电荷无关国际单位制（SI）电荷：
库仑（C）力：牛顿（N）真空介电常数：法拉/米（F/m）
e0=10-9/36p=8.85×10-12电场强度源点和场点源点（x'',y'',z''）或
（r''）场点（x,y,z）或（r）源点到场点的距离：R=r-r''或R=RR0源点和场点源点和场点叠加
积分法计算电场强度电荷密度电荷密度体密度：r(r'')=limDq(r'')/(DV)=dq/dV面密度:s(r''
)=limDq(r'')/(DS)=dq/dS线密度:t(r'')=limDq(r'')/(Dl)=dq/dl电荷
密度dq(r-r'')dE=————4p
e0|r-r''|31(r-r'')1r(r'')
erE=——∫——dq=——∫———dV’4pe0|r-r''|3
4pe0R2电荷密度1s(r'')erE=——
∫———dS’4pe0R21t(r
'')erE=——∫———dl’4pe0R2叠加积分法计算电场强度
例1-1?dz''dE1=———4??0R2
?dz''dE2=———4??0R2叠加积分法计算电场强度2
?dz''dEr=———cos?4??0R2??
cos?E(?)=2?———dz''e?04??0R2叠加积
分法计算电场强度???dz''
?E(r)=——?————e?=———e?2??00(
z''2+?2)3/22??0?R=?z''2+?2cos?=?/R叠加积分
法计算电场强度例1-2?2??adaE(x)=?
————cos?04??0R2
?x?ada=——?———
2?00(a2+x2)3/2=?/2?0叠加积分法计算电场强度例1-3
叠加积分法计算电场强度?a2sin?''d?''d?''dE1=d
E2=———————4??0R2
12???a2sin?''cos?Er(r)=——??——————d
?''d?''4??000R2
叠加积分法计算电场强度叠加积分法计算电场强度12?r
+a?a2(r2+R2-a2)Er(r)=——??——————dRd?''
4??00r-a2r2R2Er(r)=?a2/?0r
2=(4?)a2?/4??0r2=Q/4??0r2叠加积分法计算电场强度
球内电场强度：12?a+r?a2(r2+R2-a2)Er
(r)=——??——————dRd?''4??00
a–r2r2R2=0电压矢量计算----复杂！力学：力
（矢量）功（标量）电场作功：dW=f·dl=qE·dl守恒场P、Q两点间的电压只与P和Q两点的相对位置
有关，而与所取路径无关电场强度矢量的环路线积分恒等于零∮E·dl=0电位在工程上常常把大地表面作为电位参考点在理论分析上将
无穷远作为参考点计算更方便电位差电位和电场的关系电位和电场的关系电位和电场的关系电位和电场的关系场强量值等于电位随距离
的最大减少率场强的方向沿着电位减少率最大的方向标量运算比矢量运算简便电位不变的区域场强为零电位为零场强不一定为零场强为零
电位不一定为零叠加积分法计算电位点电荷的电位j(r)=q/4pe0r一般表达式叠加积分法计算电位例1-4叠加积
分法计算电位dq=?ds=?2?rdrR=?r2+z2dq
?rdrd?=——————=——————4??0(r2+z2)1/2
2?0(r2+z2)1/2叠加积分法计算电位?=?[(r2+z2)1/2–z]/2
?0z>0?=?[(r2+z2)1/2+z]/2?0z<0
??E=Ezez=-——ez?z电力线和
等位面（线）E线：曲线的每一点的切线方向与该点的电场强度方向相同即：E×dl=0的解dx/E
x=dy/Ey=dz/Ez电力线和等位面（线）等位面：电位相等的点形成的曲面j(
x,y,z)=常数等位面与E线到处正交相邻两等位面之间的电位差相等等位面愈密场强愈强第二讲导体静电场中的导体性质
：E=0?是常数（E=-▽?）--等位体等位面，电场强度方向与导体表面垂直导体静电场中的导体性质：E=0
?是常数（E=-▽?）--等位体等位面，电场强度方向与导体表面垂直电介质电介质电偶极矩p=qd电偶极矩
媒质均匀—空间坐标各向同性—场量方向线性—场量大小电介质极化电荷的体密度、面密度与P极化电荷的体密度、面密度与P
1P(r'')·R0?(r)=——∫V''————dV''
4??0R21
1=——∫V''P(r'')·▽''—dV''
4??0R极化电荷的体密度、面密度与P高斯
通量定理高斯通量定理在真空电场中，由任意闭合面穿出的E通量，应等于该闭合面所有电荷的代数和除以真空的介电常数高
斯通量定理高斯通量定理qp=∫v-v1-v2-v3?pdV+∫s+s1+s2+s3?pdS=∫v-v1-v2
-v3?pdV+∫s1+s2+s3?pdS=∫v-v1-v2-v3-▽''·PdV+∫s1+s2+s3
P·n0dS=∫s+s1+s2+s3-P·n0dS+∫s1+s2+s3P·n0dS=∮s-
P·n0dS=∮S-P·dS高斯通量定理∮SE·dS=[q-∮SP·dS]/?0∮S
(?0E+P)·dS=q电位移D=?0E+P∮SD·dS=q在真空电场中，由任意闭合面穿出的
D通量，应等于该闭合面所有自由电荷的代数和。EDP线应用高斯通量定理解决静电场问题例1-7rE=0R1≤r0r>R2+△R2E=(q1+q2)r0/4??0r2应用高斯通量定理解决静电场问题r≤R1
q1111?=—(—-—+———)
4??0R1R2R2+△R2+(q1+q2)/4??0(R2+△R2)应用高斯
通量定理解决静电场问题R1≤r=—(—-—+———)4??0rR2R2+△R2
+(q1+q2)/4??0(R2+△R2)r=R2+△R2?=(q1+q2)/4??0(R2+△R2
)r>R2+△R2?=(q1+q2)/4??0r应用高斯通量定理解决静电场问题例1-7r4?r2D=4?r3?/3D=(r?/3)erE=(r?/3?0)err>a
4?r2D=4?a3?/3D=(a3?/3r2)erE==(a3?/3r2
?0)er应用高斯通量定理解决静电场问题r≤aa∞?
=∫rEdr+∫aEdra2?r2?=——-——
2?06?0r≥a∞
?=∫rvvEdra3?1=————
3?0r习题：1-1-4习题：1-1-4?=?2+?2
??=———ln?2/?12??0??=c
?2/?1=K(?2/?1)2=K2(?2/?1)2=[(x+b)2+y2]/[(x-b)2+y2
]=K2[x-b(K2+1)/(K2-1)]2+y2=[2bK/(K2-1)]2圆心：(h,0)h=b
(K2+1)/(K2-1)半径：a=|2bK/(K2-1)|作业：1-2-3第三讲静电场的基本方
程?分界面上的边界条件分界面上的衔接条件在导体(1)和电介质(2)分界面上的衔接条件E1t=E2t=0
D2t=0E2n=?/?D2n=?分界面上的边界条件的电位表示?1=?2??1
??2?1——-?2——=??n?n导体(1)与介质
(2)间?1=?2??2?2——=-??n泊松方程和拉普拉斯方程
(▽·D=?D=?EE=-▽?)▽·D=▽·?E=?▽·E+E·▽?=
?▽?=0?▽·E=-?▽·▽?=-?▽2?=?泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程▽
2?=-?/?拉普拉斯方程▽2?=0拉斯算子?2?2
?2▽2=——+——+——?x2?y2?z2泊松方程和拉普拉斯方程已
知电荷分布，求场：1?(r'')?(r)=——
∫V''——dV''4??rE=-▽
?已知场，求电荷分布：▽·D=?泊松方程和拉普拉斯方程已知导体电位，求场：（第一类边值问题
）已知导体表面电荷密度，求场：（第二类边值问题）已知一些导体电位和另外一些导体表面电荷密度，求场：
（混合边值问题)例1-13例静电场问题解答的唯一性对于任何一个静电场,如果场域边界条件(如:边界形状、边界上的
电位或电荷分布)为已知,则:(1)对无分布电荷的场域,满足边界条件的拉普拉斯方程▽2?=0的解是唯一的;
(2)对有分布电荷的场域,满足边界条件的泊松方程▽2?=-?/?的解是唯一的。分离变量法直角坐
标系中的分离变量法?2??2?——+——=0?x2?y2?(x,y
)=X(x)Y(y)分离变量法1d2X1d2Y———=-
———=kn2Xdx2Ydy2d2X
d2Y——-kn2X=0——+kn2Y=0dx2
dy2分离变量法kn=0X(x)=A0x+B0
Y(y)=C0y+D0kn?0X(x)=Anch(knx)+Bnsh(knx)Y(y)=Cncos(k
ny)+Dnsin(kny)分离变量法?(x,y)=(A0x+B0)(C0y+D0)?
+?(Anchknx+Bnshknx)(Cncoskny+Dnsinkny)n=1?(x,y)=(A0
x+B0)(C0y+D0)?+?(Anconsknx+Bnsinknx)(Cnchk
ny+Dnshkny)n=1分离变量法边界衔接条件：x=0?=0Y=0?=0Y=
b?=0X=a?=V0分离变量法x=0?=0
?B0(C0y+D0)+?An(Cncoskny+Dnsinkny)=0
n=1B0=0An=0分离变量法2.y=0
?=0?D0(A0x)+?Cn(Bnsinknx)=0
n=1D0=0Cn=0分离变量法3.y=b?=0
?(A0x)(C0b)+?(BnshknxDnsinknb)=0
n=1A0C0=0sinknb
=0kn=n?/b??(x,y)=?[Bnsh(n?x/b)Dnsin
(n?y/b)]n=1分离变量法4.x=a?=V0??
[BnDnsh(n?a/b)sin(n?y/b)]=V0n=1?b??
[BnDnsh(n?a/b)sin(n?y/b)sin(m?y/b)]n=10
b=?V0sin(m?y/b)0分离变量法
?4V0/n?n为奇数BnDnsh(n?a/b)=?
?0n为偶数?4V0
n?xn?yn?a?(x,y)=?(——sh——si
n——)/sh——n=1,3,5,····n?b
bb分离变量法分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法
1???1?2??2?(?,?)=——(?
——)+———=0??????2?
?2?(?,?)=R(?)Q(?)分离变量法?d2R?dR
1d2Q———+———=-———=n2Rd?2Rd?
Qd?2d2RdRd2Q
?2——+?—-n2R=0——+n2Q=0d?2d?
d?2分离变量法n=0R0(?)=A0ln?+B0
Q0(y)=C0?+D0n?0Rn(?)=An?n+Bn?-nQn(?)=Cncosn?+
Dnsinn?分离变量法?(?,?)=R(?)Q(?)=(A0ln?
+B0)(C0?+D0)?+?(An?n+Bn?-n)(Cn
cosn?+Dnsinn?)n=1边界条件?2=0
?=0?1=-E0?cos?????1
=?2|?=a|?=a??1??
2?1——=?2——??|?=a??|?=a分离变量
法?(?+2K?)=?(?)?(?)=?(-?)C0=0Dn=0?(?,?)=(A0ln?+B0)D
0?+?(An?n+Bn?-n)(Cncosn?)
n=1分离变量法当????1?-E0?cos?n=1A1=-E0n?1An=
0A0=0B0=0?1=-E0?cos?+?+
?（Bn?-ncosn?)n=1分离变量法当??0?2?0Bn=0A0
=0B0=0??2=?（An?ncosn?)
n=1分离变量法?
