第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计本章主要内容数字滤波器的技术指标与设计方法模拟滤波器设计脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器双线
性变换法设计IIR数字低通滤波器数字高通、带通和带阻滤波器设计IIR数字滤波器的Matlab仿真实现6.1数字滤波器的基
本概念数字滤波器的分类数字滤波器的技术指标数字滤波器的设计方法概述1.数字滤波器的分类数字滤波器：输入输出均为数字信号，通
过数值运算改变信号频率成分的相对比例，或滤除某些频率成分。经典滤波器：根据不同频率成分占据不同频带，完成滤波。现代滤波器：
根据信号的统计特性完成滤波。现代滤波器可分为维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等。经典滤波器可分为：低通滤波器(只允许低
频信号通过而抑制高频信号)高通滤波器(只允许高频信号通过而抑制低频信号)带通滤波器(只允许某一频带的信号通过)带阻滤波器(只
抑制某一频带的信号)四种理想滤波器幅频特性按实现结构或单位脉冲响应长度分为IIR滤波器和FIR滤波器.IIR滤波器：FIR滤波
器：2.数字滤波器的技术指标频率响应函数幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况相频特性反应各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况因此，即使两个滤波器的幅频特性相同，而相频特性不同，相同输入时，输出波形也是不同的。低通滤波器的幅频特性图
6.1.3低通滤波器的幅频特性指示示意图通带阻带低通滤波器的幅频特性通带内允许最大衰减：阻带内允许最小衰减：对于低通滤波器，两
者分别定义为??对于图6.1.3所示的单调下降幅频特性有通带内允许的最大衰减阻带内允许的最小衰减3dB通带截止频率当幅度下降
到时，即下降为0.707,，对应的频率理想滤波器是非因果的，物理上不可实现。为了物理上可实现，
在通带与阻带之间应设置一定宽度的过渡带，并且在通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零。3.
数字滤波器的设计方法概述IIR滤波器的间接设计方法--借助模拟滤波器将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；根据
转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR滤波器的直接设计方法直接在频域或者时域中设计数
字滤波器，由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。FIR滤波器的设计方法FIR滤波器的设计不能通过间接法常用的设计方法:
窗函数法频率采样法切比雪夫等波纹逼近法6.2模拟滤波器的设计模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法巴特沃斯低通滤波器的设计切比雪夫滤
波器的设计设计IIR数字滤波器的频率变换法6.2模拟滤波器的设计常用的模拟滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有
单调下降的幅频特性切比雪夫（Chebyshew）滤波器幅频特性在通带或阻带内有波动,可以提高选择性椭圆（Ellipse）滤波
器在通带和阻带内都有纹波贝塞尔（Bessel）滤波器等通带内有较好的线性相位特性理想模拟滤波器幅频特性6.2.1模拟低
通滤波器的指标及设计模拟滤波器特性表示：、线性常系数微分方程模拟滤波器设计目的：由设计指标求出系统函数
工程常使用指标：损耗函数（衰减函数）损耗函数特点：模拟低通滤波器的设计指标通带截止频率通带最大衰减阻带截止频
率阻带最小衰减3dB截止频率6.2.1模拟低通滤波器的指标及设计模拟滤波器设计路径设计出的必须因果稳定，因此
极点必须落在s的左半平面，的极点就要落在右半平面。幅度平方函数在模拟滤波器设计中起着重要的作用
。6.2.2巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器阶数Ωc为3dB截止频率如图6.2.4所示：幅度
特性随着Ω增加单调下降，下降的速度与阶数N有关。N愈大,通带愈平坦,过渡带愈窄,幅度下降的速度越快,过渡带越窄,过度带与阻带幅度下
降的速度愈快,总的幅频响应特性越与理想低通滤波器的误差愈小。不管N的取值是多少，都经过点。幅度平方函数的极点分布幅度平
方函数有2N个极点这2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是?/Nrad,如下图所示N=3。Ha(s
)的表达式为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)，而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s)，
得到最终设计结果上图6.2.5中设N=3，取左半平面3个极点构成Ha(s)频率归一化（为使设计公式和图表统一）巴特沃斯滤波器将
所有的频率对Ωc归一化，归一化频率：归一化后的系统函数为：由得巴特沃斯归一化低通原型系统函数：巴特沃斯归一化低通滤波器参数将
上述归一化原型系统函数的分母统一制成表6.2.1，这样设计时只要求出阶数N，查表即得的各项系数，然后用去归一化，既得
到巴特沃斯低通滤波器的系统函数。巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤（1）由给定的技术指标Ωp、αp、Ωs和α
s确定巴特沃斯滤波器的阶数N和频率Ωc。巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤（2）按下式求出归一化极点将pk代入
得到归一化低通原型系统函数，也可根据阶数N直接查表6.2.1得到pk和.巴特沃斯
模拟低通滤波器的设计步骤（3）将归一化。将带入得到实际的滤波器系统函数式中，为3dB截止频率。6.
