扇形执教教师：侯爱丽天津市滨海新区塘沽紫云小学指导教师：张玉芹天津市滨海新区塘沽紫云小学[课程内容]人教版六年级上册第75页及练习十六
配套练习。[教学目标]结合图示直观认识扇形、圆心角和弧，掌握扇形的一些基本特征，并能对扇形进行判断。经历从生活实例中抽象出扇形的过
程，建立图形表象，体会扇形和圆的关系，发展空间观念。感受数学知识间的联系，提高学习数学的兴趣。[教学重难点]结合图示直观认识扇形、
圆心角和弧，掌握扇形的一些基本特征，并能对扇形进行判断。经历从生活实例中抽象出扇形的过程，建立图形表象，体会扇形和圆的关系，发展空
间观念。[脚本正文]一、回顾旧知，揭示课题首先来回顾一下本单元已经学过的有关圆的一些知识。在一个圆中，圆心一般用字母O表示，连接圆
心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。在同一个圆中，直径和半
径的关系可以表示为d=2r,r=d。在此基础上，我们学习了圆的周长的计算方法，C=πd或C=2πr，以及圆的面积的计算方法，S=π
r2。在计算圆的周长或面积时，都要用到圆周率π，它是一个无限不循环小数，在题目中无特殊要求时，通常计算中π取3.14。这节课我们继
续来认识扇形。二、探究特征，认识扇形（一）结合生活，激发兴趣先来欣赏几幅图片。折扇、扇贝、扇形藻，这些物体的名称都含有“扇”字。那
么什么是扇形呢？（二）学习扇形的定义，掌握扇形的特征如图所示，在圆上任取A、B两点，那么圆上A、B两点之间的部分就叫做弧。像图中红
色线的这条弧，它的两个端点是A和B，因此这条弧可以读作“弧AB”。将圆心O与弧的两个端点A点和B点分别连接起来，线段OA和线段OB
是圆的两条半径。在图中我们可以看到线段OA、OB以及弧AB围出了一个封闭图形。像这样的一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形
，叫做扇形。扇形中两条半径之间还有一个角，即∠AOB，像∠AOB这样顶点在圆心的角叫做圆心角。初步认识了扇形之后，我们再来观察一下
，一个扇形中都包含些什么呢？在围成扇形的线中，包括两条直直的线段，是扇形所在圆的两条半径，因此它们的长度也是相等的。还有一条曲线，
它是扇形所在圆上的一部分，叫做弧。扇形中还包括一个圆心角，它以扇形所在圆的圆心为角的顶点，以扇形的两条半径为角的两边。接下来我们通
过一些练习来加深对这些概念的理解。先来看第一组，选一选下面图形中哪些角是圆心角。根据定义，圆心角是指顶点在圆心的角，我们可以根据这
条标准来判断一个角是不是圆心角。第一个图形中，角的顶点就在圆心，因此它是一个圆心角。第二个图形中，角的顶点不在圆心，所以不是圆心角
。第三个图形，角的顶点也不在圆心，它其实在圆上，所以也不是圆心角。最后一个图形，角的顶点在圆心，所以它是圆心角。在选出圆心角的同时
，同学们是不是看到了包含这个圆心角的扇形了呢？我们继续来看，下面图中的涂色部分哪些是扇形？根据扇形的定义，一条弧和经过这条弧两端的
两条半径所围成的图形叫做扇形。第一幅图，这两条线段并不是圆的半径，所以这个图形不是扇形。第二幅图，它满足是由一条弧和经过这条弧两端
的两条半径所围成的图形，因此它是扇形。第三幅图，我们来观察一下，这个圆其实是根据现在红色的这条线段为半径所画出的，显而易见，另外一
条线段并不是圆的半径，同时这条曲线也不是现在这个圆上的弧，所以这个图形不是扇形。那么最后一幅图是不是扇形呢？我们同样可以根据概念来
判断，它也是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，因此它是一个扇形。在选出扇形的同时，我们也可以找到在扇形中所包含的圆心
角。借助于圆的帮助，我们可以很方便地判断一个图形是不是扇形。那么如果没有圆的情况呢，请同学们来看一看，下面的这些图形是扇形吗？我们
来对比一下这三幅图，图中线段的长都是3厘米，夹角都是90°。不同的地方在于这三幅图中的曲线的形态是各不相同的，那么它们到底都是不是