-E0acos?+?（Bna-n)cosn?n=
1?=?（Anan)cosn?n=1
??1[-E0cos?+?（nBn
a-n-1)cosn?]n=1?
=?2?（nAnan-1)cosn?n=1分离变量法
n=1A1=-E0-E0a+B1a-1=A
1a?1(-E0+B1a-2)=?2A1A1=-[1-(?2-?2)/(?2
+?2)]E0B1=(?2-?2)/(?2+?2)a2E0分离变量法n?1
An=0Bn=0?1=-E0?cos?+[(?2-?2)/(?2+?2)](a2/?2)E0
?2=-[1-(?2-?2)/(?2+?2)]E0?cos?)第四讲电轴法Er=-??/
?r=?/2??0r r1q??1=∫——dr r1
2??0r=?(lnr1q-lnr1)/2??0=C1’-(?/2??0)l
nr1?2=C’’+(?/2??0)lnr2电轴法Er=-??/?r=?/2??0r
r1q??1=∫——dr r12??0r=?(ln
r1q-lnr1)/2??0=C1’-(?/2??0)lnr1?2=C’’+(?/2??0
)lnr2电轴法?p=?1+?2 =C2+(?/2??0)ln(r2/r1)r2=r1
?p=0→C2=0?P=(?/2??0)ln(r2/r1)=(?/2?
?0)ln{[(x+b)2+y2]/[(x-b)2+y2]}1/2电轴法等位线方程是：?=K’→r2/r1=K
(r2/r1)2=[(x+b)2+y2]/[(x-b)2+y2]=K2[x-b(K2+1)/(K2-1)]2+y2=[2b
K/(K2-1)]2圆心：(h,0)h=b(K2+1)/(K2-1)半径：a=|2bK/(K2-
1)|h2=a2+b2电轴法 ?-4bxyey+2b
((y2+b2-x2)exE=——{——————————}2??0[(x+b)2+
y2][(x-b)2+y2]?2b((y2+b2-x
2)Ex=——{——————————}2??0[(x+b)2+y2][(x-b
)2+y2]?-4bxyEy=——{——
————————}2??0[(x+b)2+y2][(x-b)2+y2]dy/dx=E
y/Ex=-2xy/(b2+y2-x2)d(x2-y2)/(x2-y2-b2)=dy/y电轴法电轴法电轴法电轴法
例1-14h1=(d2+a12-a22)/2dh2=(d2+a22-a12)/2d分裂导线分裂导线
?r2r2’?r2r
2’?p=——(ln—+ln—)=——ln——2??0r1’
r12??0r1r1’r1’=R0,r1=c-R0,r2’=2h-
R0,r2=2h-c-R0分裂导线?(
2h-c-R0)(2h-R0)?1’=——ln————————2??0
(c-R0)R0?(2h)2≈——l
n———(2h>>c>>R0)2??0cR0镜象法镜象
法E=E++E-E=2qcos?/(2??0r2)=qh/(2??0(h2+x2)3/2?=
-?0E=-qh/(2?(h2+x2)3/2∫s?dS=∫0∞2??xdx
=-q镜象法镜象法镜象法镜象法(不同介质中）▽2?1=0(点电荷q处除外)
▽2?2=0E1t=E2t,D1n=D2n(在分界面)qcos?/4??1r2+
q''cos?/4??1r2=q''''cos?/4??2r2qsin?/4?r2-q''sin?/4?
r2=q''''sin?/4?r2q''=q(?1-?2)/(?1+?2)q''''=2q?
2/(?1+?2)镜象法(不同介质中）线电荷：q→?q''→?''q''''→?''镜象法(场中有金属球）r12=R
2+d2-2Rdcos?r22=R2+b2-2Rbcos??p=q1/4??0r1–q2/4??0r2镜
象法(场中有金属球）?p=q1/4??0r1–q2/4??0r2令?p=0则：q12
/r12=q22/r22即：q12/q22=r12/r22=（R2+d2-2Rdcos
?）/（R2+b2-2Rbcos?）镜象法(场中有金属球）q12（R2+b2）-q22（R2+d2)
+2R(q22d-q12b)cos?=0镜象法(场中有金属球）镜象法(场中有金属球）b=R2/d
q’=-qR/d镜象法(场中有金属球）b=R2/dq''=-qR/dq''''=qR/d
作业：1-5-21-7-3第五讲部分电容电容： 导体形状、尺寸、相互位置、 导体间介质C=q
/?孤立导体球的电容：?=q/4??0aC=q/?=4??0a部分电容?1=(?/2?
?0)ln[(b+h-a)/(a+b-h)]?2=(?/2??0)ln[(b+a-h)/(b+h-a)
]U=?1-?2=(?/??0)ln[(b+h-a)/(b+a-h)]C’=?/U=??0/l
n[(b+h-a)/(b-h+a)]C’=?/U=??0/ln(2h/a)(h>>a,b≈h)静电独立系统
静电独立系统：电场分布：只与本系统内的，带电体形状、尺寸、相互位置和电介质分布有关；D通量：发出和结束均在本系统
内。q0+q1+q2+q3+…+qk+…+qn=0电位系数q0+q1+q2+q3+…+qk+
…+qn=0～～～～～～～～～～～～～～～～～?1=?11q1+?12q3+…+?1kqk+…+?1nqn…………
………………………………?k=?k1q1+?k2q3+…+?kkqk+…+?knqn…………………………………………?
n=?n1q1+?n2q3+…+?nkqk+…+?nnqn电位系数?11=?1/q1|q2=q3=…=qk=…=q
n=0?kk=?k/qk|q1=…=qk-1=qk+1…=qn=0?k1=?k/q1|q2=q3=…=qk=…=qn=
0?n1=?n/q1|q2=q3=…=qk=…=qn=01.所有电位系数为正；2.自有电位系数大于与它有
关的互有电位系数（?jj＞?jk)；3.电位系数只和导体几何形状、尺寸、相互位置以及电
介质的介电常数有关;?jk=?kj(j≠k)感应系数[q]=[?]-1[?]=[?][?]感应系数q1=?11
?1+?12?2+…+?1k?k+…+?1n?n…………………………………………qk=?k1?1+
?k2?2+…+?kk?k+…+?kn?n…………………………………………qn=?n1?1+?n2?
2+…+?nk?k+…+?nn?n感应系数?kk=Akk/△?kn=Akn/△
△是电位系数行列式Akk和Akn分别是?kk和?kn的余因式感应系数只和导体几何形状、尺寸、相互位
置以及电介质的介电常数有关?jk=?kj感应系数?11=q1/?1|?2=?3=…=?n=0
?kk=qk/?k|?1=?2=…=?k-1=?k+1…=?n=0?k1=qk/?1|?2
=……=?n=0?n2=qn/?2|?1=?3=…=?n=0部分电容q1=(?11+…+?1n)
(?1–0)-?12(?1–?2)…C10U
10C12U12-?1n(?1–?n)C1n
U1nq1=C10U10+C12U12+….+C1nU1n部分电容q1=C10U10+C12U12+…
+C1kU1k+…+C1nU1n…………………………………………qk=Ck1U10+Ck2Uk2+…+Ck0Uk0+
…+CknUkn…………………………………………qn=Cn1U10+Cn2Un2+…+CnkUnk+…+Cn0Un
0部分电容(n+1)个导体有n(n+1)/2个部分电容静电能量与力一般带电系统→动能和位能静电系统→位能静电能量→
由于电荷相互作用引起的能量静电能量电荷体密度?和面密度?的线性介质,?A=?’(x,y,z)?q0≤m≤1??=
?[m?(x,y,z)]=?(x,y,z)?m??=?[m?(x,y,z)]=?(x,y,z)?mWe=
∫01?m∫v?(x,y,z)?’(m,x,y,z)dV+∫01?m∫s?(x,y,z)?’(
m,x,y,z)dS静电能量由于所有电荷按同一比例m增长?’(m,x,y,z)=m?(x,y,z)We=?∫v?
?dV+?∫s??dS只有带电导体时：We=?∫s??dS?∫sk??dS=??k∫sk?dS=
??kqk静电能量分布We=?∫v??dV+?∫s1??dS=?∫v?▽·DdV+?∫
s1?D·n0dS静电能量分布We=?∫v??dV+?∫s1??dS=?∫v?▽
·DdV+?∫s1?D·n0dS▽·(?D)=(▽?)·D+?(▽·D)E=-▽
?We=?∫v▽·(?D)dV+?∫vD·EdV
+?∫s1?D·n0dS=?∫s+s1?D·n10dS+?∫vD·EdV
+?∫s1?D·n0dS静电能量分布We=?
∫s+s1?D·n10dS+?∫vD·EdV
+?∫s1?D·n0dS=?∫s?D·n10dS+?∫vD·EdV
+?∫s1?D·(n10+n0)dSn10=-n0We=?
∫s?D·n10dS+?∫vD·EdV?→1/rD→1/r2S→r2
?∫s?D·n10dS→1/r→0r→∞We=
?∫vD·EdV静电能量密度we’=?D·E对于各向同性介质：we’=?E2/2=D2/2?点电荷
系统的能量点电荷：q1、q2、…qn场强：E1、E2、…En合成场：E=E1+E2+…+EnE
2=E·E=(E12+E22+…+En2)+(E1·E2+E1·E3_+…+En-1·
En)We=?/2∫v(E12+E22+…+En2)dV+?/2∫v(E1·E2+E1·E3
_+…+En-1·En)dV点电荷系统的能量自有能：(We)j=?/2∫v(Ej)2dV互有能:(We)
jk=?/2∫v(Ej·Ek)2dV例1-21Er=?r/3?0rEr=?R3/3r2?0r>R1R(?r)2
We=—?0[∫0——·4?r2dr+2
(3?0)2∞(?R3)2
∫R——·4?r2dr
(3r2?0)2=4??2R5/15?0广义坐标和广义力虚位移法导体：0→n参
考：0号只有p号导体的一个坐标g发生变化dW=dgWe+fdg(=??kdqk电源提供的能量）虚位移法1.d
qk=0qk=常数dW=0f=-?We/?g|qk=常数2.?k=
常数dgWe|?k=常数=???kdqk=?dWfdg=dgWe|?k=
常数f=?We/?g|?k=常数虚位移法f=-?We/?g|qk=常数=?W
e/?g|?k=常数平行板电容:We=?CU2=?C(?1-?2)2=q2/(2C)f=-?We/?g|qk
=常数=-?(q2/2C)/?g=?U2?C/?gf=?We/?g|?k=常数=?(?CU2)/?g=?U2?C/
?g例1-25C=?S/d(=q/U)f=?U2?C/?d=-?U2?S/d2=-
q2/2S?f1=q2/2S?exf2=q2/2S?(-ex)任意极板上单位面积受力：f’=f/S=?U2
?/d2(U=Ed)=?E2/2=D2/2?例We=?∫v?E2dV=?
