高中三年级教学模拟考试A卷
班级___________姓名____________分数：___________
(本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡指定区域。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则
B． C． D．
2．已知为虚数单位，若复数，则 B． C． D．
3．关于双曲线与，下列说法中的是B．它们的顶点相同
C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同
4．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为
A． B． C． D．
5．已知等差数列的公差为，且成等比数列，则的前项和 B． C． D．
6．如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值 B． C． D．
7．已知，，，则
A． B． C． D．
8．若函数，则是有两个不同零点的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某团队共有人，他们的年龄分布如下表所示，
年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 有关这人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有
A．众数是 B．众数是 C．极差是 D．分位数是
10．已知函数（），则
A．的最小值为 B．的最小正周期为
C．的图像关于点中心对称 D．的图像关于直线轴对称
11．已知圆，直线，为直线上一动点，过点作圆的两条切线，为切点，则
A．点到圆心的最小距离为 B．线段长度的最小值为
C．的最小值为 D．存在点，使得的面积为
12．若，，则下列不等关系正确的有
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最大值为_______．
展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为_______．，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是_______．中，，，，，则四面体的体积为_______．6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．，②这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．
已知中，角的对边分别为，且_______．,并依此条件进行解答.）
（1）求；（2）若，的面积为，求．
18．和等比数列满足，，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值．
19．
（1）对某位该棋类游戏参与者的场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，部分数据如下表所示．请将表格补充完整，并判断是否有的把握认为赢棋与“先手局”有关？
先手局 后手局 合计 赢棋 45 输棋 45 合计 25 100 （2）现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行局，求的分布列和数学期望．
0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：
n=a+b+c+d
20．如图，在四棱锥中，平面，
四边形是直角梯形，，，
，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．的短轴长为，离心率为，点是椭圆的左顶点，点坐标为，经过点的直线交椭圆于两点，直线斜率存在且不为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线分别交直线于点，线段的中点为，设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值.
22．已知．
，恒成立；
，有恒成立，求实数的．
2022
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
1．C2．D3．B4．C5．B6．B7．A8．A
二、选择题：
9．ACD10．BD11．ACD12．ABD
三、填空题：
13．14．15．16．
部分选择和填空试题解析
1．由题意，由集合交集的定义：．C．
2，所以，故选D．
（2法）：，故选D．
4．（参看教材选择性必修第二册43页例2）
设事件为甲地下雨，事件为乙地下雨，则，，
则．C．
5成等比数列，即，所以，得，
故，则．故选B．6．如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，
因为，，所以，，，
所以，，，
则，，
当，即时，的最小值为．B．（2法）：设，则
=
===
=
7．由得，故，则，
同理得，故，则，故．A．8．因为，由题意得在有两个解．
，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
时，的最小值为，所以当时有两个解，
则是在有两个不同零点充分不必要条件．A．
且得．
设（），得，则在处取得最小值．
设，则在处取得最大值．
若在有两个不同零点，则，得，
则是在有两个不同零点充分不必要条件．A．
88页第3题．
，最小值为，最小正周期为，
图象关于点中心对称，直线为对称轴．故选BD．
A中，即为圆心到直线的距离等于，故选项A正确；
选项B中，由的最小值为，且，可得的最小值为，故选项B不正确；
选项C中，设，则，设，且，则
，
，故，
即，且，
故当时，最小值为，故选项正确．
，当增大时，增大，减小，且，
所以随之增大，
则当时，的最小值为3．正确．
D中，设（为锐角），与交于，，
，
单调递增，所以当最小时，即时，，
易求得的值域为，，故选项D正确．
时，可以求得，当向无限远处运动时，
趋向于，因为连续变化，所以必存在，故选项D正确．ACD．
，，则，，．，A正确．
B正确．
C错误．
，，D正确．
ABD．
，当时，取得最大值．
64，可得，解得，所以展开式的
通项公式为，
令，可得，所以展开式中项的系数为．
48页例3
16．
如图，由，，，得，
由勾股定理得，，设在平面内的射影为点，
即平面，连接，则由三垂线定理的逆定理可知，，
，且，故点在的平分线上，设交于点
，则，，在中，，
则，设到平面的距离为，则，
四面体的体积．
（2法）：如图，由，，，得，
由勾股定理得，，设在平面内的射影为点，
即平面，连接，则由三垂线定理的逆定理可知，，
，且，故点在的平分线上，
由得，再由最小角定理
，得，
在中，，，，得，
故四面体的体积．
17．选条件①.
（1）由正弦定理得，,
因为，所以，所以．3分
又，故．5分
（2）,所以．7分
由余弦定理及，有,
所以．9分
由得出．10分
选条件②.
