2021年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）1．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（
）A．aB．bC．cD．d2．不一定相等的一组是（）A．a+b与b+aB．3a与a+a+aC．a3与a?a?aD．3（a+b）
与3a+b3．已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（）A．＞B．＜C．≥D．＝4．与结果相同的是（）A
．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣15．能与﹣（﹣）相加得0的是（）A．﹣﹣B．+C．﹣+D．﹣+6．一个骰
子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）A．A代B．B代C．C代D．B代7．如图1，?ABCD中，AD＞
AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（
）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是8．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分
液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm9．若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（）
A．﹣100B．﹣144.2C．144.2D．﹣0.0144210．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝
8，S△CDO＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（）A．20B．30C．40D．随点O位置而变化11．（2分）如图，将数轴上
﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）A．a3＞0B．|a1|
＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0D．a2+a5＜012．（2分）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且O
P＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．713．（2
分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．证法1：
如图，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠
A+∠B+∠ACB（等量代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135
°（量角器测量所得）又∵135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．下列说法正确的是（）A．证法1
还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测
量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理14．（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的
高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是（）A．蓝B．粉C．黄D．红15．（2分）由（﹣）值
的正负可以比较A＝与的大小，下列正确的是（）A．当c＝﹣2时，A＝B．当c＝0时，A≠C．当c＜﹣2时，A＞D．当c＜0时，A
＜16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取
一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接
M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（
）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）1
7．（4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧
密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块．18．（4分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE
与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（填“增加”或
“减少”）度．19．（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．（1）当
a＝15时，l与m的交点坐标为；（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例如，为在视窗
中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30
及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要
将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝．三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）20．（8分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元
．（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．21．（9分）已知
训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的
说法列出了方程：101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试
通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．22．（9分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个
十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状
图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．23．（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点
P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O
处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处
．（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（
3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]24．（9分）如图，⊙O的半径为6
，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过
计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7
的值．25．（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5
（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x
+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹
起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到
右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能
落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中不必写x的取值范围]26．（12分）在一平面内，线段A
B＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一
位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α
＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D
与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直
时，直接写出a的余弦值．2021年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分
，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一
侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）A．aB．bC．cD．d【分析】利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论．【解答】
解：利用直尺画出图形如下：可以看出线段a与m在一条直线上．故答案为：a．故选：A．2．不一定相等的一组是（）A．a+b与b+a
B．3a与a+a+aC．a3与a?a?aD．3（a+b）与3a+b【分析】A：根据加法交换律进行计算即可得出答案；B：根据整式的加
法法则﹣合并同类项进行计算即可得出答案；C：根据同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；D：根据单项式乘以多项式法则进行计算即可得出