?(U0/d)2wxd+??0(U0/d)2wd(l-x)fx=?We/?x|U=常数
=?(?-?0)(U0/d)2wd电场力计算f=qEf=∫df=∫Edqdq=?dV
dq=?dSf=∫?EdVf=∫?EdS法拉第看法在电场中的每一段电位移管，沿其轴线方向要受到纵张力，
而在垂直轴线方向，则要受到侧压力。纵张力=侧压力=DE/2媒质分界面上，电场作用与单位面积上的力为：?2
-?1f''=———[D1n2–?1?2E1t2]2?1?2磁力总是垂直于该元面积（与
电场方向无关）作业：1-8-31-9-3第六讲习题EAC=ECD=EDB=EEACd/3+ECD
d/3+EDBd/3=U0E=U0/d(=?/?)UAC=UCD=UDB=U0/3
?=?0E=?0U0/d习题1-62.UCD=0ECD=0EAC=EDB=U0/d
UAC=UDB=U0/3习题1-6UCD=0ECD=0EACd/3+EDBd/3=U0
E=EAC=EDB=3U0/2dUAC=UDB=U0/2?1=?0E习题1-
64.UAB=0UAC+UDB=2UAC=UCDEACd/3+ECDd/3+EDBd/3=
0?1+?2=?=?0U0/dEAC=EDB=?1/?0ECD=-?2/
?0习题1-16h=10cma=6cmU=1000V习题1-16h2=a2+b2
b=8?=1000??0/ln|(a-h+b)/(a-h-b)|=910??0习题1-16
?(x+b)2+y2?P=——ln—————4??0(x-
b)2+y2=228ln[(x+b)2+y2]/[(x-b)2+y2]习题1-16?=
?0??/?x=?0?(228ln[(x+b)2/(x-b)2]/?x=456?0?(ln
[(x+b)/(x-b)]/?x=456?0[2b/(x+b)(b-x)]?max|x=h-a=0.1
34×10-6(C/m2)?min|x=h+a=0.366×10-7(C/m2)习题1-19习题1-19习题1-
11习题1-11F=qEqE0–q2/4??0(2x)2=0x=[q/(16??0E0)
]?习题1-1111q2dW=—?q=
————224??02xx=[q/(16
??0E0)]?/2qqE0
?1dW=—(——)=—mv022
??02q?qE0
?v0>(—)·(——)m??0习题1-9
E=-▽?=(-d?/dx)ex=[?x/?0-(U0/d+?d/2?0)]ex习题1-9W=?∫v?E2dV
d?xU0?d
=?∫?A[—-(—+—)]2dx0
?d2??Ad?d
U0=——[(—)2+3(—)2]6
2?d习题1-92.?0=?E
U0?d=-?(—+—)|x=0
d2?U0?d?d
=?(—-—)|x=dd2?习题1-9
?W??Ad?dU03.f=—
—=——[——(—)2+3(—)2]?d?d6
2?d?A?d
U0f0=——[（—)2-(—)2]2
2?d?AU0?d
fd=——[（—)2-(—)2]2d
2?习题1-9fv=∫v?EdVd=
-∫?(U0/d)Adxex0=?U0A
(-ex)dS=r2sin?d?d?er+sin?d?dre?+rdrd?e?见P322dq=?dS
=?2?R2sin?d?r=(R2+Z2+2RZcos?)?2?R2??/2
sin?d??P=——∫——4??00r?P
=?R[(R2+Z2+2RZ)?-(R2+Z2)?]/4Z?0Z=0?P=?R/4?0E=-▽?
=-??/?zez={-?R[(R+Z)/(R2+Z2+2RZ)?-Z/(R2+Z2)?]/2Z?0
+?R[(R2+Z2+2RZ)?-(R2+Z2)?]/2Z2?0}ezZ=0
E=?R/4?0第七讲电流与电流密度电流：电荷的定向运动（安培、库仑/秒）
I=dq/dt电流与电流密度电流面密度：J=?v（安培/米2）电流线密度：K=?v（
安培/米）线电流：I=?v（安培）元电流段：dqv(安培·米、库
仑·米/秒）JdV=(?dV)vKdS=(?dS)v
Idl=(?v)dl=(?dl)v电流与电流密
度I=∫sJ·dSI=∫lK·dl欧姆定律R=l/?SdI=J·dSdU=E·dldU=E·d
l=dIR=J·dSdl/?dSE·dl=J·dSdl/?dS电场强度与电流密度J
=?EJ:传导电流密度?:电导率(S/m)?r:电阻率(?·m)?r=1/?E=?rJ
功率密度J=N(-e)vdAe=f·dl=-eE·vdtf
·dldA=(NdV)(-eE·vdt)=N(-e)v·EdVdt=J·E
dVdtp’=dP/dV=(dA/dt)/dVp’=J·E电源Ee=fe/qξ=∫lEe
·dlJ=?(E+Ee)恒定电场导电媒质中的电场通过恒定导体周围电介质或空气中的电场导体媒质中恒定电场的基本方
程电荷守恒定律:由任意闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率。电流连续性方程(积分形式）∮J·dS
=-(?q/?t)恒定电场电流连续性方程∮J·dS=0导体媒质中恒定电场的基本方程∮(E+Ee)·dl
=∮E·dl+∮Ee·dl=0+ξ∮(E+Ee)·dl=ξ
积分路径不经过电源：∮E·dl=0导体媒质中恒定电场的基本方程积分路径经过电源∮J·dS=0∮(E+Ee)
·dl=ξJ=?(E+Ee)积分路径不经过电源∮J·dS=0∮E·dl=0J=?E
导体媒质中恒定电场的基本方程微分形式▽×E=0▽·J=0标量位E=－▽?拉普拉斯方程▽·J=▽
·(?E)=?▽·E+E·▽?=0▽?=0E=－▽?▽·J=?▽·E=－?▽
2?=0▽2?=0分界面上的边界条件Ee=0→∮E·dl=0→E1t=E2t
∮J·dS=0→J1n=J2n各向同性媒质：E1sin?1=E2sin?2?1E1
cos?1=?2E2con?2tg?1/tg?2=?1/?2分界面上的边界条件良导体与不良导体（
?1>>?2）如果?1≠900?2很小→在不良导体内J线与分界面法线
平行→电流由良导体流入不良导体，电流线近似
与良导体表面垂直分界面上的边界条件L>>R0?2=0→Jn(R0)=0→En
(R0)=0?1=?-+z(?+-?-)/l=?-+zU/l
EEE1=-(??1/?z)ez=-(U/l)ez分界面上的边界条件I=
J·?R02=?E?R02=?US/l|E|=I/?S|?|=|D|=?|E|=?I/?SqS
+=+?I/?qS-=-?I/??2=?E2n=-?R0·▽?2分界面上的边界条件分界面上的
边界条件分界面上的边界条件分界面上的边界条件导体与理想介质（?2=0）J1n=J2n=0E1t=E2t
E1n=J1n/?1=0E2n≠0(因导体表面有恒定电荷）分界面上的边界条件分界面上的边界条件?1=?2
??1??2?1——=?2——?n
?n第八讲导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟静电比拟当
恒定电场与静电场边界条件相同时?1/?2=?1/?2D与J分布一致一种场的计算和实验结果推广到另一种场静电比拟静电比拟
I’=I(?1-?2)/(?1+?2)I”=2I?2/(?1+?2)
如果第一种媒质是土壤，第二种媒质是空气（?2=0）I’=II”=0电导G=I/U规则形
状导体电导求解I?J?E?U?GU?E?J?I?G拉普拉斯方程静电比拟C/G=?/?静
(C)电(G)比拟当恒定电场与静电场边界条件相同时Ｃ/Ｇ＝???(C=q/UG=I/U)例2-2J
=I/2?rLE=J/?=I/2??rLR2U=?R1(I/2??rL
)dr=(I/2??L)ln(R2/R1)G=I/U=2??L/ln(R2/R1)R=1/G=(1
/2??L)ln(R2/R1)例2-31?2?———=0r2??2
?|?=0=0?|?=?=U0积分得：?=C1?+C2由边界条件：C1=U
0/?C2=0?=(U0/?)?例
2-3?U0E=－▽?=-——(—?)e?=-
(U0/r?)e?r???J=?E=-(?
U0/r?)e?R2I
=∫sJ·dS=-?R1(?U0/r?)e?hdr(-e?)=(?hU0/?)l
n(R2/R1)G=I/U0=(?h/?)ln(R2/R1)电阻系数I0+I1+I2+I3+…+
Ik+…+In=0～～～～～～～～～～～～～～～～～U10=R11I1+R12I3+…+R1kIk+…+R1
nIn…………………………………………Uk0=Rk1I1+Rk2I3+…+RkkIk+…+RknIn…………………………
………………Un0=Rn1I1+Rn2I3+…+RnkIk+…+RnnIn自有电阻系数R11…Rkk…Rnn
互有电阻系数R12…Rnk…Rkn电阻系数R11=U10/I1|I2=I3=…=Ik=…=In=0Rkk
=Uk0/Ik|I2=…=Ik-1=Ik+1…=In=0Rk1=Uk0/I1|I2=I3=…=Ik=…=In=0Rn1=
Un0/I1|I2=I3=…=Ik=…=In=0Rjk=Rkj(j≠k)电阻系数只和电极几何形状、尺寸
、相互位置以及导电媒质的电阻率有关。电导系数I1=P11U10+P12U20+…+P1kUk0
+…+P1nUn0…………………………………………Ik=Pk1U10+Pk2U20+…+PkkUk0+
…+PknUn0…………………………………………In=Pn1U10+Pn2U20+…+PnkUk0+…
+PnnUn0自有电导系数P11…Pkk…Pnn互有电导系数P12…Pnk…Pkn电导系
数Pkk=Akk/△Pkn=Akn/△△是电阻系数行列式Akk和Akn分别是Rkk和Rkn的
余因式电导系数只和电极几何形状、尺寸、相互位置以及导电媒质的电导率有关。Pjk=Pkj部分电导Ik=Pk1
U10+Pk2U20+…+PkkUk0+…+PknUn0=-Pk1(Uk0-U1
0)-Pk2(Uk0-U20)-…Gk1Uk1G
k2Uk2-Pkk(Uk0-Uk0)-…+(Pk1+…+Pkk+…+Pkn)Uk
00Gk0
Uk0…-Pkn(Uk0-Un0)GknUkn
Ik=Gk1Uk1+Gk2Uk2+…+Gk0Uk0+…+GknUkn部分电导I1=G10U10+G12U12+
…+G1kU1k+…+G1nU1n…………………………………………Ik=Gk1Uk1+Gk2Uk2+…+Gk
0Ukk+…+GknUkn…………………………………………In=Gn1Un1+Gn2Un2+…+GnkUnk
+…+Gn0Un0自有部分电导G10…Gk0…Gn0互有部分电导G12…Gnk…Gkn所有部分电导为正；
Gjk=Gkj部分电导(n+1)个电极有n(n+1)/2个部分电导接地电阻接地目的：保护接地：人员安全；设备可靠工作
。工作接地：大地为辅助导体；消除设备对地电压升高。接地方法： 将设备与深埋地下的金属导体相连。接地电阻： 接地体电阻
接地导线电阻 接地体与大地间的接触电阻 两接地体间土壤电阻√接地电阻接地电阻地中电流分布电流密度最大处——电极
附近深埋电极不深埋电极仅靠地面的半球接地体深埋电极J=I/4?r2E=J/?=I/4?r2?
∞U=?a(I/4?r2?)drR=U/I不深埋电极紧靠地面的半球接地体由静电场?
=ｑ/4??R0?C=q/?=4??R0G=4??R0/2=2??R0R=1/2??R0
跨步电压跨步电压跨步电压J=I/2?x2E=J/?=I/2?x2??=
?x∞(I/2?x2?)dx=I/2?x??a=I/2?a?b
lI11Uab=
?Edx=?Edx=——(—-—)a
l-b2??l-blU0≈Ib/2??l2l=(Ib/2
??U0)1/2作业：2-4-22-5-2第九讲恒定磁场恒定磁场：恒定电流引起的磁场恒定磁场基本方程（
积分）：安培环路定律∮lH·dl=I磁通连续性定理∮sB·dS=0基本方程（微分）：▽×H=J▽
·B=0恒定磁场位函数：恒定磁场其它磁感应强度磁感应强度真空中的磁导率：?0（H/m)
?0I’dl’×eRF=∮lIdl×
(——∮l’————)4?
