圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程.解法一（常规方法
）：设，,设直线方程为，联立化简可得:，所以因为所以又因为直线方程等价于为，即对比于，则代入中，化简可得：.解法二（齐次式）：设直
线方程为，联立化简可得:整理成关于的齐次式：，进而两边同时除以，则因为所以，又因为直线方程等价于为，即对比于，则代入中，化简可得：
.例2：已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点.解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如
图所示：旧坐标新坐标即所以原来则转换到新坐标就成为：设直线方程为：原方程：则转换到新坐标就成为：展开得：构造齐次式：整理为：两边
同时除以，则所以所以而对于任意都成立.则：，故对应原坐标为所以恒过定点.例3：已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交
于椭圆于两点，证明：直线斜率为定值.解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：旧坐标新坐标即所以原来则转换到新坐标就成为
：设直线方程为：原方程：则转换到新坐标就成为：展开得：构造齐次式：整理为：两边同时除以，则所以所以而.所以平移变换，斜率不变，所以
直线斜率为定值.点乘双根法例4：设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右顶点分别为，线段中点分别为，且是面积为的直角三角形.（
1）求其椭圆的方程（2）过作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.解：（1）（2）易知：直线不与轴垂直，则设直线方程为：，因为，则，
所以现联立则方程可以等价转化即令，令，结合化简可得：所以直线方程为：.