圆环的面积[课程内容]人教版六年级上册第68页例2及练习十五配套练习。[教学目标]认识圆环的形状特征，掌握圆环的面积的计算方法，能够正确计
算圆环的面积。在探究圆环面积计算方法的过程中，培养观察能力、想象能力和动手操作能力，进一步发展空间观念。感受数学与生活的联系，提高
学习数学兴趣。[教学重难点]在探究圆环面积计算方法的过程中，培养观察能力、想象能力和动手操作能力，进一步发展空间观念。[脚本正文]
一、回顾旧知，揭示课题首先我们来回顾一下上节课所学的内容。上节课我们学习了圆的面积，利用剪拼法，我们将圆转化成了近似的长方形，从而
得出了圆面积的计算方法，S=πr2。这节课我们将继续来学习圆环的面积。提到圆环，同学们想一想，在生活中你在哪些地方见过圆环呢？比如
，汽车的轮胎上、救生圈上、光盘上、透明胶带上，再比如像钢管的横截面，像射箭的箭靶等等，生活中许多地方都可以见到圆环。认识圆环，探究
圆环面积的计算方法（一）认识圆环的形状特征那么究竟什么是圆环呢？像这样的，两个半径不相等的同心圆之间的部分就是圆环，其中较大的圆称
为外圆，它的半径用大写字母R来表示，较小的圆称为内圆，它的半径用小写字母r来表示。圆环就是外圆和内圆这两个同心圆之间的部分，外圆半
径减去内圆半径，就是圆环的宽度，简称环宽。因此环宽等于外圆半径减内圆半径。那么怎样在一张圆形纸上剪出一个圆环？我们可以选择和已知圆
相同的圆心位置，再画一个较小的圆，把这个较小的圆剪掉，剩余部分就是一个圆环了。再来想一想，如果把圆环从中间对折，会出现什么情况呢？
像这样把圆环从中间对折，两边可以完全重合。因此圆环是轴对称图形。除了横着对折，也可以竖着对折。从图中可以看出，圆环的对称轴经过了外
圆和内圆共同的圆心。由于圆环是由两个同心圆组成的，而圆有无数条对称轴，因此圆环也有无数条对称轴。在认识了圆环这些形状特征之后，请同
学们来选一选，下面哪个图形是圆环？（停顿）圆环是由两个同心圆组成的，因此B选项是正确的。（二）探究圆环面积的计算方法接下来我们来看
一个实际问题，光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米。圆环的面积是多少？由已知信息可以知道，我们要求的就是像
这样的一个圆环的面积。该怎样计算一个圆环的面积呢？同学们有什么好办法吗？想象一下刚才从一张圆形纸上剪出圆环的过程。为了计算这个圆环
的面积，我们可以先求出外圆的面积，再从外圆的面积中减掉内圆的面积，就是圆环的面积了。因此根据圆面积的计算公式S=πr2，我们可以用
3.14×62来求外圆的面积，用3.14×22来求内圆的面积，二者求差就是圆环的面积了。在计算时请同学们注意，在这个算式中，平方运
算的运算级比较高，因此要先计算平方，62=6×6=36，22=2×2=4。因此这个算式等于3.14×36-3.14×4，继续计算，
求出圆环的面积是100.48平方厘米。完成答话。这是计算圆环面积的一种方法。我们再回顾一下这个算式。如果从简便运算的角度考虑，同学
们有什么发现吗？是的，这个算式符合乘法分配律的逆向运用。因此我们可以把相同的因数3.14提取出来，这个算式可以写作3.14乘62减
22的差。这就是计算圆环面积的第二种方法。在计算时同样要注意，要先算平方，因此等于3.14乘36减4的差，等于3.14乘32，等于
100.48平方厘米。对比方法二，我们来思考一下，如果用3.14乘6减2的差的平方来计算圆环的面积，可以吗？我们对比一下这两个算式
之间的区别。在方法二中是3.14乘62减22的差，括号中是先算平方再求差。而在这个算式中，是3.14乘6减2的差的平方，是先求差再
平方。这两个算式是相等的吗？同学们是怎样思考这个问题的呢？我们可以先通过计算来验证一下，3.14乘6减2的差的平方，等于3.14乘
42，等于3.14乘16，等于50.24平方厘米。显然和我们刚刚求出的圆环面积是不相等的，说明这两个算式并不相等。我们再从它的实际
含义上来了解一下这两个算式之间的区别。首先我们来看左边。3.14乘62减22的差，来源于3.14×62-3.14×22，它表示的就
