第2章时域离散信号和系统的频域分析本章主要内容序列的傅里叶变换傅里叶变换的主要性质序列的Z变换Z变换的主要性质利用Z变换解差分方程利用
Z变换分析信号和系统的频率响应2.1引言信号与系统的分析方法:时域分析变换域分析（本课介绍频域分析）连续时间信号与系统信号用时
间t的函数表示系统用微分方程描述离散时间信号与系统信号用序列表示系统用差分方程描述时域与频域分析傅里叶变换时间域频率域(
复频域)连续时间信号与系统推广拉普拉斯变换离散时间傅里叶变换时间域频率域(复频域)离散时间信号与系统推广Z变换2.2
序列的傅里叶变换序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的性质周期序列的傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换2.2.1时域离散
信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为:（2.2.1）FT［x(n)］存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和（
2.2.2）X(ejω)的傅里叶反变换为（2.2.3）n为离散域，ω为连续域【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求
x(n)的傅里叶变换。解（2.2.4）当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图2.2.1所示。图2.2.1R4(
n)的幅度与相位曲线2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1．FT的周期性(2.2.5)观察上式，得到傅里叶变换是频率
ω的周期函数，周期是2π。由FT的周期性进一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的频谱分布应是相同的（M取整数），在ω=0，±2π
,±4π,点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2π为周期，那么最高的频率应是ω=π。一般只分析
【－π~＋π】之间或0~2π范围的FT就够了。2．线性设X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x
2(n)］,那么(2.2.6)式中,a，b是常数。3．时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］,那么FT[x(n-
n0)]=e-jwn0X(ejw)(2.2.7)(2.2.8)4．FT的对称性共轭对称序列共轭反对称序列共轭对称与共轭反对称
序列的表示频域函数共轭对称与共轭反对称序列的表示实因果序列h(n)的对称性共轭对称序列设序列xe(n)满足下式：（2.2.9）
则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示：将上式两边n用－n代替，并取共轭，
得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇
函数。共轭反对称序列满足下式的序列称为共轭反对称序列：（2.2.12）将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：可以得到：（2.
2.13）（2.2.14）即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。【例2.2.2】试分析x(n)=ejωm的对称
性。解:因为x(－n)=ejωn=x(n)满足(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到
：x(n)=cosωn+jsinωn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。任意序列的共轭对称与共轭反对称
分量一般序列可用其共轭对称与共轭反对称分量之和表示，即（2.2.15）将（2.2.15）式中的n用－n代替，再取共轭,得到：
（2.2.16）利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面两式，可以用x(n)
分别求出其xe(n)和xo(n)。（2.2.22）（2.2.23）Xe(ejω)、Xo(ejω)的表示，ω连续域对于频域函数
X(ejω)，也有和上面类似的概念和结论：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（2.2.19）Xe(ejω)为共轭对称部
分（函数），Xo(ejω)共轭反对称部分（函数）它们满足：（2.2.20）（2.2.21）同样有下面公式成立：+FT的共轭对成
性(1)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行傅里叶变换，得到:
X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)式中式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。Xe(ejω)具有共轭对称性
，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；Xo(ejω)具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。最后得到结论：序列分成实
部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。(2)将序列分成共轭对称部
分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2
.2.24)将（2.2.17）和（2.2.18）式重写如下：将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：因此（2.2.24）式的FT为（2
.2.25）实因果序列h(n)的频谱的对称性因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。
因此实序列的FT是共轭对称函数,其实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为显然，其模：偶函数相位函数：奇函数这和实模拟
信号的FT有同样的结论。实因果序列h(n)的对称性按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因为h(n)是实因果序列，he(
n)和ho(n)可用下式表示：（2.2.27）（2.2.26）实因果序列h(n)的对称性实因果序列h(n)可以分别用he(
n)和ho(n)表示为（2.2.28）（2.2.29）式中（2.2.30）因为h(n)是实序列，上面公式中he(n)是
偶函数，ho(n)是奇函数。按照（2.2.28）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，但按照（2.2.29）式，ho(n)中缺少n=0
点h(n)的信息。因此由ho(n)恢复h(n)时，要补充一点h(h)δ(n)信息。实因果序列h(n)的FT对称性总结共轭对称
序列、函数共轭反对称序列、函数一般序列与共轭对称与共轭反对称序列的关系实因果序列h(n)（2.2.27）（2.2.26）【例
2.2.3】x(n)=anu(n),0按（2.2.26）式，得到：图2.2.3例2.2.3图按（2.2.27）式，得到：x(n)、xe(n)和xo(n)波形
如图2.2.3所示。5．时域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)则Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)（2.2
.31）证明令k=n－m，则两序列卷积的FT服从相乘的关系（时域卷积，频域相乘）6．频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n
)则(2.2.32)证明(2.2.33)交换积分与求和的次序：(2.2.34)该定理表明，在时域两序列相乘，频域时服从卷积
关系。7．帕斯维尔（Parseval）定理（2.2.35）证明帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。表2.2.
1序列傅里叶变换的性质定理2.3周期序列的傅里叶级数表示及其FT周期序列定义：周期序列不是绝对可和的，狭义的FT不存在周期
序列的傅里叶级数表示ak:傅里叶级数的系数基频序列:e1(n)k次谐波序列:ek(n)2.3.1周期序列的离散傅里叶级数离
散傅里叶级数只有N个独立谐波分量:且因为复指数序列是k的周期函数所以，周期序列:只取k＝0到N-1的N个独立谐波分量足以表示
原信号周期序列的离散傅里叶级数周期序列离散傅里叶级数正变换(2.3.6)周期序列离散傅里叶级数反变换(2.3.7)【例2
.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，
求DFS［］。解按照（2.3.6）式,有其幅度特性如图2.3.1(b)所示。图2.3.1例2.3.1图2
.3.2周期序列的傅里叶变换在模拟系统中，的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2?，即对于时域
离散系统中的复指数序列，仍假设它的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2?，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期
性，因此的傅里叶变换应写为：假设的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中
第K项即为第K次谐波的傅里叶变换，根据其周期性能够表示为：一般周期序列的傅里叶变换表达式周期序
列由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…以
N为周期，而r变化时，δ函数变化2?r，因此如果让k在(-∞,∞)变化，上式可以简化为上式就是一般周期序列的傅里叶变换表达式。例2
.1：令，为有理数，求其傅里叶变换。解:将用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为上
式表明，余弦信号的傅里叶变换是在处的冲激函数，强度为?，同时以2?为周期进行周期性延拓，如下图所示。对于正弦序列
，为有理数，它的傅里叶变换为2.4的FT与的FT之间的关系理想采样信号：对上式进行傅里叶变换得到
2.4的FT与的FT之间的关系对比时域离散信号x(n)的傅里叶变换：并且在数值上，得到：上式也可以表示成上面三个公式均表示时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系■时域离散信号的频谱也是由模拟信号的频谱周期性延拓形成的，延拓周期是，因此由采样得到x(n)也要满足采样定理，否则也会产生频域混叠现象，频率混叠在附近最严重，在数字域，则是在π附近最严重。模拟频率与数字频率之间的定标关系： |
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