扇形呢？同学们，你们是怎样思考这个问题的呢？刚刚提到了圆能够帮助我们方便地判断一个图形是不是扇形。当图中没有圆的时候，我们就可以请
圆规来帮忙画圆。以第一幅图为例，我们可以以角的顶点为圆心，以一条线段的长，也就是3厘米为半径，借助圆规来画圆。当从A点画到B点时，
同学们是不是已经发现问题的所在了呢？如果我们继续把整个圆都画出来，相信此时同学们已经能够看出，原本图形的这条曲线并不在这个圆上。同
样的方法，我们可以在第二幅图、第三幅图中都画出圆，这样借助于圆的帮助，我们可以发现。只有图二是满足扇形的定义的，一和三都不是扇形。
借助于圆，不仅能够帮助我们判断一个图形是不是扇形，还可以帮助我们画一个扇形。比如画一个半径2厘米，圆心角60°的扇形，该怎样画呢？
我们可以首先画一个半径2厘米的圆，圆心记做点O，接着画出圆的一条半径OA，以圆心O为顶点，以线段OA为一条边，画60°角，角的另外
一条边与圆的交点可以记作点B。这样由线段OA和线段OB以及弧AB所围成的图形，就是我们要画的扇形了。同学们你们学会了吗？希望大家在
课后利用这样的方法尝试画更多的扇形出来。（三）探究影响扇形大小的因素刚刚我们见到了不同样子的扇形。再来想一个问题，扇形的大小和什么
有关呢？首先我们来看一看，在同一个圆中，扇形的大小和什么有关呢？请同学们仔细观察。在扇形慢慢变大的过程中，圆心角的大小也在慢慢变化
。可以说扇形的大小和圆心角的大小是紧密相关的。圆心角越大，扇形就会越大。我们截取在刚刚的变化过程中不同时期的扇形再来对比观察一下，
在同圆或等圆中，扇形的大小与圆心角的大小紧密相关。与此相类似的，扇形中所包含的弧的长短，也与圆心角的大小紧密相关。如果是在大小不同
的圆中又会怎样呢？如图所示，尽管这两个扇形的圆心角都是90°，但由于扇形所在圆的半径不相同，因此这两个扇形的大小也不相同。所以扇形
的大小不仅与圆心角的大小紧密相关，也与所在圆的半径大小有关。这个结论同样适用于扇形中所包含的弧长。既然弧的长短与圆心角的大小有关，
那我们来看两种特殊的情况，以半圆为弧的扇形的圆心角是多少度？以圆为弧的扇形呢？我们先来看左边这幅图，以半圆为弧的扇形，如图所示，其
实就是我们以前所说的半圆，因此它所包含的圆心角就是周角的一半，是180°。再来看右边以圆为弧的扇形，如图所示，它的大小其实就是整圆
大小的。因此它所包含的圆心角的大小，也就是周角360°的，也就是90°。三、巩固练习，应用新知在进一步认识了扇形的这些特征之后，我
们应用今天所学的知识来完成一些练习。先来看一组判断。下面的说法正确吗？第一小题圆的一部分就是扇形。像这样的圆上的一条弧也是圆的一部
分，它并不是扇形，所以这个说法是错误的。第二小题，顶点在圆心的角叫做圆心角，根据圆心角的定义，这句话是正确的。第三小题，圆心角越大
的扇形就越大。在刚刚我们已经讨论过了，扇形的大小不仅与圆心角的大小紧密相关，也与所在圆的半径大小有关。只有在同圆或等圆中，也就是半
径相等的情况下，圆心角越大的扇形才会越大。因此第三小题这个说法也是错误的。第四小题，用四个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个
圆。诚然，四个90°的角一定可以拼成一个周角。但是如果是四个圆心角都是90°的扇形，也许会拼成像这样的图形。同学们，你们发现问题的
所在了吗？只有半径相等的情况下，四个圆心角都是90°的扇形才会拼成一个圆，因此这个说法也是错误的。相信通过这一组判断能够帮助同学们
更好的理解扇形。接着我们来求一求下面这个扇形的周长和面积，请同学们先自己来试着算一算吧。（停顿）好，我们一起来看一看。在这个扇形中
，圆心角是90°，这说明这个扇形的大小是整个圆大小的。首先我们来看一看它的周长，同样的可以描出这个扇形的周长，来感受一下它的周长是
由哪几部分构成的。扇形的周长是由两条半径的长度和弧的长度共同组成的。在这个扇形中，弧长就是圆周长的，根据圆的半径是6厘米，利用C=
2πr，我们可以列式2×3.14×6求圆的周长，再乘就是弧长了。在此基础上再加上两条半径的长度，就是整个扇形的周长了，等于21.4
