第5章时域离散系统的网络结构本章主要内容网络结构的基本概念IIR系统的基本网络结构FIR系统的基本网络结构、线性相位结构及频率采样结构5
.1引言时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程：（5.1.1）则
其系统函数H(z)为（5.1.2）用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理（运算）网络结构表示具体的算法可以证明H1(z)=H2(z
)=H3(z)，但它们具有不同的结构和算法不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等用网络结构表示具体的算
法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。5.2用信号流图表示网络结构一个时域离散系统或网络可以用差分方程来描述：对应的系统函数
：基本运算单元表示法三种基本运算单元(对应三种基本运算）：加法器（加法）单位延迟器（单位延迟）常数乘法器（乘法）基本的单元两种
表示法：方框图法信号流图法基本运算单元表示法该图中圆点称为节点，输入x(n)的节点称源节点或输入节点，输出y(n)称为吸收节点或
输出节点。每个节点处的信号称节点变量，这样信号流图实际上是由连接节点的一些有方向性的支路构成的。和每个节点连接的有输入支路和输出支
路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。基本信号流图不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图与之相
对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图。（1）信号流图中所有支路都是基本支路，即支路增益是常数或者是z-1；（2）
流图环路中必须存在延迟支路；（3）节点和支路的数目是有限的。基本信号流图举例(5.2.1)图5.2.2信号流图【例5.
2.1】求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。解：图5.2.2(a)信号流图的节点变量方程为式(5.2.1),对
其进行z变换，得：经过联立求解得到：当结构比较复杂时，此方法较麻烦，不如用梅逊(Masson)公式直接写出H(z)方便。网络
结构的分类有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（FiniteImpulseResponse）网络，FIR网络中一般不存在输出对输
入的反馈支路，因此差分方程为：无限长单位脉冲响应网络，简称IIR（InfiniteImpulseResponse）网络。I
IR网络结构存在输出对输入的反馈支路，这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为单位脉冲响应单
位脉冲响应h(n)=anu(n)5.3无限长脉冲响应基本网络结构直接型级联型并联型N阶差分方程重写如下：对应的系统函数为：直接
型设M=N=2图5.3.1IIR网络直接型结构【例5.3.1】设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型
结构。解:由H(z)写出差分方程如下直接型网络结构如右图所示：注：也可以按照H(z)的表达式，用梅逊公式直接画出网络结构。级联
型级联型表示其中，A为常数，和分别表示的零点和极点。是实数或者共轭成对的复数。将共轭成对的零点(极点)放
在一起，形成一个二阶多项式，系数仍为实数，将分子、分母均为实数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络。一阶网络系统函数为：二阶网络
系统函数为：式中多项式系数均为实数。这样，H(z)就分解成了一些一阶或二阶的子系统函数的相乘形式：(5.3.3)其中每个
的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构。?级联型结构图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构级联型结构的特点每一个一
阶网络决定一个零点、一个极点；每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。调整系数、和可以单独调整滤波器第对零点，而
不影响其它零点、极点。调整系数、单独调整滤波器第对极点，而不影响其它零点、极点。相对直接型结构，其优点是调整
方便。级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。【例5.3.2】设系统函数H(z)如下式：试画出其
级联型网络结构。解将H(z)的分子、分母进行因式分解，得到：注意：为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络
，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出级联结构图如上图所示。并联型并联型表示将级联形式的H(z)展开成部分分式形式，则
得到：(5.3.4)式中，通常为一阶或二阶网络，网络系统均为实数，二阶网络的系统函数一般为：其中、、
、均为实数，如果则为一阶网络。由(5.3.4),得输出Y(z)表达式为：并联型结构IIR并联型