2.3切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型滤波器；
在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型滤波器。切比雪夫滤波器的幅度平方函数ε是小于1的正数，表示通带内幅度的
波动程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率，频率通常对Ωp归一化切比雪夫滤波器的幅频特性切比雪夫多项式N为切比
雪夫多项式的阶数切比雪夫多项式的递推公式切比雪夫多项式的特性?????????ε的确定设允许的通带纹波为，那么阶数N
的确定切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点其中求得滤波器的极点pk,归一化系统函数?去归一化后得到实际的系统函数。6.2
.4椭圆滤波器椭圆（Elliptic）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，
所以由此取名为椭圆滤波器。(a)?p=1dB,?s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,?p=1,
0.1,0.05dB,?s=10,20,40dB图6.2.10椭圆滤波器幅频响应特性曲线椭圆滤波器的典型幅频
响应特性曲线如图6.2.10所示。由图6.2.10(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹固定时，阶数越高过渡带就越窄；由图6.2.1
0(b)可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹越小则过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率?p、阻带边界频率?
s、通带最大衰减?p和阻带最小衰减?s共同决定。6.2.5五种类型模拟滤波器的比较前面讨论了五种类型的模拟低通滤波器的设计方法
，前四种（巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器）是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种（贝塞尔滤波器）是主要考虑逼
近线性相位特性的滤波器。为了正确地选择滤波器类型以满足给定的幅频响应指标，必须比较四种幅度逼近滤波器的特性。6.2.5五种类型模
拟滤波器的比较比较相同阶数的归一化巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器的频率响应特性。当阶数相同时，对相同的通带最
大衰减?p和阻带最小衰减?s，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特
沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。Ⅰ型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。Ⅱ型滤波器的
通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。巴特沃思和切比
雪夫滤波器在大约四分之三的通带上非常接近线性相位特性,而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带
逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。另一方面，在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数
最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。由上述
比较可见，五种滤波器各具特点。工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数（阶数影响处理速度和实现的复杂性）和相位特性的具体要求。例
如，在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就应当选择椭圆滤波器。6.2.6频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计I
IR数字滤波器的频率变换设计模拟高通、带通、带阻滤波器6.2.6频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通及带阻滤波器
的概念及其指标参数。高通、带通、带阻滤波器的幅频响应曲线及边界频率分别如图(a),(b)和(c)所示。(a)高通滤波器(b
)带通滤波器(c)带阻滤波器图6.2.12各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图模拟高通滤波器设计低通原型到高通滤波器的
映射关系为(6.2.50)在虚轴上该映射关系简化为如下频率变换公式:(6.2.51)式中，?ph为希望设计的高通滤波器HHP
(s)的通带边界频率。将式(6.2.50)代入式就可将通带边界频率为?p的低通原型滤波器的系统函数G(p)转换成通带边界频率为?