2厘米。再来看这个扇形的面积。这个扇形所占平面的大小就是它的面积。如图所示，我们可以很直观地看到，它其实就是圆面积的。因此根据圆面
积的计算方法，S=πr2，列式为3.14乘62，再乘，就是这个扇形的面积了。结果等于28.26平方厘米。最后完成答话，同学们你们算
对了吗？接下来，我们来看求涂色部分面积。图中有哪些我们学过的平面图形呢？有一个大小是圆的扇形，还有一个等腰直角三角形。所要求的的涂
色部分的面积就是这两部分的面积差。因此，可以利用3.14×102×求出扇形的面积是78.5cm2，再利用×10×10求三角形的面积
，等于50cm2，涂色部分的面积就是二者求差，等于28.5平方厘米。再来看一道复杂些的求涂色部分面积的问题。在图中可以看到一个等腰
直角三角形，还有两个半圆，这一次涂色部分的面积又该怎样求呢？（停顿）我们可以先像这样添加上辅助线，现在这两条线段其实就是圆的半径，
长度为4cm。现在来观察一下，有什么发现吗？涂色部分可以看做四个完全相同的图形，每个都像这样（动画演示）是扇形与三角形的面积差。因
此第一种方法，我们可以先求出一个的面积，再乘4就是整个涂色部分的面积了。先利用8÷2求圆的半径，再利用3.14×42×求扇形面积，
等于12.56平方厘米，再用×4×4求三角形的面积，等于8平方厘米，因此12.56-8的差再乘4，就是涂色部分的面积了，等于18.
24平方厘米。还可以怎样思考呢？如果沿这条辅助线对图形进行拆分，可以得到两个完全一样的图形，也就是半圆中包括一个三角形的情况。在一
个半圆中，涂色部分就是半圆面积减三角形的面积，再乘2就是这个涂色部分的面积了。同样，先求出半径是4cm，用3.14×42×求半圆面
积，等于25.12cm2，再用×8×4求三角形的面积，等于16cm2，因此25.12-16的差再乘2，就是涂色部分的面积了。还可以
怎样思考呢？如果把刚刚的两个半圆通过旋转平移，拼一拼，有什么新的发现？它其实就是我们上节课学过的外圆内方的问题。由已知可知，圆的直
径是8cm，半径是4cm。因此，第三种方法，就是直接求外圆内方问题中，圆与正方形之间部分的面积。乘8乘4的积，再乘2，求出正方形的
面积是32平方厘米，圆的面积可以列式为3.14×42，等于50.24平方厘米，再用50.24-32就是涂色部分的面积了，最终等于1
8.24平方厘米，完成答话。在解决图形问题时，利用转化的方法往往可以使复杂的问题变得简单。同学们，你在生活中见过这些图案吗？像下面
这样的一个圆环，被截得的部分叫做扇环。你能求出下面各扇环的面积吗？先来看左边这幅图，根据圆心角是90°，与扇形相类似的，这个扇环的
面积其实是整个圆环面积的。因此根据外圆半径是5分米，环宽是2分米，可以先求出内圆半径是3分米，这样我们可以利用3.14乘52减32
的差，先求出整个圆环的面积，再乘，就是要求的扇环的面积了。经过计算，等于12.56平方分米，完成答话。再来看第二幅图，这幅图中圆心
角依然是90°，它有两个这样的扇环，如果我们像这样（动画演示）进行一下转化，那么这个扇环的面积其实是整个圆环面积的一半。同样的，根据外圆半径是4分米，环宽是1分米，我们可以先求出内圆半径是3分米，接着利用3.14乘42减32的差求圆环的面积，再乘，就是这个扇环的面积了，最后等于10.99平方分米，完成答话。四、归纳反思，总结全课最后我们来进行一下回顾与反思。在本节课中，我们主要认识了什么是扇形。像这样的一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，就叫做扇形。扇形中有一个圆心角，在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小紧密相关。除此之外，不同的圆中我们还要考虑半径的大小的影响。最后，请同学们应用今天所学的知识，完成以下自我挑战。 |
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