数列存在性问题
探究1分式类型双变量存在性
设等差数列的前项和为且．
（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
练习一
探究2：设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且
．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．w.w.w.
探究2双变量指数类型存在性问题——缩范围
已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．
（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1
变式：已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．
探究3三变量有理性的存在性问题
等差数列的前项和为．
（1）求数列的通项与前项和；
（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
探究4三变量利用奇偶性解决存在性问题
已知数列满足：，，数列满足：．
（1）求数列，的通项公式；
（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列．
探究5指数型三变量存在性问题——放缩+控范围
在数列中，已知，，，设为的前项和．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求；
（3）是否存在正整数，，，使成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
探究6分式类型三变量存在类型——整除类型
已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．
【探究1解】（1）
（2），要使得成等差数列，则
即：即：
∵，∴只能取2，3，5当时，；当时，；当时，．
【练习一解】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和．
(2)=，若其是中的项，则，
令，则=,
即：所以为8的约数．因为是奇数，所以可取的值为，
当，即时，；当，即时，（舍去）．
【探究2】（1）令n=1，则a1=S1==0．
（2）由，即，①
得．②
②－①，得．③
于是，．④
③+④，得，即．
又a1=0，a2=1，a2－a1=1，
所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，an=n－1．
（3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，．
时，<0，故数列{}()为递减数列，
时，<0，故数列{}()为递减数列，
，，即时，
又当时，，故无正整数q使得成立．
解法2：同上有，，且数列{}()为递减数列，
当时，成立；当时，，
因此，由得，，此时
变式解析：【解答】解：（1）An=n2，a1=1，n2时，an=An﹣An﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1时也成立，an=2n﹣1．
对任意nN，an1﹣an=2（bn1﹣bn）恒成立．
bn+1﹣bn=（an1﹣an）=1．b1=2，
数列bn}是等差数列，公差为1，首项为2，
Bn=2n+=+n．
（2）Bn1﹣Bn=an1﹣an=2（bn1﹣bn）=bn1，可得bn1=2bn，数列bn}是等比数列，公比为2．
bn=，an=Bn==b1（2n﹣1）．
==，+++…+=+…+=＜成立，
b1＞，b1≥3．
（3）由an1﹣an=2（bn1﹣bn）=2n1．n≥2时，an=（an﹣an﹣1）（an﹣1﹣an﹣2）…+（a2﹣a1）a1
=2n+2n﹣1…+22+2==2n+1﹣2．当n=1时也成立．
An=﹣2n=2n2﹣4﹣2n．
又Bn==2n1﹣2．==2﹣．
假设存在两个互不相等的整数s，t（1s＜t），使，，成等差数列．
等价于，，成等差数列，2×=1+＞1，
2×＞1，即2s2s+1，
令h（s）=2s﹣2s﹣1，则h（s1）﹣h（s）=2s1﹣2（s1）﹣1﹣（2s﹣2s﹣1）=2s﹣20，
h（s）单调递增，若s3，则h（s）h（3）=10，不满足条件，舍去．
s=2，代入得：=1，可得2t﹣3t﹣1=0（t3）．
t=3时不满足条件，舍去．
t4时，令u（t）=2t﹣3t﹣1=0（t4），同理可得函数u（t）单调递增，u（t）u（4）=30，不满足条件．
综上可得：不存在两个互不相等的整数s，t（1s＜t），使，，成等差数列．
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