R2磁感应强度B磁感应强度（磁通密度）（T，Wb/m2）磁感应强度一般形式的力定律：F=∮lIdl×B磁
感应强度例3-1：磁感应强度I’dl’×eR=Idz’ez×eR
=Idz’ez×(ezsin?+ercos?)
=(Idz’r/R)e?磁感应强度?0IrLdz’B=——
?—————e?4?-L[r2+(z-z’)2]3/2磁感应强度
例3-2磁感应强度B=Bxex?0K0+?sin?=——?-
—————dxex?0(x2+y2)1/2磁感应强度
-?0K0/2exy>0B=+?0K0/2exy<0安培
环路定律B=?0I/2?rrd?=dlcos?=e?·dl安培环路定律
?0I∮B·dl=∮——e?·dl
2?r
?0I=∮——rd?
2?r?0I2?
=——?d?=?0I2?0安培环路定
律0?d?=00∮B·dl=0安培环路定律∮B·dl=?0(I1+I2+I
3+……)n=?0?Ik
k=0Ik的正或负符合右手螺旋关系安培环路定律例3-3当r12安培环路定律B?=?0Ir/2?R12当R1?B?rd?=?0IB?=?0I/2?r0
安培环路定律当R2)/(R32-R22)?0I(R32-r2)B?=——————
—2?r(R32-R22)r>R3B?=0安培环
路定律例3-4∮B·dl=?0K0c安培环路定律=Bx1(x0+c-x0)-Bx1(x0-x
0-c)=2Bx1c=?0K0cBx1=?0K0/2-?0K0/2ex
y>0B=+?0K0/2exy<0媒质的磁化分子电流（束缚电流，安培电流
）分子磁矩：m=IS分子磁矩受力--磁化：T=m×B媒质的磁化磁化强度M=lim
∑mi/△V（安/米）△V→0媒质的磁化媒质的磁化dIm=INa·dl=N
m·dl=M·dlIm=∮lM·dl?sJm·dS=∮lM·dl
=?s▽×M·dl媒质的磁化Jm=▽×M∮lM·dl=ImMt1△l1-Mt2△
l1=Km△l1Mt1-Mt2=Km(M1-M2)×en=Km安培环路定律∮lB·dl=?0(I+Im)
=?0(I+∮lM·dl)∮l(B/?0–M)·dl=IB/?0
–M=H∮lH·dl=I∮lH·dl=?Ik
安培环路定律各向同性的线性媒质M=?mH?m---媒质的磁化率B=?0(H+M)=?
0(1+?m)H=?0?rHB=?H安培环路定律磁导率：?（H/m)磁场强度：H(A/
m)安培环路定律例3-5当r>0∮lH·dl=2?rH?=IH=I/2?re?安培环路定
律当0?当r>aB=?0H=?0I/2?re?M=0作业：3-1-23-2-1第十讲恒定磁
场的基本方程磁通?m（Wb）?m=?sB·dS恒定磁场的基本方程高斯散度定理：∮sB·dS=?V
▽·BdV=0恒定磁场的基本方程斯托克斯定理：∮lH·dl=?s▽×H·dS=?sJ·
dS恒定磁场的基本方程B=?0(H+M)各向同性的线性媒质：B=?H分界面上的衔接条件H1t△l1–
H2t△l1=K△l1分界面上的衔接条件衔接条件的矢量表达式：(H1-H2)×en=K分界面上的衔接条件B
1n=B2n分界面上的衔接条件B1=?1H1B2=?2H2分界面上的衔接条件例3-6已知
：H2=?0（10ex+20ey)TK=0分界面上的衔接条件B1x=(?1/?2)B2x
=50?0磁矢位▽·(▽×A)?0磁矢位▽×▽×A=▽(▽?A)-▽2A磁矢位
▽2?=-?/?磁矢位?0
JxAx=——?V’——dV’4?R
?0JyAy=——?V’——dV’
4?R?0
JzAz=——?V’——dV’4?R
磁矢位?0JdV’A=——?V’——
4?R磁矢位每个元电流产生的磁矢位与此元电流有相同的方向。磁矢位例3-7?
0Idl’A=——∮l’———4?R磁矢位
∮l?dl=?S(en×▽?)dS磁矢位?0I
eRA=—?S’(ez×—)dS’4?R2磁矢位
rxex+yey+zezer=——=——————r
r磁矢位exeyez
ez×er=001
x/ry/rz/r磁矢位?0I
y?0ISAx=-———?S’dS’=-——sin?sin?
4?r2r4?r2?0I
x?0ISAy=-———?S’dS’=-——sin?cos?
4?r2r4?r2Az=0
磁矢位球坐标系：Ar=0A?=0?0ISA?=———sin?
4?r2磁矢位?0ISBr=——cos?
2?r3?0ISB?=——sin?4?r3B?=0磁矢位
?0m×eRA=———————4?
R2?0mB=——(2cos?er+sin?e?)
4?r3磁矢位例3-8J=Jez磁矢位?0ezl/2=——?-l/2Idl’
(I=JS)4?r?0IlA=——ez=Azez
4?r磁矢位?0Il▽×A=——(-yex/
r+xey/r)4?r2磁矢位?m=?sB·dS
=?s▽×A·dS=∮lA·dl磁矢位的边值问题磁矢位的边值问题△l2?0
?m=0磁矢位的边值问题(H1-H2)×en=K磁矢位的边值问题平行平面场：A1=A21?
A11?A1———–———=K?1?n
?2?n▽2A=-?J磁矢位的边值问题例3-9J=Jzez
A=Azez▽2A=-?J磁矢位的边值问题1??A1—(r—
)=-?0Jzr?ar?r?r1??A2—
(r—)=0r?ar?r?r磁矢位的边值问题
边界条件：A1=A2r=a1?A1?A2——=
——r=a?1?r?2?r设A1=A2=0r=a当r
?0A1为有限值磁矢位的边值问题A1=(-?0Jz/4)r2+C1lnr+C2A2=C3lnr+C4当r?
0A1为有限值?C1=0当r=aA1=0?C2=(?0Jza2/4)A1=(?0Jz
/4)(a2-r2)ez磁矢位的边值问题当r=aA2=0?C4=-C3lna?A1?
A2——=——r=a?r?rC3=(-?0Jz/2)a2A2
=(-?0Jza2/2)lna/rez磁矢位的边值问题B=▽×AB1=(?0Jzr/2)e?B2=
(?0Jza2/2r)e?磁位▽×H=J在没有电流分布的区域内：▽×H=0计算简化的需要引入?m
H=-▽?m(A)磁位等磁位面：?m=常数磁压：B?mB
Umab=?H?dl=-?d?m=?mA-?mBA
?mA∮H?dl=I磁
位∮H?dl=I磁位的边值问题▽·B=0▽·B=▽·(?H)=▽·(-?▽?m
)=-▽?m·▽?-?▽·▽?m=0▽2?m=0磁位分界
面上的衔接条件:?m1=?m2??m1??m2?1——=?2——
?n?n磁位例3-11▽2?m1=0r
?a▽2?m2=0r?a磁位边界条件：?m1=0r=0?m1=?m2r=a
??m1??m2?——=?0——?r
?rr???m2=-H0rcos?作业：3-3-33-4-3第十一讲
镜像法镜像法镜像法由：H1t=H2t得：镜像法I''=I(?2-?1)/(?2+?1)
I''''=2I?1/(?2+?1)镜像法?1=?0(空气)?2??（铁磁物质）镜像法2.?1
??（铁磁物质）?2=?0(空气)电感自感?L=LIL=?L/I
?L--自感磁链L--自感系数自感仅与回路的尺寸、几何形状及媒质的分布有关，而与通过回路的电流及磁链的具体量值无关
。电感内自感和内磁链(导体内部仅与部分电流相交链)Li=?i/I外自感和外磁链(与导体外部闭合电流相交链)Lo
=?o/I总电感L=Li+Lo电感例3-12R3?R2内导体（r?R1)：J=ezI/?r2
B=?0Ir/2?R12电感d?i=BdS=(?0Ir/2?R12)ldrI''=(?r2/?R12)I=
(r2/R12)Id?i=(I''/I)d?i=(?0Ir3/2?R14)ldr
R1?i=?d?i=?(?0Ir3/2?R14)ldr=?0Il/
8?0内自感：Li=?i/I=?0l/8?电感
R1?r?R2B=?0I/2?rd?o=BdS=(?0I/2?r)ldr
R2?o=?d?o=?(?0I/2?r)ldr=(?0Il/
2?)ln(R2/R1)R1外自感：Lo=?o/I=(?
0l/2?)ln(R2/R1)电感r>R2B=0总电感L=Li+Lo=(?0l/2?)[1/4+l
n(R2/R1)]电感R2?R3R2?r?R3?0I
(R32-r2)B=———————2?r(R32-R22)d
?i’=BldrI''=I[?(R32-r2)]/[?(R32-R22)]=I(R
32-r2)/(R32-R22)电感d?i’=(I''/I)d?i’
?0Il(R32-r2)2=———————dr
2?r(R32-R22)2R3
?0Il(R32-r2)2?i’=?d?i’=?———————dr
R22?r(R32-R22)2电感Li’=?i’/I总电感L=L
i+Lo+Li’电感例3-13IIH=——+
———2?x2?(D-x)d?m=Bldx
D-R?o=?d?m=?Bldx
R电感?0IlD-R?
o=——ln———?R?0
?0lD-RL0=—=—ln——I?
R?0lDD?RL0=
—ln—?R电感内自感：Li=2??0l/
8?=?0l/4?总电感L=Li+Lo=(?0l/?)[1/4+ln(D/R)]互感?21=M
21I1互感：M21=?21/I1M12=?12/I2互感M21=M12互感不仅与回路的尺寸、几何形状
及媒质的分布有关，还与两回路的相互位置有关。互感的单位：(H)互感例3-14?0I
BA=——e?2?r
?MA=?B·dS互感例3-14?MA=?MA
?0IlAD=——ln——
2?AC?MB=?MB?0IlBC
=——ln——2?BD互感?M=
?MA+?MB?0IlAD·BC
=——ln———2?AC·BD
?0lAD·BCM=——ln———
2?AC·BD聂依曼公式?0I1dl1
A1=——∮l1——4?R
?21=?m21=∮l2A1·dl2?0I1
dl2·dl1=——∮l2∮l1———4?
R聂依曼公式?21?
0dl2·dl1M21=—=M12=——∮l2∮l1———
I14?R
?0N1N2dl2·dl1M21=M12=
———∮l2∮l1———4?
R磁场能量与力单回路I?????e??IL????dA=uidt(u=d?/dt=Ldi
/dt)=LidiIWm=?dA=?Lidi=LI
2/20磁场能量与力双回路i1=mI1
i2=mI20≤m≤1m?1
m?2dA=dA1+dA2dA1=u1i1dt=d(m?1)mI1dt=mI1d(m?
1)dA2=u2i2dt=d(m?2)mI2dt=mI2d(m?2)Wm=?dA=?mI1d(m?1
)+?mI2d(m?2)=I1?1+I2?2?01mdm=
(I1?1+I2?2)/2磁场能量与力12Wm=—?Ik?k
2k=1?1=L1I1+M12I2?2=L2I2+M21I1M2
1=M21=MWm=(L1I1+L2I2+2MI1I2)/2磁场能量与力Wm=L1I12/2
+L2I22/2+MI1I2自有能自有能互有能
1nWm=—?Ik?k2k=1?k=Mk1I1
+Mk2I2+????+LkIk+MknInWm=L1I12/2+L2I22/2+????