是从半径6厘米的外圆面积中，减掉半径2厘米的内圆面积，剩余部分就是圆环的面积了。再来看右边3.14乘6减2的差的平方，其实就等于3
.14乘42，表示的是从6厘米的线段中减掉2厘米的线段，所剩是4厘米的线段。而3.14乘42就表示以4厘米为半径的圆的面积。现在同
学们可以体会到这二者之间的区别了吗？因此在计算像这样62减22的运算时，请同学们要小心，一定要先算平方再求差，而不能先求差再平方，
二者是不相等的。好了，回归到我们本道解决问题上来，我们有两种方法可以求圆环的面积。第一种方法就是直接利用外圆的面积减内圆的面积。第
二种方法就是根据乘法分配律，将相同的因数3.14提取出来，先将除3.14以外的部分进行运算，再和3.14运算。这样计算比较简便。我
们来总结一下圆环面积的计算方法。圆环的面积就等于外圆面积减内圆面积，用字母可以表示为S圆环=S外圆-S内圆，如果用大写字母R来表示
外圆的半径，用小写字母r来表示内圆的半径，圆环的面积也可以写作π×R2-π×r2。根据乘法分配率，我们也可以将相同的因数π提取出来
，写作π乘R2减r2的差。在这样两种计算圆环面积的方法中，通过观察可以知道，只要已知外圆半径和内圆半径，我们就可以求圆环的面积了。
在实际计算时，利用下面这个方法能够使计算更为简便。三、巩固练习，应用新知接下来我们利用刚刚总结的圆环面积的计算方法，来试着计算下面
圆环的面积。请同学们先自己来试一试吧。根据S圆环等于π乘R2减r2的差，可以列式3.14乘122减82的差，计算时同样还是要先算括
号中的平方运算，因此等于3.14乘144减64的差，就等于3.14乘80，等于251.2平方厘米。完成答话。同学们，你们算对了吗？
再来看一个实际问题。一个圆形环岛的直径是50米，中间是一个直径为10米的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？如图所示，
我们可以知道，代表草坪的绿色部分其实就是一个圆环，因此求草坪的占地面积，就是求圆环的面积。由于题目中已知的是外圆和内圆的直径，因此
我们要先分别求出外圆和内圆的半径，再利用3.14乘252减52的差，来求圆环的面积。完成计算，等于1884平方米，最后完成答话。再
来看一个问题。一个圆形喷水池的直径是8米，在它的周围铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少？同学们，你能根据题目中的描述画出示意
图吗？（停顿）根据题意，有一个圆形喷水池，它的直径是8米，在它的周围有一米宽的小路，因此要求的小路的面积其实就是一个圆环的面积。根
据已知，喷水池的直径是8米，就可以求出它的半径是4米。如图所示，也就是这个圆环的内圆半径是4米。如果想要求这个圆环的面积，我们还需
要知道什么信息呢？对了，还需要知道外圆的半径。在图中我们可以直观地看到，外圆的半径其实就等于内圆的半径加上环宽，因此外圆的半径就是
5米。接下来根据3.14乘52减42的差，就可以求圆环的面积了。完成计算，圆环的面积是28.26平方米，也就是这条小路的面积是28
.26平方米。接下来我们再来看这样一个问题，左图中的大圆半径等于小圆的直径，请你求出阴影部分的面积。如图所示，阴影部分并不是一个圆
环，该怎样求它的面积呢？与我们研究圆环面积的方法相类似，我们还是可以先求出大圆的面积，再从中减掉小圆的面积，剩余的就是阴影部分的面
积了。根据已知，大圆的半径是6厘米，小圆的直径也是6厘米，所以先利用6÷2求出小圆的半径是3厘米。利用3.14乘62求大圆面积，再
利用3.14乘32求小圆面积，两者求差就是阴影部分的面积了。完成计算，最后等于84.78平方厘米，这就是阴影部分的面积了。在解决完
这个问题后，我们回过头来再来观察这个算式。同学们，对比一下圆环面积的计算方法，你有什么发现吗？是的，它其实就是π×R2-π×r2。
根据我们所学的圆环面积的计算方法，它还可以表示成π（R2-r2）。因此除了这种方法以外，我们也可以直接用3.14乘62减32的差，