ph的高通滤波器系统函数:(6.2.52)低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换公式如下(6.2.53)在p平面与s平
面虚轴上的频率关系为(6.2.54)式中，表示带通滤波器的通带宽度，分别为带通滤波器的通带下截止频
率和通带上截止频率，称为带通滤波器的中心频率。低通到带通的频率变换将式（6.2.53）带入式,就将G(p)转换
为带通滤波器的系统函数，即(6.2.55)低通原型到带通的边界频率及幅频响应特性的映射关系如图6.2.14所示,低通原型的每一个
边界频率都映射为带通滤波器两个相应的边界频率。图6.2.14低通原型到带通的边界频率及幅频响应特性的映射关系低通到带阻的频率变
换低通到带阻滤波器的映射关系为(6.2.58)在虚轴上该映射关系简化为如下频率变换公式:(6.2.59)式中，表示带阻滤波
器的阻带宽度，分别为带阻滤波器的阻带下截止频率和阻带上截止频率，称为带阻滤波器的阻带中心频率。将式(6.2.58)代入式就可
将通带边界频率为?p的低通原型滤波器的系统函数G(p)转换成通带边界频率为?ph的带阻滤波器系统函数:(6.2.60)设计I
IR数字低通滤波器从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是按照一定的转换关系将s平面上的Ha(s)转换成z平面上的H(z)。为了保证
转换后的H(z)稳定且满足技术指标要求，对转换关系有两种要求：（1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。转
换关系应使s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部。（2）数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频域采样，s平面的虚轴映射为z平面的
单位圆，相应的频率呈线性关系。将系统函数Ha(s)从s平面转换到z平面的方法在工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。6.3
脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器设模拟滤波器的系统函数为,相应的单位脉冲响应是，对进行等间隔
采样，采样间隔为T,得到。将数字滤波器的单位取样响应h(n)作为相应的模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)
即映射到z平面的极点为的极点实质上，整个S平面到Z平面也满足映射关系：s平面到z平面的映射关系s平面上每一条宽为2?/T的横
带重复地映射到整个z平面上每一横条的左半部分映射到z平面的单位圆以内右半部分映射到z平面的单位圆以外s平面的虚轴映射到z平面的单位
圆上虚轴上每一段长为2?/T的线段都映射到z平面单位圆上一周。因为h(n)=ha(nT)所以是以为周期的周期延拓函数（对数字频
率，则是以为周期）。综上所述，脉冲响应不变法的优点是1、频率变换关系是线性的，即，如果不考虑频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤
波器会很好的重现原模拟滤波器的滤波特性。2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。但是，
有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，脉冲响应不变法的最大缺点是会产生不同程度的频率混叠现象。适合低通、带通滤波器的设计，不
适合高通、带阻滤波器的设计。例6.1设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。解将Ha(s)
展开成部分分式得用代换得到取T=1，得到数字滤波器的频率响应为6.4双线性变换法设计
IIR数字滤波器采用非线性频率压缩方法将整个s平面压缩变换到s1平面??/T之间的一条横带里;然后再用z=es1T将此横带变换到整
个z平面上去，这样就使s平面到z平面是一一映射的关系，从而克服了频谱混叠现象。双线性变换法的映射关系非线性频率压缩双线性变换
的映射关系z平面的ω与s平面的Ω之间呈非线性关系。这种非线性关系是双线性变换法的缺点，使数字滤波器频响曲线不能保真的模仿模拟滤
波器的频响曲线形状。图6.4.2双线性变换法的频率关系例6.2已知模拟滤波器的传输函数为采用双线性变换法将其转换为数字滤
波器的系统函数，设T=2s解将s与Z的关系式代入Ha(s)可得总结：用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤（1）确定数字低
通滤波器的技术指标：（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。主要是边界频率和的转换
不变。若采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为若采用双线性变换法，边界频率的转换关系为（3）按照模拟低通
滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器，设计方法和步骤参见本章6.2节。（4）用所选的转换方法，将模拟滤波器转换
成数字低通滤波器系统函数H(z)。?6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计模拟（高通、带通或带阻）滤波器数字（高通、带通或带阻）滤
波器模拟原型低通滤波器频率变换脉冲响应不变法双线性变换法数字（高通、带通或带阻）滤波器模拟原型低通滤波器脉冲响应不变法双线性变换法
数字低通滤波器频率变换6.5数字高通带通和带阻滤波器的设计由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤：将所需类
型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。设计模拟低
通滤波器。将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成所需类型的模拟滤波器。采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字
滤波器。例6.3设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率，阻带上限频率为，
通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于15dB。解：数字高通滤波器的技术指标为模拟高通滤波器的技术指标，取T=1对?p归一化，模
拟低通滤波器的技术指标设计归一化模拟低通滤波器取N=2，归一化模拟低通滤波器为去归一化，将模拟低通转换成模拟高通用双线性变换法将模
拟低通转换成模拟高通6.6IIR数字滤波器的Matlab仿真实现IIR数字滤波器设计模拟滤波器到数字滤波器的转换脉冲响应不
变法双线性变换法6.6.1IIR数字滤波器设计设数字滤波器系统函数为模拟滤波器的系统函数为函数butter和cheby1可以确
定Butterworth和ChebyshevI型滤波器的系统函数。函数butter的调用格式函数butter的调用格式为>>[
b,a]=butter(n,Wc,)%设计数字Butterworth滤波器>>[b,a]=
butter(n,Wc,''ftype'')%设计模拟Butterworth滤波器其中，n为滤波器阶数，Wc为
截止频率。函数cheby1的调用格式函数cheby1的调用格式为>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc)
%设计数字Chebyshev滤波器>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc,''ftype'')%
设计模拟Chebyshev滤波器其中，n为滤波器阶数，Rp为通带内的纹波系数，Wc为截止频率。例6.4设计butterwort
h低通滤波器例6.4设计一模拟butterworth低通滤波器，通带截止频率300Hz，通带最大衰减2dB，阻带截止频率800
Hz，阻带最小衰减30dB。解滤波器的阶数和截止频率可由式和确定，程序段为>>Wp=2pi300;Ws=2pi8
00;Rp=2;Rs=30;N=ceil((log10((10^(0.1Rs)-1)/(10^(0.1Rp)-1)))
/(2log10(Ws/Wp)));Wc=Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2N)));[b,a]=butte
r(N,Wc,''s'');freqs(b,a)例6.4程序运行结果运行程序，得到N=4，Wc=2.0157e+003。
幅频特性和相频特性如下图所示。6.6.2模拟滤波器到数字滤波器的转换设模拟滤波器系统函数为数字滤波器的系统函数为从模拟滤波器到
数字滤波器的转换有两种方法，即脉冲响应不变法和双线性变换法。脉冲响应不变法脉冲响应不变法:用代换Ha(s)中的(s-sk)即可得到H(z)，从而将模拟滤波器转换为数字滤波器格式。可用函数impinvar实现，调用格式为>>[bz,az]=impinvar(b,a,fs)其中，fs为取样频率。双线性变换法双线性变换法:用代换Ha(s)中的s即可得到H(z)，从而将模拟滤波器转换为数字滤波器格式。可用函数bilinear实现，调用格式为>>[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,fs)其中，z，p，k和zd，pd，kd分别为s域和z域系统函数的零点、极点和增益。例6.5模拟滤波器转换数字滤波器例6.5利用impinvar将一模拟低通滤波器变换成数字滤波器(取样频率为10Hz)，程序段为>>[b,a]=butter(4,.3,’s’);[bz,az]=impinvar(b,a,10);程序运行结果为bz=1.0e-006-0.00000.13240.51920.12730az=1.0000-3.92165.7679-3.77090.9246 |
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