+LnIn2/2+M12I1I2+M13I1I3+????+
M(n-1)nIn-1In磁场能量与力N个单匝回路：?k=?skB?dS=∮lkA?dl
1n1nWm=—?Ik?k=—?∮lkIk
A?dl2k=12k=1
1Wm=—?vA?JdV2磁场能量与力
1Wm=—?vA?JdV(J=??H)
21=—?vA???HdV
2??(A?H)=A???H-H???A磁场能量与力
11W
m=—?v??(A?H)dV+—?vH???AdV2
2
(B=??A)1
1Wm=—∮sA?H?dS+—?vH?BdV
22
磁场能量与力A→1/rH→1/r2S→r2?∮sA?H
?dS→1/r→0r→∞
1Wm=—?vH?BdV2wm=
H?B/2磁场能量与力1B2wm=—?H2=—
—22?磁场能量与力例3-15R3?R2内导体（
r?R1)：H1=Ir/2?R12B1=?0Ir/2?R12磁场能量与力R1?r?R2H2=I/2?r
B2=?0I/2?r1Wm=—?vH?BdV
2?0I2l1R2
=——(—+ln—)4?4R1作业
3-6-23-7-2第十二讲磁场能量与力单回路i?????e??iL????dA=uidt(u=
d?/dt=Ldi/dt)=LidiIWm=?dA=
?Lidi=LI2/20磁场能量与力双回路i1=
mI1i2=mI20≤m≤1m?1
m?2dA=dA1+dA2dA1=u1i1dt=d(m?1)mI1dt
=mI1d(m?1)dA2=u2i2dt=d(m?2)mI2dt=mI2d(m?2)Wm=?dA=?m
I1d(m?1)+?mI2d(m?2)=(I1?1+I2?2)?01md
m=(I1?1+I2?2)/2磁场能量与力12Wm
=—?Ik?k2k=1?1=L1I1+M12I2?2=L2
I2+M21I1M21=M21=MWm=(L1I1+L2I2+2MI1I2)/2磁场能量与力W
m=L1I12/2+L2I22/2+MI1I2自有能自有能互有能
1nWm=—?Ik?k2k=
1?k=Mk1I1+Mk2I2+????+LkIk+MknInWm=L1I12/2+L2
I22/2+????+LnIn2/2+M12I1I2+M13I1
I3+????+M(n-1)nIn-1In磁场能量与力N个单匝回路：?k=?skB?dS=∮lk
A?dl1n1nWm=—?Ik?k
=—?∮lkIkA?dl2k=12
k=1对于分布电流：∮l→?vIdl→JdV
磁场能量与力1Wm=—?vA?JdV
(J=??H)21
=—?vA???HdV2??(A?H)=
A???H-H???A磁场能量与力1
1Wm=—?v??(A?H)dV+—?vH???AdV
2
2(B=??A)
11Wm=—∮
sA?H?dS+—?vH?BdV2
2磁场能量与力A→1/rH→1/
r2S→r2?∮sA?H?dS→1/r→0
r→∞1Wm=—?vH?BdV
2wm=H?B/2磁场能量与力1
B2wm=—?H2=——22?
磁场能量与力例3-15R3?R2内导体（r?R1)：H1=Ir/2?R12B1=?0Ir/2?R12磁场
能量与力R1?r?R2H2=I/2?rB2=?0I/2?r1
Wm=—?vH?BdV2?
0I2l1R2=——(—+ln—)
4?4R1磁场能量与力Wm=LI2/2L=2Wm/I2
?0l1R2=——(—+ln—)
4?4R1磁场能量与力磁场力:磁场能量与力虚位移法n个载流回路系统：U1，U2，
????，UnI1，I2，????，In磁场能量与力ndW=?Ikd
?kk=1磁场能量与力fdg=dWm|Ik=常数磁场能量与力?k不变磁场能量
与力?Wm?Wmf=——|Ik=常数
=-——|?k=常数?g?g磁场能量与力
例3-16磁场能量与力T=m?B磁场能量与力例3-17磁场能量与力
?Wm?m2f=-—
—|?m=常数=-——?l2?0S磁
场能量与力B21f0=——=—?0H2
2?02磁路及其计算低频磁路及其计算铁磁质（媒质2）与非铁磁质（媒质1）的分界磁
路及其计算铁磁质具有把B线聚集于自己内部的性质磁路及其计算应用：电机；变压器；电感；电磁铁等。磁路及其计算主磁通
漏磁通磁路及其计算磁路定律∮lH·dl=NIH·dl=B·dl/?=Bdl/
?=?dl/?S?∮ldl/?S=NI磁路及其计算R=∫ldl/?S磁阻：R
m=∮ldl/?S磁路欧姆定律：?Rm=NI=em磁路及其计算∮SB·dl=0→?
=?1+?2磁路及其计算∑?iRmi=∑emi以上讨论的近似：不及漏磁；B线沿铁心周线走向；铁心截面上各
处B均匀；无永久磁体。磁路及其计算磁路的计算已知磁通求磁势已知磁势求磁通磁路及其计算解：Rm=l/?S=
105（1/H)em=?Rm=300I=em/N=1(A)
磁路及其计算例3-19已知：lg=2×10-3mS2=4×10-3m2?=3×10-3Wb求
:I磁路及其计算Rm2=lg/?0S2=4×105（1/H)Rm=Rm1+
Rm2em=?Rm=300I=em/N=5(A)磁路及其
计算2.已知磁势求磁通?1=B1/H1?2=B2/H2?1=IN/Rg→B1→H1→?1→R1m→
?2=IN/(Rg+R1m)→B2→H2→?2→R2m磁路及其计算→B3→H3→?
3→R3m→?4=IN/(Rg+R3m)……?i+1-?i≤?磁路及其计算磁屏蔽作业：3-8-3
3-9-1第十三讲习题已知：H1=(ex+2ey+3ez)A/mK=2ex求：H23-3-3(H1-
H2)×en=Ken=ey(ex+2ey+3ez)×ey-H2×ey=2exH2×e
y=ez-3ex-2ex=ez-5exH2t=ex+5ez3-3-3?1H1y-?2H2y=
0H2n=2ey?1/?2H2=H2t+H2nH2=ex+2ey?1/?2+5ez3
-4-3A=Azez▽2A=-?J3-4-31??A1—(r—)
=-?0J0rr?ar?r?r3-4-3A1=A2
r=a1?A1?A2——=——r=a
?1?r?2?r设A2=0r=r0当r?0A1为有限值3-4-3
A2=C3lnr+C4当r?0A1为有限值?C1=0当r=r0A2=0?C4=-C3lnr0A1
=(-?0J0/9)r3+C2A2=C3ln(r/r0)3-4-3(-?0J0/9)a3+C2=
C3ln(a/r0)(-?0J0/3)a2=C3/a3-4-3C3=(-?0J0/3)a3A1=(
?0J0/9)[a3-r3-3ln(a/r0)]ezA2=(-?0J0a3/3)ln(r/r0)ez
B=▽×AB1=(?0J0r2/3)e?B2=(?0J0a3/3r)e?3-6-23-6-23-
6-23-7-2已知：N=500R1=6cmR2=7cmh=1cm?=800?0求：L3-7
-2∮lH·dl=NI2?rH?=NIB=(NI?/2?r)e??m=?sB·dS
R2=?(NI?/2?r)hdr
R13-7-2?m=N?m=(hN2I?/2?)ln(R2/R1)L=?m/I=(hN2?/
2?)ln(R2/R1)3-8-3?WmM?M?T=———=I
1I2——????3-9-13-9-1Ra=Rb=
Rc=Rl/30?c=?a+?b?cRc+?bRb=IN-?bRb+?aRa=0?
a=30INS?0/63lBa=30IN?0/63l3-3提示：应用叠加原理3-33-3
=(J0?0/2)ez?rB2=-(J0?0/2)ez?r’B=B1+B2=(
J0?0/2)ez?(r-r’)=(J0?0/2)dez?ex=(J0?0/2)dey3
-15WmM=I1I2M=I2?21=I2?B?dS
b=I2?Bcdx
a3-15b
I1?011WmM=I2?———(—+——)cdx
a2?xD-x
I2I1?0cb(D-a)=—
——ln—————2?a
(D-b)=I2?213-15?21?0
cb(D-a)M=—=———ln———I1
2?a(D-b)?WmM
?MF1=———=I1I2——?a?a
I1I2?0c11
=-———[———+——]2?
(D-a)a3-15?0cb(
D-a)M=———ln———2?a(D-b)
?WmM?MF2=———=I1I2——
?c?cI1I2?0
b(D-a)=———ln———2?a(D-b)
3-15?0cb(D-a)M=———ln
———2?a(D-b)
?WmM?MF3=———=I1I2——?b
?bI1I2?0c11
=———[——+———]2?
b(D-b)3-15?0cb(D-
a)M=———ln———2?a(D-b)
?WmM?MF4=———=I1I2——
?c?c?0I1I2b(D-a
)=———ln———2?a(D-b)3-15
FX=F1+F3I1I2?0c11
11FX=———[-———-—+—+———]
2?(D-a)ab(
D-b)Fy=F2+F4Fy=03-73-7?0K0×eRB=—?
S’———dS’4?R2?0K0e?×eRB=
—?S’———dS’4?R23-7ReR+aer=(z-z’)ez
?0K0dB=——e?×[(z-z’)ez-aer]dS’
4?R3?0K0adBz=——ad?dz’4?R33-
7?0K0a2l/22?dz’Bz=——?————
4?-l/2[(z-z’)+a2]3/2
?0K0z+l/2z-l/2Bz=——
｛—————-—————｝2[(z+l/2)
+a2]1/2[(z+l/2)+a2]1/2?0M0z+
l/2z-l/2Bz=——｛—————-—————｝
2[(z+l/2)+a2]1/2[(z+l/2)+a2]1/
23-7Bz=Bz/?0–M0|z|＜l/2Bz=Bz/?0
|z|＞l/23-7?0Idl×eRB=—?l———
4?R2ReR+aer=zezIdl=lK0ad?e?3-7
?0K0dB=——e?×(zez-aer)lad?4?R
3?0K0a2lBz=————R≈z
2z3?0M0a2lBz=————
2z33-9B1=B1?e?+B1zezB1?=B1sin?B1z=B1co
s?en=-ezH2t=H1t=B1?/?1B2n=B1n=B1z3-9H2=H2t
e?+B2n/?2ezH2=B1sin?/?1e?+B1cos?/?2ezB2=?2H2
B2=?2B1sin?/?1e?+B1cos?ezB=[(?2B1sin?/?1)2+(B1c
os?)2]?tg?’=(?2/?1)tg?3-15WmM=I1I2M=I2
?21=I2?B?dSb
=I2?Bcdxa3-15
bI1?011WmM=I2?