答案．【解答】解：A：因为a+b＝b+a，所以A选项一定相等；B：因为a+a+a＝3a，所以B选项一定相等；C：因为a?a?a＝a
3，所以C选项一定相等；D：因为3（a+b）＝3a+3b，所以3（a+b）与3a+b不一定相等．故选：D．3．已知a＞b，则一定有
﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（）A．＞B．＜C．≥D．＝【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时乘以负数，不等号的方向
改变，即可选出答案．【解答】解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变．∵a＞b，∴﹣4a＜﹣4b．故选：B．
4．与结果相同的是（）A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣1【分析】化简＝＝＝2，再逐个选项判断即可．【解答
】解：＝＝＝2，∵3﹣2+1＝2，故A符合题意；∵3+2﹣1＝4，故B不符合题意；∵3+2+1＝6，故C不符合题意；∵3﹣2﹣1＝
0，故D不符合题意．故选：A．5．能与﹣（﹣）相加得0的是（）A．﹣﹣B．+C．﹣+D．﹣+【分析】与﹣（﹣）相加得0的是他的
相反数，化简求相反数即可．【解答】解：﹣（﹣）＝﹣+，与其相加得0的是﹣+的相反数．﹣+的相反数为+﹣，故选：C．6．一个骰子相对
两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）A．A代B．B代C．C代D．B代【分析】正方体的表面展开图，相对的面之
间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正
方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是
5，C代表的点数是4．故选：A．7．如图1，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM
为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙
、丙才是【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正
确；方案乙：证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙：证△A
BN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方
案丙正确．【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN
＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；方案乙中：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥B，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌
△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形
，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴
四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；故选：A．8．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液
面AB＝（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果
．【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO，即相似比为，∴＝，∵
OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，∴＝，＝，∴AB＝3，故选：C．9．若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（）A．﹣1
00B．﹣144.2C．144.2D．﹣0.01442【分析】根据立方根的概念直接代入式子进行计算可得答案．【解答】解：∵取1.4
42，∴原式＝×（1﹣3﹣98）＝1.442×（﹣100）＝﹣144.2．故选：B．10．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线F
D上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（）A．20B．30C．40D．随点O位置而变化【分析
】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD＝AF，过E作FD垂
线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六边形的面积．【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的
垂线，垂足为M，连接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）＝30°，∵正
六边形ABCDEF的每个角为120°．∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，∴四边形A
FDC为矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝F
O×AF+OD×CD＝（FO+OD）×AF＝FD×AF＝10，∴FD×AF＝20，DM＝cos30°DE＝x，DF＝2DM＝x，E
M＝sin30°DE＝，∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC＝AF×FD+2S△EFD＝x?x+2×x
?x＝x2+x2＝20+10＝30，故选：B．11．（2分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a
1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）A．a3＞0B．|a1|＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0D．a2+
a5＜0【分析】先计算出﹣6与6两点间的线段的长度为12，再求出六等分后每个等分的线段的长度为2，从而求出a1，a2，a3，a4，
a5表示的数，然后判断各选项即可．【解答】解：﹣6与6两点间的线段的长度＝6﹣（﹣6）＝12，六等分后每个等分的线段的长度＝12÷
6＝2，∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，A选项，a3＝﹣6+2×3＝0，故该选项错误；B选项，|
﹣4|≠2，故该选项错误；C选项，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故该选项正确；D选项，﹣2+4＝2＞0，故该选项错误；故选：C．
12．（2分）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P
1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．7【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任
意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴O
P1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，P1P2＜5.6，故选：B．13．（2分）定理：三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．证法1：如图，∵∠A+∠B+∠A
CB＝180°（三角形内角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量
代换）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．证法2：如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器测量所得）又∵
135°＝76°+59°（计算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形
，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证
，就能证明该定理【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过
严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，∴A的说法不正确，不符合题意；∵证法1按照定理证明的一般步
骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，∴B的说法正确，符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说
明，∴C的说法不正确，不符合题意；∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次解答数的多少无关，∴D的说法不正确，不符合题意；综上
，B的说法正确．故选：B．14．（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排
列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是（）A．蓝B．粉C．黄D．红【分析】根据柱的高度从高到低排列的和扇
形所占的百分比得出蓝色是5，所占的百分比是10%，求出调查的总人数，用16除以总人数得出所占的百分比，从而排除是红色，再根据红色所