网络结构图并联型结构的特点并联结构的可以单独调整极点位置。但不能像级联型那样单独调整零点的位置，因为并联型各子系统的零点，并非整个
系统函数的零点。各并联基本节的误差相互没有影响，不像直接型和级联型有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本节并联，可同时对
输入信号进行运算，因此并联型结构运算速度快。【例5.3.3】画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解将例5.3.2中H
(z)展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构5.4有限长脉冲响应基本网络结构FIR网络结构特点是没有反
馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程分别为：5.4有限长
脉冲响应基本网络结构直接型级联型直接型FIR滤波器的差分方程FIR滤波器的直接型网络结构FIR滤波器的转置结构级联型级联型表示：
将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络就是由一阶或二阶因子构成的级联结构
。级联型结构的特点级联型结构每一个一阶因子控制一个实数零点每一个二阶因子控制一对共轭零点。调整零点位置比直接型方便。但是它所需要的
系数比直接型多，因而需要的乘法器多。【例5.4.1】设FIR网络系统函数H(z)如下式：画出H(z)的直接型结构和级联型结构
。解将H(z)进行因式分解，得到：图5.4.2例5.4.1图5.5FIR系统的线性相位结构滤波器的传输函数为幅频特
性，为相频特性。线性相位特性滤波器的相移和频率成线性关系或线性相位条件如果FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)为实数，
且满足下面公式：则滤波器具有线性相位。当h(n)为偶对称时：h(n)=h(N-1-n)（1）N为奇数当h(n)为偶对称时：h
(n)=h(N-1-n)幅频特性相频特性当h(n)为偶对称时：h(n)=h(N-1-n)网络结构当h(n)为偶对称时：h(
n)=h(N-1-n)（2）N为偶数当h(n)为偶对称时：h(n)=h(N-1-n)幅频特性相频特性当h(n)为偶对称时：
h(n)=h(N-1-n)网络结构当h(n)为奇对称时：h(n)=-h(N-1-n)（1）N为奇数当h(n)为奇对称时：h(n)
=-h(N-1-n)幅频特性相频特性当h(n)为奇对称时：h(n)=-h(N-1-n)网络结构当h(n)为奇对称时：h(n
)=-h(N-1-n)（2）N为偶数当h(n)为奇对称时：h(n)=-h(N-1-n)幅频特性相频特性当h(n)为奇对称时
：h(n)=-h(N-1-n)网络结构而无论N为奇数或是偶数，线性相位结构相比直接型结构都减少了将近一半的乘法运算，也近似节约了
近一半的乘法器。5.6FIR系统的频率采样结构如果频域等间隔采样点数N大于等于原序列长度M，不会引起信号失真，此时原序列的z变
换H(z)和频域采样值H(k)满足下面关系：（5.6.1）设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度M，系统函数H(z)为h(n)
的z变换，则上式中H(k)可以由下式计算：要求频域采样点数N≥M。(5.6.1)提供了一种频率采样的结构，由于通过频域采样得到，不
适用于IIR，只适合FIR。5.6FIR系统的频率采样结构下面进行分析：将式（5.6.1）写成下式：(5.6.2)频率采样的网
络结构网络结构图H(Z)的第一部分：Hc(z)差分方程频率响应幅度响应H(Z)的第一部分：Hc(z)零点分布梳状滤波器有N个
零点，在单位圆上等间隔分布。H(Z)的第一部分：Hc(z)梳状滤波器结构及其幅频特性H(z)的第二部分由N个一阶网络并联而成每个
一阶网络都是一个谐振器，它们在单位圆上各有一个极点这些谐振器的极点正好与梳状滤波器的零点相抵消，从而使这些频率点上的频率响应等于
H(k),保证了网络的稳定性。FIR滤波器的频率取样结构频率采样结构的特点优点（1）在频率采样点处，，这正是乘法器的
系数，只要调整能直接调整频率特性。可以实现任意形状的频响曲线。（2）只要h(n)的长度N相等，对于任意频响形状，除乘法器的系数H
(k)不同外，其梳状滤波器和并联的一阶或二阶网络完全相同，相同的部分便于实现标准化、模块化，各支路增益可做成可编程单元，生产可编程
滤波器频率采样结构的特点缺点（1）所有谐振网络的极点位于单位圆上，系统稳定是靠这些极点与梳状滤波器在单位圆上的零点对消来保证的
。如果滤波器的系数稍有误差，有些极点就不能被零点所抵消，从而导致系统不稳定。（2）所有的系数H(k)和都是复数，复数相乘对硬件实现是不方便的。对频率采样结构的修正将单位圆上的极零点向内收缩到半径为r的圆上，如果由于某种原因，零极点不能抵消时，极点位置仍在单位圆内，保持系统稳定。对频率采样结构的修正将第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数二阶网络，从而将复数乘法运算变成实数运算。N为偶数对频率采样结构的修正N为奇数对频率采样结构的修正修正的FIR滤波器频率采样结构：由一个一阶网络和(N-1)/2个二阶网络结构组成。 |
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