———(—+——)cdxa2?
xD-xI2I1?0cb
(D-a)=———ln—————
2?a(D-b)=I2?213-15
?21?0cb(D-a)M=—=———ln—
——I12?a(D-b)
?WmM?MF1=———=I1I2——?a
?aI1I2?0c1
1=-———[———+——]
2?(D-a)a3-15
?0cb(D-a)M=———ln———2?
a(D-b)?WmM?MF2
=———=I1I2——?c?c
I1I2?0b(D-a)=———ln———2?
a(D-b)3-15?0cb(
D-a)M=———ln———2?a(D-b)
?WmM?MF3=———=I1I2——
?b?bI1I2?0c1
1=———[——+———]
2?b(D-b)3-15?0
cb(D-a)M=———ln———2?
a(D-b)?WmM?MF4=———
=I1I2——?c?c?0I
1I2b(D-a)=———ln———2?
a(D-b)3-15FX=F1+F3I1I2?0c
1111FX=———[-———
-—+—+———]2?(D-a)a
b(D-b)Fy=F2+F4Fy=03-15F=∮lIdl×B
I1?011B=———(—+——)(-
ez)2?xD-x
I1?011B1=———(—+——)(-ez)=B1(-ez)
2?aD-aI1?0
11B3=———(—+——)(-ez)=B2(-ez)
2?bD-b3-15F1=∫lI2dl×B1=
∫lI2dyB1ey×(-ez)=-cI2I1B1exI1I2c?
011F1=-———(—+——)ex
2?aD-a3-15F3=∫lI2dl×B3=∫
lI2dyB3-ey×(-ez)=cI2I1B3exI1I2c?01
1F3=———(—+——)ex2?
aD-a3-15F2=∫lI2dl×B2=∫lI2B2dxex×(-ez)
bI1?011F2=I2?
——(—+——)dxeya2?x
D-x?0I1I2b(D-a)=———ln
———ey2?a(D-b)3-15F4=∫lI2dl
×B4=∫lI2B4dx(-ex)×(-ez)
bI1?011F4=I2?——(—+——)dx-ey
a2?xD-x
?0I1I2b(D-a)=-———ln———ey
2?a(D-b)第十四讲时变场电磁感应定律静电场:E(x
,y,z)时变场电磁感应定律感生电动势（变压器电势）?Be=-?S——?dS
?t时变场电磁感应定律复合电势?Be=-?
S——?dS+∮l(v?B)?dl?t时变场感应电场变化的磁场?电场
Ei法拉第定律：环路麦克斯韦假设：空间时变场电磁感应定律e=∮lEi?dl时变场电磁感应定律积分形式：
?B∮lE?dl=-?S——?dS+∮l(v?B)
?dl?t时变场全电流定律恒定磁场：∮lH·d
l=?sJ·dS=I时变场全电流定律∮s(J+Jd)·dS=0∮sJ·dS=-∮sJd·
dS∮lH·dl=?s(J+Jd)·dS时变场
全电流定律dqd
?D∮sJd·dS=—=—∮sD·dS=∮s—·dSdt
dt?t时变场全电流定律积分形式：
?D∮lH·dl=?sJ·dS+?s—
·dS?t时变场全
电流定律时变场电磁场的基本方程组积分形式:
?D∮lH·dl=?s(J+—)·dS
?t?B∮lE?dl=-?S——?dS
?t∮SB?dS=0∮SD?dS=q时变场电磁场
的基本方程组微分形式?D▽×H=J+——
?t?B▽×E=-——
?t▽?B=0▽?D=?时变场电磁场的基本方程组各向同性媒质中，
场量之间的关系（电磁场的辅助方程组）D=?EB=?HJ=?E时变场电磁场的基本方程组例
4-1已知：H=2.63×10-5cos(3×109t-10z)eyA/m求：
Jd解：?D▽×H=——（J=0）
?t时变场电磁场的基本方程组?D
?HyJd=——=▽×H=-ex——?t
?z=2.63×10-5sin(3×109t-10z)exA
/m2时变场电磁场的基本方程组例4-2已知：E=10-2sin(6.28×109t-20.9z)ey
V/m求：B解：?B▽×E=-——
?t时变场电磁场的基本方程组?B
?Ey——=-▽×E=-——ex?t
?z=-20.9×10-2sin(6.28×109t-20.9z)ex
?EyB=?-——exdt?z=
-3.33×10-11sin(6.28×109t-20.9z)ex时变场分界面上的衔接条件时变场分界面上的衔接
条件?B∮lE?dl=-?S——?dS
?t
?BE1sin?1?m–E2sin?2?m=-lim(——)
n0?l?m?l
?0?t时变场分界面上的衔接条件?BE1t-E2t
=-lim(——)n0?l?l?0?t?B——为有限值
?tE1t-E2t=0E1t=E2t时变场分界面上的衔接条件H1t–H2t=
KB1n=B2nD2n–D1n=?时变场分界面上的衔接条件分界面上不存在面电荷和面电流时E1s
in?1=E2sin?2?1E1cos?1=?2E2con?2H1sin?1=H2sin?2?1
H1cos?1=?2H2con?2时变场分界面上的衔接条件折射定律tg?1/tg?2=?1
/?2tg?1/tg?2=?1/?2时变场分界面上的衔接条件理想导体分界面en×H2t=K
H2t=KB1n=B2n=0E2n=E1n=0D2n=?时变场分界面上的衔接条件例
4-3已知：Emsin?t?=107S/m?=?0求：Jd/J解：J=?E=?E
msin?t?D?Jd=—=—(?0Emsin?t)=
?0Em?cos?t?t?t时变场分界面上的衔接条件J
d/J=?0?/?≈10-17f?=2?f光波频率：f≈1013Hz时变场分界面上的衔接条件例4-
4已知：E=E0sin(?z/d)cos(?t-?x)ey求：（1）H，（2）K1
（3）K2时变场分界面上的衔接条件?B▽×E=-
——?t?Ey?Ey
?H-——ex+——ez=-?0——?z?x
?t1?Ey?EyH=-—?(-—
ex+—ez)dt?0?z?x时变场
分界面上的衔接条件E0??zH=——[—cos—sin
(?t-?x)ex?0?dd
?z-?sin—cos(?t-?x)ez]
dK1=|H|z=0eyK2=|H|z=dey时变场分界面上的衔接条件(H1-H2)
×en=KH1=0z=0en=ezK1=ez×H2z=0E
0?=——sin(?t-?x)ey?0d
时变场分界面上的衔接条件H2=0z=den=ezK2=H1z=d×ez
E0?=——sin(?t-?x)ey?0d
时变场动态位及其积分解B=▽×A（▽?B=0）
?B▽×E=-——?t
?A▽×(E+——)=0?t?A
E+——=-???t时变场动态位及其积分解?AE
=-——-???t动态位：A(x,y,z,t),?(x,y,z.t)
时变场动态位及其积分解
?D▽×H=J+——?t
?AE=-——-???tD=?EB=
?HB=▽×A?2A
??▽2A-??——=-?J+▽(▽?A+??—）
?t2?t时变场
动态位及其积分解▽?D=?
?AE=-——-??
?tD=?E??
▽2?+——(▽?A）=-——?t
?时变场动态位及其积分解??▽?A+??——=0
（洛仑兹条件）?t
?2A▽2A-??——=-?J
?t2
?2??▽2?-??——=-
——?t2?时变场动态位及其积分解例4-
5已知：A=Ame-?zsin(?t-?z)ex求：E,B解：B=▽×A
=-Ame-?z[?sin(?t-?z)+?c
os(?t-?z)]ey时变场动态位及其积分解????——=-▽?A=0
?t?=C?(x,y,z)?AE=-——-??=-?
Ame-?zcos(?t-?z)ex?t时变场动态位及其积分解
????——=-▽?A=0?t?=C?(x,y,z)
?AE=-——-??=-?Ame-?zcos(?t-?z)ex
?t作业：4-1-24-2-3第十五讲达朗贝尔方程的解点电荷q(t)激发的场：
?2?▽2?-??—
—=0?t2达朗贝尔方程的解达朗贝尔方程的解点电荷q激发的场：
q?=—
——4??r达朗贝尔方程的解1
?(r'')?(r)=——∫V''———dV''4?
?R达朗贝尔方程的解?J(r’,t-
R/v)A(r,t)=——?V’—————dV’4?
R电磁功率流和坡印亭矢量w=we+wm=?E?D+?B?H电磁功率流和坡印亭矢量对于各向同
性媒质电磁功率流和坡印亭矢量?D▽×H=J+——
?t?B▽×E=-——
?t电磁功率流和坡印亭矢量?W?
?——=∫v[—(?E?D)+—(?B?H
)]dV?t?t?t电磁功率流和坡印亭矢量
?W
-——=∮A(E×H)dA+∫vE?JdV?t
电磁功率流和坡印亭矢量∮A(E×H)dA?W=-——-
∫vJ2／?dV+∫vJ·EedV?t电磁功率流和坡印亭矢量坡印亭矢量:S=E
×H单位：W/m2----能量密度电磁功率流和坡印亭矢量例4-6忽略电缆电阻UE
=———e??lnb/aIH=———e?
2??电磁功率流和坡印亭矢量P=∫AS·dA=∫AUI/(2??2lnb/a)dAdA=2??
d?P=UI电磁功率流和坡印亭矢量例4-7如不能忽略电缆电阻Ez=J/?电磁功率流和坡印亭矢量Ez=J/?
=I/?a2?=IRIH?=——2?
aS?=-EzH?=-I2R/2?aP=∫I2Rdz=I2R正弦电磁场E(x,y,z,t)=E
xm(x,y,z)cos(?t+?x)ex+Eym(x,y,z)cos(?t+?y)ey
+Ezm(x,y,z)cos(?t+?z)ezE(x,y,z,t)=Re[E(x,y,z
)√2ej?t]E(x,y,z)=Exex+Eyey+EzezE
xmej?xEymej?yEzmej?z=—
——ex+———ex+———ex√2√2
√2正弦电磁场?E(x,y,z,t)—————=Re[j?E(x,y,z)√2ej?t]
?t正弦电磁场正弦电磁场正弦电磁场正弦电磁场正弦电磁场正弦电磁场正弦电磁场正弦电磁场第十六讲习题?p=
-▽·P习题1-4-3▽2?1=-?1∕?▽2?2=-?2∕?▽2?3=0?1=?2??1
∕?r=??2∕?r?2=?3??2∕?r=??3∕?r?3=0
r→∞?3=有限值r→0习题1-4-3▽2?1=0▽2?2=0
习题1-4-3例1-19?1=?11?1+?12?2?2=?21?1+?22?2例1-19?1=?11?
1+?12?2?2=?21?1+?22?2例1-19?1=?1‘+?1‘‘=?11?1+?12?2?2
=?2‘+?2‘‘=?21?1+?22?2习题2-1?=?0cos?习题2-2
习题2-2习题2-4习题2-9J相等E1=J／?1E
2=J／?2ad?2
=?1+?0E1dx+?aE2dx=?1+Ja/?1+J(d-a)/?2J=(?2
-?1)/[a/?1+(d-a)/?2]习题2-9?2?1——=0?x
2?2?2——=0?x2?1=V1x=0?2=V2
x=d?1=?2x=a??1??2?1——=?2——
?x?x习题2-9习题2-12习题2-12ab?1?2r=ar=
bab?1?2E2E1?1=?2=?▽2?=0?=0
r=b?1=-?1??∕?r?2=-?2??∕?rr=aQQ=∫?1ds+∫?2
ds=-(?1+?2)∫??∕?rds（达朗贝尔方程）f1(t-r
/v)f2(t-r/v)?=————+————r
rv=1／√??
r+v△tf1(t-r/v)=f1(t+△t-——
——)vt=t1t=t2=t1+△t
v△tf1(r-vt1)f2(r-vt2)点电荷q(t)激发的场：
q(t-r/v)?=———4??r
1?(r’,t-R/v)?(r,t)=——∫V''
—————dV''4??R推迟位W=∫vwdV=
∫v(?E?D+?B?H)dV?W?B——=
—∫v(?E?D+?B?H)dV?t?t
??