占的百分比求出喜欢红色的人数，再用总人数减去其他人数，求出另一组的人数，再根据柱的高度从高到低排列，从而得出答案．【解答】解：根据
题意得：5÷10%＝50（人），16÷50%＝32%，则喜欢红色的人数是：50×28%＝14（人），50﹣16﹣5﹣14＝15（人
），∵柱的高度从高到低排列，∴图2中“（）”应填的颜色是红色．故选：D．15．（2分）由（﹣）值的正负可以比较A＝与的大小，下
列正确的是（）A．当c＝﹣2时，A＝B．当c＝0时，A≠C．当c＜﹣2时，A＞D．当c＜0时，A＜【分析】将c＝﹣2和0分别代
入A中计算求值即可判断出A，B的对错；当c＜﹣2和c＜0时计算﹣的正负，即可判断出C，D的对错．【解答】解：A选项，当c＝﹣2时，
A＝＝﹣，故该选项不符合题意；B选项，当c＝0时，A＝，故该选项不符合题意；C选项，﹣＝﹣＝，∵c＜﹣2，∴2+c＜0，c＜0，∴
2（2+c）＜0，∴＞0，∴A＞，故该选项符合题意；D选项，当c＜0时，∵2（2+c）的正负无法确定，∴A与的大小就无法确定，故该
选项不符合题意；故选：C．16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为
半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于
E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和
Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根
据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵O
M＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知∠MOF≠∠A
OB，∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，故选：D．二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）17
．（4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2；（2）嘉嘉要用这三种
纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片4块．【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2
，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；（2）利用完全平方公式可求解．【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸
片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，故答案为：a2+b2；
（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，∴x为4，故答案为：4．18．（4分）
如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110
°，则图中∠D应减小（填“增加”或“减少”）10度．【分析】延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠AC
B，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D
的度数，从而得出结论．【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB
＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D
＝10°．而图中∠D＝20°，∴∠D应减小10°．故答案为：减小，10．19．（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝
a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．（1）当a＝15时，l与m的交点坐标为（4，15）；（2）视窗的大小不变，但其可视
范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围
就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的
交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝4．【分析】（1
）a＝15时，y＝15，解得：，即l与m的交点坐标为（4，15）；（2）由得A（﹣50，﹣1.2），由得B（﹣40，﹣1.5），
为能看到横坐标是﹣50的点，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，即可得整数k＝4．【解答】解：（1）a＝15时，y＝15，
由得：，故答案为：（4，15）；（2）由得，∴A（﹣50，﹣1.2），由得，∴B（﹣40，﹣1.5），为能看到m在A（﹣50，﹣1
.2）和B（﹣40，﹣1.5）之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，∴整数k＝4．故答案为：4．三、解答题
（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为
4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5×104本甲种书及
3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．【分析】（1）分析题目，弄懂题意即可根据题意列出代数式；（2）根据（1）式的代数式将数
字代入，再用科学记数法表示出即可．【解答】（1）由题意可得：Q＝4m+10n；（2）将m＝5×104，n＝3×103代入（1）式得
：Q＝4×5×104+10×3×103＝2.3×105．21．（9分）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌
乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇
淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．【分析】（1）
解嘉嘉所列的方程可得出x的值，由x的值不为整数，即可得出淇淇的说法不正确；（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x
）个，根据B品牌球比A品牌球至少多28个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结
论．【解答】解：（1）嘉嘉所列方程为101﹣x＝2x，解得：x＝33，又∵x为整数，∴x＝33不合题意，∴淇淇的说法不正确．（2）
设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，依题意得：101﹣x﹣x≥28，解得：x≤36，又∵x为整数，∴x可取的最
大值为36．答：A品牌球最多有36个．22．（9分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字
道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，
并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）补全树状图，共有9种等可能的结果
，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可
．【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率为；（2）补全树状图如下：共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的
结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，∴向西参观的概率为＝，向南参观的概率＝向北参观的概率
＝向东参观的概率＝，∴向西参观的概率大．23．（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/
min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升
，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．（1）求OA的h
关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两
机距离PQ不超过3km的时长是多少．[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]【分析】（1）由爬升角度为45°，可知OA上的点的横
纵坐标相同，由此得到点A坐标，用待定系数法OA解析式可求；利用2号试飞机一直保持在1号机的正下方，可知它们的飞行的时间和飞行的水平
距离相同，由此可求爬升速度；（2）设BC的解析式为h＝ms+n，由题意将B，C坐标代入即可求得；令h＝0．求得s，即可得到结论；（
3）PQ不超过3km，得到5﹣h≤3，利用（1）（2）中的解析式得出关于s的不等式组，确定s的取值范围，得出了两机距离PQ不超过3
km的飞行的水平距离，再除以1号飞机的飞行速度，结论可得．【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，∴OA上的点的横纵坐标相同
．∴A（4，4）．设OA的解析式为：h＝ks，∴4k＝4．∴k＝1．∴OA的解析式为：h＝s．∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方
，∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．∵2号机的爬升到A处时水平方向上移动了4km，爬升高度为4km，又1号机的飞行速度为3k
