九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__
_________一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点
，点P是直线BC下方抛物线上的一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存
在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P坐标和四边形PBOC的最
大面积．2．如图，二次函数的图像经过，两点.（1）求该函数的解析式；（2）若该二次函数图像与轴交于、两点，求的面积；（3）若点在二
次函数图像的对称轴上，当周长最短时，求点的坐标.3．已知二次函数（）的图像与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于C点（0，3
）.P为x轴下方二次函数（）图像上一点，P点横坐标为.（1）求的值；（2）若P为二次函数（）图像的顶点，求证：∠ACO＝∠PCB；
（3）Q（，）为二次函数（）图像上一点，且∠ACO＝∠QCB,求的取值范围.4．如图，已知二次函数的图像经过点，，且对称轴为直线
，一次函数的图像经过两点.（1）求二次函数的解析式；（2）若点关于抛物线的对称轴对称，根据图像直接写出满足时的取值范围.5．已知如
图，二次函数y="ax2"+bx+c的图像过A、B、C三点观察图像写出A、B、C三点的坐标求出二次函数的解析式6．已知二次函数的
图像如图所示．（1）当时，说明这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）如图情况下，若，求点C的坐标．7．已知二次函数的图像如图
所示.（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图像，直接写出：何时随的增大而增大？何时？8．已知二次函数的图像如图所示．（1）求这
个二次函数的表达式；（2）观察图像，当时，写出的取值范围．9．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A（1，0），B（
－2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数的最大值；（3）结合图像，解答问题：当y＞3时，x的取值范围是．10．
如图，若二次函数的图像与轴交于、两点(点在点的左侧），与轴交于点.（1）求、两点的坐标：（2）若为二次函数图像上一点，求的值.参考
答案1．（1）；（2）存在满足条件的P点，其坐标为；（3）16．【解析】【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得
抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥
x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出四边形PBOC的面积，利用二次函数的性质可求得四边形P
BOC面积的最大值及P点的坐标【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线
解析式为y=x2-3x-4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，∴PO=PC，此时P点即为
满足条件的点，∵C（0，-4），∴D（0，-2），∴P点纵坐标为-2，代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=（小于0，
舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，-2）．（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2-3t-4），过P作PE⊥x轴于
点E，交直线BC于点F，如图1，∵B（4，0），C（0，-4），∴直线BC解析式为y=x-4，∴F（t，t-4），∴PF=（t-4
）-（t2-3t-4）=-t2+4t，∴==PF?OE+PF?BE+×OC?BO=PF(OE+BE)+×4×4=PF?OB+
8=（-t2+4t）×4+8=-2（t-2）2+16，∴当t=2时，最大值为16，此时t2-3t-4=-6，∴当P点坐标为（2，-
6）时，四边形PBOC的最大面积为16．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等
知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出四边形PBOC的面积是解题
的关键．2．（1）；（2）6；（3）【解析】【分析】（1）将M,N两点代入求出b,c值，即可确定表达式；（2）令y=0求x的值，即
可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解.（3）求出抛物线的对称轴，确定M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与
对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标.【详解】解：将点，代入中得，，解得，，∴y与x之间的函数关系式为；（2）如图
，当y=0时，，∴x1=3,x2=-1,∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,∴S△ABM=.即的面积是6.（3）如图，
抛物线的对称轴为直线，点关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),∴PM=PG,连MG交抛物线对称轴于点P，此时NP+PM=NP
+PG最小，即周长最短.设直线NG的表达式为y=mx+n,将N(-2,-5),G(2,3)代入得，，解得，，∴y=2m-1,∴
P点坐标为(1,1).【点睛】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问