=∫v[—(?E?D)+—(?B?H)]dV
?t?t??D
—(?E?D)=E?——?t?t?
?B—(?B?H)=H?——?t
?t??D—(?E?D)
=E?——=E?▽×H-E?J?t?t
??B—(?B?H)=H?——=-H?▽×E
?t?t=∫v(E?▽×H-E?J-H?▽×E)
dV=∫v–[▽×(E×H)]-E?J)dV?W
-——=∮A(E×H)dA+∫vE?JdV
?tJ=?(E+Ee)E=J／?-
Ee∮A(E×H)dA
?W=-——-∫vJ2／?dV+∫vJ?EedV?t电磁场中能
量守恒和转化定律：电磁能量焦耳热电源供能外输电磁能量∮A(E×H)dA=∮AS·dA坡印亭矢量:S=
E×H无局外场的恒定电磁场：∮A(E×H)dA=-∫vJ2／?dV
SS=E×H=UI/(2??2lnb/a)ezEHSHHHHEEEESSS
SE=E?e?+EzezS=(E?e?+Ezez)×HS=E?H?ez+EzH?
e?HHErErEzEzS?SzS?SzSS▽×H=J+j?D
▽×E=-j?B▽?B=0▽?D=?D
=?EB=?HJ=?ES(t)=Emcos(?t+?E)×Hmcos(?t+?H)
=√2Ecos(?t+?E)×√2Hcos(?t+?H)Sav=1/T∫0TS(t)d
t=(E×H)cos(?E-?E)Sav=Re()波印亭矢量的
复数形式▽·=·（▽×E）-E
·（▽×)▽×H=J+j?DD=?E▽×E
=-j?BB=?H实部——有功功率虚部——无功功率▽·
=-j??H·H-E·J+j??E·E
-∮A(E×H)·dAJ2=∫v—dV+j?∫v(?H2-?E2
)dV-∫vEe?JdV?有功功率P无功功率Q
电源功率体积内不含电源：-∮A(E×H)·dA=P+j?QP=I2R
Q=I2XR=-1/I2Re[-∮A(E×H)·dA]X=-1/I2Im[-
∮A(E×H)·dA]达朗贝尔方程的复数形式及其解：
?2A▽2A-??——=-?J→▽2A+?2A=-?J
?t2
?2??▽2?-??——=
-——→▽2?+?2?=-?/??t2?
?=????1?(r’,t-R/v)
?(r,t)=——∫V''—————dV''4??
R1?ej?R?=——∫V''———dV''
4??R?J(r’
,t-R/v)A(r,t)=——?V’—————dV’4?
R?Jej?RA=——?V’———dV
’4?RD=?0E+P▽·D=?=▽·(?0E
-D)=?0▽·E-▽·D=?0▽·?E∕?-▽·D=?0▽·D∕?-▽·
D=(?0∕?-1)?习题1-3-1d?md=-——
=—?SB?dSdtdt?B=-
?S——?dS+∮l(v?B)?dl?t微分形式：
?B▽×E=-——+▽×(v?B)
?t静止媒质中：?B▽×E=-——
?t~S1S2Cl∮lH·dl=?s1J·dS=i∮lH·d
l=?s2J·dS=0位移电流：dqJd=——dt▽?D
=?q=∮sD·dS位移电流：?DJd=—?t微分形式：
?D▽×H=J+——
?t(参见P328公式18）?→∞H2tenK(H1-H2)×en=KxyzEK1
K2I1I1Dbac2RI2xx1324yaM0ezL/2L/2aK0e?L/2L
/2RK0e?L/2L/2zz’ad?dz’RK0e?zaad?L??yxzB1B1?e
nI1I1Dbac2RI2xx1324yxyz恒定磁场：B(x,y,z)时变场：E(
x,y,z,t,?B/?t),B(x,y,z,t,?E/?t)d?mde=-——
=—?SB?dSdtdt动生电势（发电机电势）e=∮l(v?B)?dl
感应电势与感应电流感应电势的大小只与穿过回路磁通随时间的变化率有关，而与构成回路的材料特性无关。电荷?电场E?∮l
dl/?S=NI?Rm1?emIRmRm2?2?1 ?2?1∑?i=0已知磁通求磁
势例3-18已知:N=300?r=2600l=1m
S=3×10-3m2?=3×10-3Wb求:II?Rm2?emlgRm
1解：Rm1=l/?S=105（1/H)HBH1B1B2H2→?3=IN/(Rg+R2m)
Kzxy3-3-3解：(B1-B2)·en=0azxyJ=Jz=J0rez1?
?A2—(r—)=0r?ar?r?
r边界条件：A1=(-?0J0/9)r3+C1lnr+C2当r=aA1=A2
?A1?A2——=——
?r?rC2=(-?0J0/3)a3ln(a/r0)+(?0
Jz/9)a3?1?2?→∞abI?1aabbIII’I’?2abI”I”aR1
R2hlhdr解：?WmM=I1I2M?lIabcRaRbRcRlNI?c?a?b
Rl=l/?0SdJ0ezbaxydJ0ezbardexr’B1=(I?0/2?r
)e?R1R2R3BR1R2R3BR1R2R3BR1R2R3B运动电荷：F=q?×B元电
流段：F=∮lIdl×B虚位移除P号回路外其余都不动；P号回路只有一个广义坐标g变化dW=dWm+fdg
1nWm=—?Ik?k2k=1Ik不变
1ndWm|Ik=常数=—?Ikd?k
2k=1dWm|Ik=常数=dW/2dWm
f=——|Ik=常数dg
?Wmf=+——|Ik=常数?gd?k=0dW=0fdg=
-dWm|?k=常数dWm?Wmf=-——
|?k=常数=-——|?k=常数dg?gI1
B?WmM=MI1I2=I1?k=I1BScos?
?WmMT=——|I1=常数=-I1BSsin???=-Bmsin
?(m=I1S)lSB2Wm=∫——dV
2?0B
2=——Sl2?0?m2
=——l2?0S?m2
B2SF=2f=-——=-——2?0S2?0
2.不同介质间导电或导磁的特性相差很大场问题?路问题电路：?导体>>?绝缘体铁磁质?>>?0?1?2
tg?1/tg?2=?1/?2=?r1/?r2如?1≠?2≠0?2>>?1常常?2≈90o
?1≈0B线几乎与分界面平行→漏磁通小电路：电流集中于导电体磁路：磁通集中于导磁体图3-33磁阻（
磁导）电阻（电导）磁通电流磁通密度电流密度磁势磁路电势电路Isin?/2?r-I''sin?/2
?r=I''''sin?/2?rI-I''=I''''由：B1n=B2n得：?1Icos?/2?r+
?1I’cos?/2?r=?2I''''cos?/2?r?1(I+I’)=?2I”I''''>0
I''=I(?2-?0)/(?2+?0)?II''''=2I?0/(?2+?0)?0H2?0
B2=?2H2=?2I''''/2?r=?22I?0/(?2+?0)/2?r=?2I/?r
I''=I(?1-?0)/(?1+?0)?-II''''=2I?1/(?1+?0
)?2IR1R2R3BR1R2R3BR1R2R3BdxIIlxBDRI112与磁
通交链的回路引起磁通的电流回路ABCDD’C’DACDBDDADDBCesB?ABCDD’
C’DACDBDDADDBCI1dl1I2Rdl2?0I
1?0IeRA=—?S’(ez×▽’—)dS’=—?S’(e
z×—)dS’4?R4?
R2R=|r-r’|1eR▽’—=—RR2当磁偶极
子的尺寸远小于到场点的距离：R?rer?eR?0Ier
?0IA?—?S’(ez×—)dS’=——?S’(ez×er)dS’4?
r24?r2r??xyzrsin?cos?ex
+rsin?sin?ey+rcos?ez=—————————————————
rex
eyezez×er=0
01sin?cos?
sin?sin?cos?1err
e?rsin?e?▽×A=——???r????????
rsin?ArrA?rsin?A?xyzJP(x,y,z)-y/r
exx/rey??lB线?0JdV’A=——?V’——
4?R?0ezl/2?——?-l/2?S’Jd
S’dl’4?r?0Il
?0Il=——(-sin?sin?ex+sin?cos?ey)=——sin?e?
4?r24?r2
(e?=-eysin?+ezcos?)(参见P322)?0IlB=—
—sin?e?4?r2A1A2△l2△l1?1?2PA1△l?1?2?1
?2A2?m=?sB·dS=∮lA·dl=0A1t=A2t∮SA·dS=?V
▽·AdV=0A1n=A2nA1=A2▽×A1
▽×A2（————–————）×en=K?1
?2（▽×A1)t（▽×A2)t————–
————=K?1?2axyz
IlmyxP(r.?)?aH0a?1?2Ia?1aII’H’H”rr??a
?2I’’H2r?11BrB??0I/2?R1?0I/2?R2R1R2R3B2B1K0Oy
x(x0+c,a)(x0,a)B2x=-B1xx0+c
a=?Bx1ex1·ex1dx+?0dyx0
-ax0
-a+?Bx1ex1·-ex1dx+?0dyx0+c
aI磁化电流：媒质磁化后产生的附加电流M1M2△l2△l1
abcdenIr磁通连续性定理:∮sB·dS=0（无磁荷）▽·B=0基本方
程（积分）：安培环路定律∮lH·dl=I磁通连续性定理∮sB·dS=0▽×H=J基本方程（微分）：
▽×H=J▽·B=0H1H2H1nH1tH2nH2t△l2△l1?1?2P?1?2e
nH1t–H2t=KB1tB2t——–——=K
?1?2磁场强度和磁感应强度的切向分量均不连续分界面上无面电流：H1t
=H2t?2B1t=?1B2t磁场强度的切向分量连续磁感应强度的切向
分量不连续PB1△l?1?2?1?2B2?1H1n=?2H2n(B1-B2)·en=0
磁感应强度的法向分量连续磁场强度的法向分量不连续?1=?1?2=?2
H1sin?1=H2sin?2?1H1cos?1=?2H2con?2tg?1/tg?2=
?1/?2xyz?2=3?0?1=5?0B2=?2H2=3?0H2=?0（30ex+60
ey)TH1x=H1t=H2t=10B1y=B1n=B2n=60?0H1y=(
?2/?1)H2y=12?0B1=?0（50ex+60ey)(T)H1=（10ex+12ey)(A/m)
B1y=60?0H1x=10▽·B=0B=▽×A磁矢位:A(Wb/m)▽×
H=J(B=?H)▽×B=?J▽×▽×A=?J▽(▽?A)-▽2A=?
J▽?A=0▽2A=-?J▽2Ax=-?Jx▽2Ay=-?Jy▽
2Az=-?Jz1??=——?V’——dV’
4??0RR=|r-r’|
?0KdS’A=——?S’———4?
R?0Idl’A=——∮l’
——4?RxyzrRAIOr’Idl’123G12G1
3G23G10G30G20Ilab?x基本场量：磁感应强度B2.磁化强度M:
媒质在磁场中的表现；磁化电流；3.磁场强度H磁矢位A?▽2A=J
2.磁标位?m?▽2?m=0电感2.磁通3.磁能4.磁力5.磁路I’Idl’dl
RdFrr’xyzR=r-r’安培力定律?0Idl×
(I’dl’×eR)F=——∮l∮l’——————4?