m/min，∴2号机的爬升速度为：4÷＝3km/min．（2）设BC的解析式为h＝ms+n，由题意：B（7，4），∴，解得：．∴B
C的解析式为h＝．令h＝0，则s＝19．∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．（3）∵PQ不超过3km，∴5﹣h≤3．∴，解得：
2≤s≤13．∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3＝min．24．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后
得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧长
度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．【分析】（1）
利用弧长公式求解即可．（2）利用圆周角定理证明即可．（3）解直角三角形求出PA7即可．【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝1
20°，∴的长＝＝4π＞12，∴比直径长．（2）结论：PA1⊥A7A11．理由：连接A1A7．∵A1A7是⊙O的直径，∴∠A7A1
1A1＝90°，∴PA1⊥A7A11．（3）∵PA7是⊙O的切线，∴PA7⊥A1A7，∴∠PA7A1＝90°，∵∠PA1A7＝60
°，A1A7＝12，∴PA7＝A1A7?tan60°＝12．25．（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O
，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离O
K＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指
出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并
说明其对称轴是否与台阶T5有交点；（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿
x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：（2）中
不必写x的取值范围]【分析】（1）由题意台阶T4的左边端点（4.5，7），右边端点的坐标（6，7），求出x＝4.5，6时的y的值，
即可判断．（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，构建方程组求出b，c，可得结论．（3
）求出抛物线与X轴的交点，以及y＝2时，点的坐标，判断出两种特殊位置点B的横坐标的值，可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示，由
题意台级T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，
解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），∴点A的横坐标为﹣2，当x＝4.5时，y＝9.75＞7，当x＝6时，y＝0＜7，当y＝7时，7
＝﹣x2+4x+12，解得x＝﹣1或5，∴抛物线与台级T4有交点，设交点为R（5，7），∴点P会落在哪个台阶T4上．（2）由题意抛
物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，∴，解得或（舍弃），∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣
38，对称轴x＝7，∵台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．（3）对于抛
物线C：y＝﹣x2+14x﹣38，令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，∴抛物线C交x轴的正半轴于（7+，0），当y
＝2时，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10，∴抛物线经过（10，2），Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2
，∴当点D与（7+，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+，当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，∴
点B横坐标的最大值比最小值大﹣2．26．（12分）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接
．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．论证：如图1，当A
D∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？尝试：取线段CD的中点M
，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写
出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．【分析】论证：由△AOD≌△BOC，得
AO＝BO，而AB＝20，可得AO＝10；发现：设AB的中点为O，当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC
''绕点B顺时针旋转60°，BC旋转到BO的位置，即C以O重合，从而可得∠ADC＝60°；尝试：当点M与点B距离最大时，D、C、B共
线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，由已知可得AD＝10，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，100﹣x2＝400﹣（20﹣
x）2，可得AQ＝，DQ＝，再由MN∥DQ，得＝，MN＝，即点M到AB的距离为；拓展：①设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G
，连接DP，设BG＝m，则AG＝20﹣m，由AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，可得m＝，BG＝，而△BHP∽△BGD，有＝，即可得B
P＝；②过B作BG⊥CD于G，设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，由△ADN∽△BGN，＝＝，表达出NG＝，BG＝，Rt△BC
G中，CG＝，根据DN+NG+CG＝10，列方程++＝10，解得t＝，即可得cosα＝＝＝．【解答】论证：证明：∵AD∥BC，∴∠
A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（ASA），∴AO＝BO，∵AO+BO＝AB＝20，∴AO＝10；发现：设AB的中点为O，如图：当AD从初始位置AO绕A顺时针旋转60°时，BC也从初始位置BC''绕点B顺时针旋转60°，而BO＝BC''＝10，∴△BC''O是等边三角形，∴BC旋转到BO的位置，即C以O重合，∵AO＝AD＝CD＝10，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC＝60°；尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D、C、B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图：由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，设AQ＝x，则BQ＝20﹣x，∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，解得x＝，∴AQ＝，∴DQ＝＝，∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴＝，即＝，∴MN＝，∴点M到AB的距离为；拓展：①设直线CP交DB于H，过G作DG⊥AB于G，连接DP，如图：∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，设BG＝m，则AG＝20﹣m，∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，∴m＝，∴BG＝，∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，∴△BHP∽△BGD，∴＝，∴BP＝＝；②过B作BG⊥CD于G，如图：设AN＝t，则BN＝20﹣t，DN＝＝，∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，∴△ADN∽△BGN，∴＝＝，即＝＝，∴NG＝，BG＝，Rt△BCG中，BC＝10，∴CG＝＝，∵CD＝10，∴DN+NG+CG＝10，即++＝10，∴t+（20﹣t）+20＝10t，20+20＝10t，即2＝t﹣2，两边平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，∵t≠0，∴3t﹣40＝﹣4，解得t＝（大于20，舍去）或t＝，∴AN＝，∴cosα＝＝＝．方法二：过C作CK⊥AB于K，过F作FH⊥AC于H，如图：∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，∴AC2＝200，∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，解得AK＝，∴CK＝＝，Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，设FH＝n，则CH＝FH＝n，AH＝5n，∵AC＝AH+CH＝10，∴5n+n＝10，解得n＝，∴AF＝＝n＝?＝，Rt△ADF中，cosα＝＝＝． |
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