来求阴影部分的面积。完成计算，同样是84.78平方厘米。从这个问题中我们发现，虽然这幅图中的阴影部分不是圆环，但是求阴影部分面积的
方法，和求圆环面积的方法是一样的。其实像这样的，从大圆中挖去一个小圆，求剩余部分面积的问题，无论这个小圆在什么位置上，都可以利用大
圆面积减小圆面积，求剩余部分的面积。因此它的计算方法和圆环面积的计算方法是相同的。再来看这样一个求半圆环的周长和面积的问题。我们先
来看一看它的周长。同样的，可以先描一描它的周长，在描的过程中感受一下它的周长是由哪几部分构成的。如图所示，这个半圆环的周长包括外圆
周长的一半和内圆周长的一半，还有有两个环宽。在计算它的周长时，我们可以利用外圆直径减内圆直径，先求两个环宽的长度和。再利用圆周长的
计算方法，列式3.14×12×求外圆周长的一半，再加上3.14×8×，求内圆周长的一半，最后加上刚刚求出的两个环宽的长度，就是整
个半圆环的周长了。完成计算，最后等于35.4厘米。再来看它的面积，这个半圆环的面积其实就是圆环面积的一半。由于题目中已知的是外圆和
内圆的直径，所以我们要分别求出外圆和内圆的半径，再利用3.14乘62减42的差来求圆环的面积，再乘就是半圆环的面积了。完成计算，这
个半圆环的面积是31.4平方厘米。完成答话。最后，我们来看这道题。土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，被列入世界物质文化名录。土
楼的外围形状有圆形、方形、椭圆形等，有两座地面是圆环形的土楼，其中一座外直径是34米，内直径是14米，另一座外直径是26米，内直径
也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少？在了解了有关土楼的知识之后，我们来提炼一下题目中的已知信息和问题。首先这两座土楼都是圆
环形的，并提供了这两个圆环的相关数据。而要求的问题，两座土楼的房屋占地面积相差多少，其实就是求这两个圆环的面积相差多少。我们可以用
图示来表示题目中提到的相关数据，要求的就是这样两个圆环的面积相差多少，同学们自己先来试一试解决这个问题吧。我们来分享两种解决这个问
题的方法。第一种方法，既然要求两个圆环面积相差多少，我们就可以先分别求出两个圆环的面积。先来看左边这个较大的圆环，根据外圆直径是3
4米，求出外圆半径是17米，根据内圆直径是14米，求出内圆半径是7米，再利用3.14乘172减72的差，就可以求该圆环的面积了，最
后等于753.6平方米。再来看第二个圆环。同样的，根据外圆直径是26米，求出它的半径是13米，它的内圆直径也是14米，所以半径也是
7米，这在前边已经求过了，这里就不重复列算式了。接下来利用3.14乘132减72的差，求出这个圆环的面积是376.8平方米。最后利
用753.6-376.8，就可以求出这两个圆环的面积相差376.8平方米，完成答话。这种方法普遍适合于求任何两个圆环面积相差多少的
问题。而针对这道题，其实还有另外一种方法，这和它们的形状特征密切相关。同学们再来观察这两个圆环，它们有什么相同的地方吗？相信同学们
已经发现了，这两个圆环的内圆大小是完全相同的。如果我们把两个圆环重合到一起，它们的内圆可以完全重合，而外圆的大小是有所不同的。因此
要求这两个圆环的面积差，其实就是求红色部分的圆环的面积，在这个圆环中，外圆直径是34米，它的半径就是17米，内圆直径是26米，它的半径是13米。所以红色部分圆环的面积可以列式为3.14乘172减132的差，完成计算，这个红色圆环的面积就是376.8平方米，和方法一的结果是相同的。四、回顾反思，全课总结最后我们对本节课的学习进行一下回顾与反思。首先我们认识了什么是圆环，两个半径不相等的同心圆之间的部分就是圆环。在此基础上，我们学习了圆环面积的计算方法。圆环的面积等于外圆面积减内圆面积，根据圆面积的计算方法，可以表示为π×R2-π×r2，还可以根据乘法分配律将π提取出来。这就是我们本节课所要学习的所有知识了。请同学们根据这节课的学习，完成以下自我挑战。 |
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