题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.3．
（1）1；（2）证明见解析；（3）-1标，再求出CP=，BP=，CB=，判断出ΔBCP为直角三角形，通过解直角三角形，得出tan∠ACO＝tan∠PCB，从而证出：∠A
CO＝∠PCB；（3）通过分类讨论，即可得出-1（2）∵a=1∴抛物线的解析式为：∴P（2，-1）如图：∵B（3，0），C（0，3）∴CP=，BP=，CB=∴，∴∴∠CBP=
90°∴tan∠PCB=连接AC∵tan∠AOC=∴tan∠PCB=tan∠AOC∴∠AOC=∠PCB（3）（ⅰ）当点Q在BC左
侧的抛物线上时由（2）可知Q（2，-1）∴m+n=2∵P为x轴下方二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)图像上一点∴13∴1<2-n<3∴-1ACO＝∠QCB∴tan∠ACO＝tan∠QCB∴设EF长为x∴解得：∴BE=3∴E（6，0）∴CE的解析式为：由解得，∴Q∴m+
n=∵1问题转化为方程组解决即可．（2）根据函数图象，二次函数图象在一次函数图象的上方，注意等于号．【详解】解：（1）由题意，解得，∴二
次函数的解析式为（顶点式、交点式、一般式均可）（2）根据题意得，B点坐标为（-4，3），A点坐标为（-1，0），观察图像可知，y1
≥y2时，或【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利
用图象根据条件确定自变量的取值范围．5．A(-1,0)B(0,-3)C(4,5)【解析】本题考查了用待定系数法确定二次函数
的解析式．（1）直接读出A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，然后把A（-
1，0），B（0，-3），C（4，5）代入解析式得到关于a，b，c的方程组，解方程即可．解：（1）由图象可得，A（-1，0），B（
0，-3），C（4，5），（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（-1，0），B（0-3），C（4，5）分别代入解析
式得，a-b+c=0①，c=-3②，16a+4b+c=5③，解由①②③组成的方程组得，a=1，b=-2，c=-3，∴y=x2-2x
-3，所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3．6．（1）证明见详解（2）C的坐标是（0，6）【解析】【分析】（1）根据求得△值，
再根据△＞0来判断二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）将求二次函数y=-x2+（m-2）x+3（m+1）与x轴的交点转化为求方
程-x2+（m-2）x+3（m+1）=0的解，再根据一元二次方程根与系数的关系，可求得m的值，再将m的值代入二次函数．由图中不难发
现C点是二次函数与x轴的交点，令x=0，求得y的值．至此C点坐标确定．【详解】解：（1）∵△=（m-2）2-4（-1）?3（m+1
）=（m+4）2∵∴△=（m+4）2＞0，∴抛物线与x轴必有两个交点；（2）设方程的两根为x1、x2，且x1＜0，x2＞0由图可知
，由，可知根据根与系数的关系，可知，则m=1，于是二次函数的解析式为，把x=0代入，得y=6，所以C的坐标是（0，6）．【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．7．（1）；（2）；.【解析】
【分析】（1）如图过两点，代入这两点求系数，确定解析式.（2）如图在对称轴的右边随的增大而增大，求对称轴即可得；当时，如图，.【
详解】（1）解：如图过，两点，把这两点代入可得：，解得，代入可得这个二次函数的解析式为.（2）由对称轴可得，如图二次函数是开口向上
的图形，二次函数的性质可得在对称轴右边的值随的增大而增大，即时可满足题意；如图当时，要取得轴下方，即可满足题意.【点睛】考查用待定
系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质.8．（1）y＝(x＋1)2－4（2）－4≤y＜0【解析】【分析】（1）根据已知顶点和
另一点根据顶点式求解；（2）先与对称轴进行比较，再代入求解.【详解】（1）???设y＝a(x＋h)2－k．∵图像经过顶点（－1，－
4）和点（1，0），∴y＝a(x＋1)2－4．将（1，0）代入可得a＝1，?∴y＝(x＋1)2－4．?（2）－4≤y＜0．【点睛】
本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.9．（1）y＝－x2－2x＋3；（2）当x＝－1时，该二次函数的最大值为
4；（3）－2＜x＜0．【解析】【分析】将A、B坐标代入二次函数解析式中，联立求出a与b的值，即可确定出二次函数解析式；将其改写成
顶点式即可得；由B（－2，3）和函数表达式结合图像即可得.【详解】（1）将A（1，0），B（－2，3）代入y＝ax2＋bx＋3中
得：，解得：该二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3．（2）∵y＝－x2－2x＋3=－（x+1）2+4．∴当x＝－1时，该二次
函数的最大值为4．（3）令y＝－x2－2x＋3=3解得x1=-2,x2=0故当y＞3时，－2＜x＜0．【点睛】本题考查的知识点是待
定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是结合图像进行解题.10．（1），；（2），【解析】【分析】(1)通过解方程x2
?x?2=0得A点坐标和B点坐标；?(2)把x=m,y=-2代入，然后解关于m的方程即可．【详解】解：（1）当y=0时，即x2?x?2=0，解得：x1=-1,x2=2,∴A点坐标和B点坐标为，；（2）把x=m,y=-2代入,即m2?m?2=-2,解得：m1=0,m2=1.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总2页试卷第1页，总3页答案第1页，总2页试卷第1页，总3页 |
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