R2?0I’dl’×eRB=
——∮l’————（毕奥-沙伐定律）4?R2
?0J(x’,y’,
z’)×eRB（x,y,z)=——?V’———————dV’
4?R2?0K(x’
,y’,z’)×eRB（x,y,z)=——?S’———————dS’
4?R2元电流段：JdVKdSIdl洛仑兹力：F=q?
×B（不作功）B线方程：B×dl=0LLdl’OrP(r,z)zR??
0I’dl’×eRB=——∮l’————4?
R2I’dl’=Idz’ezR2=r2+(z-z’)2rz’rLLdl’OR?rz’P(
r,z)eRezerdl’=dz’ezeR=ezsin?+ercos??=r/RL??
?0IB=——e?2?rI2=K0dxI1=K0dxzxy
K0?dB1dB2dB=dB1+dB2Pdxdx?0I1?0K0dx
dB1=——=————2?r2?(x2+y2)1/2dB
?0I2?0K0dxdB2=——=————2?r2?(x2
+y2)1/2?0K0dxsin?dB=-——————ex
?(x2+y2)1/2?-?sin?=y/(x2+y2)1/2?0K0y+?
1=-——?—————dxex?0x2+
y2xy?0K0/2-?0K0/2Id?rdldB?Id?rdBR1R2R3B
I’=J?r2=Ir2/R12dl=erdr+e?rd?+ezdz2?
?0Ir2?B?rd?=———0R12Ee
EJ＋－?1?2?1?2J1J2tg?2=tg?1?2/?1?1?2?1?2J1
J2R0Z=0?=?-Z=l?=?+S-S+SrI?2=0z+-+-+-E2tE2nE2
U0II=∫sJ·dSq=∫sD·dS▽2?=0▽2?=0J=?ED=?E
▽·J=0▽·D=0▽×E=0或E=－▽?▽×E=0或E=－▽?导电媒质内的恒定电场（电
源外）静电场（?=0）处基本方程GC?IJ?E导电媒质内的恒定电场（电源外）?qD?E静电场（?
=0）处物理量?1?1?2?1?2?2?1?2d?1?2d?1d?2dII’II
”E1tE1n?rrPPE2tE2n?rR1R2rER1R2?=0?=U0?orJ
hdW=dgWe+fdgC=q/Uox+q-qf1f2dUlxU0ACD
B+－++++++++++++++++++----------------
--+?-?+?-?+?-?习题1-6ACDB+－+++++
+++++++------------+?-?+?-?AC
DB+－++++++++++++------------+?1-?1
+?1-?1ACDB+++++++++++++++
+++------------------+?1-?1+?1-?1-?2+?2EA
C=EDB=U0/3d=-ECD/2?1=?/3?2=2?/3yohh-?+?
aaxUyxohhbb-?+?yxo-?+?P(x,y)-??a1a2dh1
h2bba1a2dP(X,Y)?-?E0exqE0iq-qxxxydoU0?
d2?▽2?=——=-?/?0dx2?=-?x2/?0+Bx
+Cx=0,?=0;x=d,?=U0?=-?x2/2?0+(U0/d+?d/2?0)xxy
zPrRo?IdldSJJ=?Edq1bPr1Ror2?-q2q1Pr1R2
=bdq2=q1(b/d)1/2=q1R/d=0=0q12（R2+b2）-q22（R2+d2)=
0q22d-q12b=0dqRo?dqbRoq''?q''''q’’=-q’+dqbR
q''?q''''q?aohhbb-?+?r2=a-(h-b)r1=b+h-a?0=0
自有电位系数?11…?kk…?nn互有电位系数?12…?nk…?kn自有感应系数?11…?
kk…?nn互有感应系数?12…?nk…?kn1.自有感应系数为正；2.互有感应系数为负；3.自有感
应系数大于与它有关的互有感应系数的绝对值（?jj＞|?jk|)。自有部分电容C10…Ck
0…Cn0互有部分电容C12…Cnk…Ckn所有部分电容为正；Cjk=Ckj12
3C12C13C23C10C30C201nWe=—??kqk
2k=1D·n0=Dn=??=▽·DS1Sn10n0点电荷系统：
1nWe=—??kqk2k=1?k
(q1,q2,…qk-1,qk+1,…qn)R?We=?∫vD·EdVWe=?∫v??dVq=?
(4?r3/3)E=q/4??0r2dV功=广义坐标×广义力表面张力面积压强转矩机械力广义力体积
角度长度广义坐标yxP(x,y)-?+?(-b,0)(b,0)r1r2r1z?P
????E=-—ex-—ey?x?xxy-?+?xy-
?+?yxohh-?+?yxohhbb-?+?h2=a2+b2da1a2da1a2
h1h2bb-?+?b2=h12-a12b2=h22-a22d=h1+h21’
12’2r2’r2r1’r1yx2hcP1’12’
2r2’r2r1’r1yx2hcP该线电位+qh?+q-q?=0??+q-q?
?hhE+E-ExP?+q-qoxy∞∞abq?+q-q+q-qaabb?
d?1?2d?1d?2dqq’qq”E1tE1n?rrPPE2tE2n?r线性介质
的介电常数D=?0E+P=?0E+??0E=(?0+??0)E=?E?=?0(1+?)
=?0?r∮S?E·dS=q或∮SE·dS=q/??r>1
qE=———r04??r2q
?=———4??r高斯通量定理EPDR1R2△R2
rE?rR1R2△R2rE?rra?1?2P(0,-b)(0,b)-??由例1-1
?E1(r)=———e?12??0?
??1=———ln?p/?12??0-?
E2(r)=———e?22??0?-??2=———
ln?p/?22??0S=2??Hq=H?ES=q/?0积分形式的静电场基本方程：∮lE·dl≡0∮SD·dS=q=∫v’?dV’D=?E∮lE·dl=∫s▽×E·dS≡0▽×E≡0▽×▽?≡0∮sD·dS=∫v▽·DdV=∫v’?dV’▽·D=?微分形式的静电场基本方程▽×E≡0▽·D=?静电场的基本方程·分界面上的衔接条件dlSVV’E1E2E1nE1tE2nE2t△l2△l1?1?2?1?2?1?2PPD2D1△l?1?2E1t△l1–E2t△l1=0E1t=E2tD2n–D1n=?分界面上的衔接条件–D1n△S+D2n△S=?△S+(?1+?2)△V/2D1=?1ED2=?2E?1=?1?2=?2E1sin?1=E2sin?2?1E1cos?1=?2E2con?2tg?1/tg?2=?1/?2线性xydoU0?d2?▽2?=——=-?/?0dx2?=-?x2/?0+Bx+Cx=0,?=0;x=d,?=U0?=-?x2/2?0+(U0/d+?d/2?0)xE=-▽?=(-d?/dx)ex=[?x2/?0-(U0/d+?d/2?0)]ex1dd?——(——)=0rdrdrR1R2U0?(r)=Alnr+Br=R1,?=0;r=R2,?=U0?(r)=U0ln(r/R1)/ln(R2/R1)E={-U0/[rln(R2/R1)]}r0在导体表面D=?r=R1,?(R1)=-?U0/[R1ln(R2/R1)]r=R2,?(R2)=+?U0/[R2ln(R2/R1)]yxy=bx=a?=0?=0?=0?=V0QW=q?E·dlPPEfdlQQUPQ=W/q=?E·dlPQUPQ=W/q=?E·dlPQqqQdr=?———erdl=——?—P4??0r24??0Pr2q11=——(—-—)4??0rPrQQ?P=?E·dlPQ?Q=?E·dl=0Q∞?P=?E·dlP电位参考点（如Q点）则P点电位为：Q点电位为零QQ=?E·dl-?E·dlP1P2P2QP2UP1P2=?E·dl=?E·dl+?E·dlP1P1Q=?1-?2点电荷电位：q?=———4pe0r-▽(1/R)radrzaoPds=2?rdr(E=-▽?)EE''EE++++----+_+_+_+_+-+-+-+-E+-Pr1rr2dq11?=———(—-—)4??0r1r2qr2-r1=———(——)4??0r1r2r2-r1≈dcos?r2r1≈r2dxyz?qdcos?p·r0?=———=———4??0r24??0r2极化：非极性分子：正负电荷的作用中心位移极性分子：电矩方向转向极化强度：P=lim∑p/△V（库仑/米2）△V→0P=??0E?---极化率1P(r'')·r-r''?(r)=——∫V''————dV''4??0|r-r''|2|r-r''|1P(r'')·R0=——∫V''————dV''4??0R2R011——=▽''—=-▽—R2RR▽·(?A)=A·▽?+?▽·A令A=P(r'')?=1/R11?(r)=——∫V''P(r'')·▽''—dV''4??0R1▽''·P(r'')?(r)=——∫V''-————dV''4??0R1P(r'')+——∫V''▽''·——dV''4??0R1▽''·P(r'')?(r)=——∫V''-————dV''4??0R1P(r'')+——∮S''———·endS''4??0Ren是闭合面S''的外法线方向的单位矢量?p=-▽·P?p=P·en(qp)t=∫V''-▽''·PdV''+∮S''P·endS''=0极化电荷的体密度、面密度与P1?p(r'')?p(r'')?(r)=——[∫V''———dV''+∮S''——·endS'']4??0|r-r''||r-r''|1?p(r-r'')?p(r-r'')E(r)=——[∫V''———dV''+∮S''———·endS'']4??0|r-r''|3|r-r''|3电介质强度(击穿场强)----绝缘性能极化电荷的电场qr0·r0qq∮SE·dS=∮S———dS=———∮SdS=—4??0r24??0r2?0nnnq∮SE·dS=∮S(∑Ek)·dS=∑∮SEk·dS=∑—k=1k=1k=1?0∮SE·dS=∫dq/?0点电荷的场S1q1S2q2S3q3S∮SE·dS=(q+qp)/?0q=q1+q2+q3?p=-▽·P?p=P·en△x=?cos(s,x)?Sv?tv?tcos??vndlA∮LF·dl=idx+jdy+kdz根据斯托克斯定理?Az?AY=∫S[（——-——）dydz?y?z?Ax?Az+（——-——）dydz?z?x?Ay?Ax+（——-——）dydz]?x?yijk▽×A=?∕?x?∕?y?∕?zAXAYAZ场论静电场:相对于观察者静止的，且其电量不随时间而变的电荷所引起的电场试体qt:电场的特性-----电荷受力，电量少，体积小（点电荷）[E]=库仑/(法拉/米)米2=库仑/法拉米=伏特/米(V/m)qE（r）=————er4pe0r2qr-r''qE(x,y,z)=——————=———R04pe0|r-r''|2r-r''4pe0R2点电荷的电场强度DV→0DS→0Dl→0Oz?dE2dE1dEr?PRdqdq-z''z''adaxEn?oarRPdE1dE2er?P''(a,?'',?'')参见P322?a2sin?''d?''d?a2=r2+R2-2rRcos?R2=r2+a2-2racos?''cos?=（r2+R2-a2)/2rRcos?''=（r2+a2-R2)/2rasin?''d?''=-d(cos?'')=RdR/ra?''=0R=r-a?''=?R=r+a对上式求导集中参数---电路磁路空间坐标的函数---电磁场EOP首尾标量：只有大小而没有方向的量（体积、温度、电量）矢量：既有大又有方向的量（相对空间而言）（力、速度、电场强度、磁感应强度）ABABC=A+BAC=B+AB交换律：A+B=B+AABA+BC(A+B)+CABCA+(B+C)B+CAB-BA-BA+(-B)ABA-BABAB?C=ABsin?ACBA-CB |
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