R版九年级上第二十四章圆24．1圆的有关性质第5课时圆周角和直径的关系1．【中考·张家界】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠O
BC＝60°，则∠BAC的度数是()A．75°B．60°C.45°D．30°DC︵3．【2019·聊城】如图，BC是半圆
O的直径，D，E是BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为()A．35°
B．38°C．40°D．42°C4．【2019·襄阳】如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，A
C与OB相交于点P，下列结论错误的是()A．AP＝2OPB．CD＝2OPC．OB⊥ACD．AC平分OBA5．【中考·滨州
】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AO
C＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是()A．②④⑤⑥B．①③⑤
⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.因此①正确；∠AOC＝2∠ABC，∠AEC
＝∠ABC＋∠BAD，若∠AOC＝∠AEC，则∠BAD＝∠ABC，则AC＝BD，而由已知无法推断出AC＝BD，因此②错误；∵BD⊥
AD，BD∥OC，∴OC⊥AD.∴AC＝CD.∴∠ABC＝∠CBD.因此③正确；∵OC⊥AD，∴AF＝DF.因此④正确；︵︵︵︵︵
︵∵AF＝DF，AO＝BO，∴BD＝2OF.因此⑤正确；若△CEF≌△BED成立，则CF＝BD，此时CF＝2OF，而由已知无法推断
出CF＝2OF，故⑥错误，因此①③④⑤一定成立，故选D.【答案】D【点拨】将△COD以点O为中心，顺时针旋转∠BOC的度数，使点C
与点B重合．由∠AOB＋∠COD＝180°可知旋转后点A，O，D在同一直线上，故∠ABD＝90°，∴AB＝8.【答案】B7．下列结
论正确的是()A．直径所对的角是直角B．90°的圆心角所对的弦是直径C．同一条弦所对的圆周角相等D．半圆所对的圆周角是直角D
8．【中考·台州】从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是()B9.【中考·兰州】如图，已知经过原点的⊙P与x轴，
y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于()A．80°B．90°C．100°D．无法确定【点拨】∵∠AOB＝90
°，∴AB为⊙P的直径．∴∠ACB＝90°.【答案】B【易错总结】对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非
直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：
点P在弦AB所对的优弧上和点P在弦AB所对的劣弧上．【答案】60°或120°11．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于
点D，AC交⊙O于点E.(1)试探究∠CBE与∠BAC之间的数量关系；12．【2018·宜昌】如图，在△ABC中，AB＝AC，以A
B为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；【点拨】
如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角形问题．证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE
⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．(2)若AD
＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．【点拨】如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角
形问题．13．如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，点A(不与E，D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F为⊙
O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C.(1)求证：△EFB≌△ADE；(2)当点A在⊙O上移动时，直接回
答四边形FCDE的最大面积为多少．解：四边形FCDE的最大面积＝4×2＝8.14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ACB
的平分线交⊙O于点D.(1)若AC＝6，BC＝8.①求S四边形ADBC；②求CD的长；(2)若AB＝10，直接写出CA＋CB的最大
值．2．【2019·广元】如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的
长为()A．2B．4C．2D．4.86.【2018·咸宁】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠A
OB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()A．6B．8C．5D．510．已知在半径为4的
⊙O中，弦AB＝4，点P在圆上，则∠APB＝________．【点拨】如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作OC⊥A
B于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝2.在Rt△OAC中，OC＝＝2＝OA，所以∠OAC＝30°.所以∠AOB＝120°
.所以∠AP1B＝60°.当点P(P2)在弦AB所对的劣弧上时，易得∠AP2B＝120°.解：如图，连接AD，∵AB为直径，∴AD
⊥BC，BE⊥AC，易得∠CBE＝∠CAD.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BAC.(2)
若CD＝2，CE＝4，求⊙O的半径长．解：由(1)易知BD＝CD，∴BC＝4.∵CE＝4，∴BE＝＝8.设AE＝x，则AB＝AC＝
x＋4，在Rt△ABE中，(x＋4)2＝x2＋82，∴x＝6，∴AB＝10，∴⊙O的半径长为5.解：设CD＝x.则AB＝AC＝7＋
x.由(1)知BC＝2BE＝4.如图，连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2－AD2＝CB2－CD2，∴(
7＋x)2－72＝42－x2，解得x＝1或x＝－8(舍去)．∴AB＝8，∴BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8.S半圆形＝·π·(8÷2
)2＝8π.证明：如图，连接FA.∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB.∴∠FEA＝90°.∵BE＝AE，∴BF＝AF.∵∠FEA＝9
0°，∴AF是⊙O的直径．∴AF＝DE.∴BF＝ED.∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD＝90°.在Rt△EFB和Rt△ADE中，∴R
t△EFB≌△Rt△ADE.解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°
，∴AD＝BD.∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10.又∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝5，∴S四边形ADBC＝S△ABC＋S△ABD＝×6×8＋×5×5＝49.解：如图，作AE⊥CD于点E，由(1)知∠ACD＝45°，∴∠CAE＝45°＝∠ACD.∴CE＝AE.又∵AC＝6，∴CE＝AE＝3.∴DE＝＝4，∴CD＝CE＋DE＝7.解：CA＋CB的最大值为10. |
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