（1）由余弦定理,知， ……………3分
又．．5分
（2）解法同选条件①
18．（1）设公差为，则，得， ……………2分
则，设公比为，且，
则，得， ………………4分
则． ………………6分
（2）由（1）得且条件①，则， ………………8分
又，若满足条件②，使，
则必有，即需是被除余的正整数，
又由符合，且，不符合，
，符合，故所有奇数项均符合条件②，
【通过列举得到前10项中符合的有第1、3、5、7、9项也得分】……………10分
所以．12分
19．1）
先手局 后手局 合计 赢棋 45 10 55 输棋 30 15 45 合计 75 25 100 ………………2分
． 4分
，所以有的把握认为赢棋与“先手局”有关．
（2）的取值范围为，
，，………………8分
则的分布列为
……………10分
则． 12分
20．
（1）方法一：由题意得，四边形是直角梯形，，，，
，所以，可知，
所以，则．2分
又有平面，平面，则, ………………4分
且，故平面． 平面，，分别以为轴，轴，
轴正方向建立空间直角坐标系，又由四边形是直角梯形，，
，，如图所示，则，，，
，，则，，，
即， ………………2分
又，，即， ………………4分
且，故平面． 平面，，分别以为轴，轴，
轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，又由四边形是直角梯形，
，，，则，，，
，， ………………2分
在平面中，，，
设平面的一个法向量为，则，，得，，所以，得，平面． 2）由题意平面，，
分别以为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
在平面中，，，
设平面的一个法向量，则，
所以，令，得，所以． 8分
在平面中，，，
设平面的一个法向量，则，
令得，，所以． 10分
则，设二面角大小为，………11分
由图可知，． 12分
21．（1）由题意得，，，得，，
所以椭圆方程为． 4分
（2）设，，直线的方程为，
由消去，整理得：，
所以， …………………5分
又，所以直线的方程为：，
其与直线的交点为；同理，………………6分
所以的中点为， …………………7分
因此的斜率为
…………………10分
因此，即为定值． …………………12分
方法二：高观点下的曲线系解法.（参加数学竞赛的学生可能这样解答）
设，则，.
A点处的切线为，.…………………6分
过A、M、N三点的二次曲线系为：
.……8分
待定系数得y的系数为,为，而要求
，…………………10分
等式左侧项系数为,项系数为，项系数为.
，项系数比为，解得.
所以.…………………12分
（考后来洪臣老师提供方法，对照评分标准酌情给分）
（2）设直线，得到，，则，
所以设直线，因为过定点得到，
所以，所以.
因为椭圆方程可化为，齐次化为
，两边同时除以,得
，则为的两根，所以.
所以.
22．（1）由，得，
令，得．2分
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得极小值，即为最小值，
故对于恒成立． 4分
（2）方法一：
由，得．
，则，即，
得． 5分
设，，令，得．
时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得极小值，即为最小值，
即对恒成立， …………………7分
设，，
当时，，即在上单调递增，
而，则恒成立． 9分
当时，令，得，
当时，，单调递减，而，
故时，，即不恒成立． 11分
综上，的取值范围为． 12分
方法二：
当时，，
等价于，
设，且，
则，…………………5分
则当时，由，，
由（1）得，，即， …………………7分
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
故在的最小值为，
即恒成立． …………………9分
而当时，设，，
令，得，由，故.
当时，，单调递减，
故时，，
则单调递减，而，即时，，
故不成立， …………………11分
综上，的取值范围为． ………………12分
方法三：
当时，，
等价于，
设，且
则，…………………5分
设，，
则时，，单调递减，
时，，单调递增，
故在的最小值为，
则当时，恒成立， …………………7分
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
故在的最小值为，
即恒成立． …………………9分
而当时，设（），
则，
且时，，单调递增，则时，，
而，故时，，
所以单调递减，而，即时，，
故不成立， …………………11分
综上的取值范围为． ………………12分
（考后李连军老师提供方法，对照评分标准酌情给分）
（2）恒成立，即为，
①由（1）知，恒成立，设，则，
可得时，，单调递减，时，，单调递增，故，
可得，当时，恒成立；
②当时，等价于
设，则
设，则，
则时，，单调递增，
时，，单调递增，故，
（ⅰ）当时，即时，，
而
则时，，单调递增，
时，，单调递减，
故，符合题意，
（ⅱ）当时，即时，则必然存在，
使得当时有，
则时，，单调递增，而，
故当，，不合题意，
综上，的取值范围为．
（考后李刚老师提供方法，对照评分标准酌情给分）
（2）由，得．
由，则.由于，
所以，
设，，令，得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得极小值，考虑到当趋近于，函数值趋近于，所以.
即恒成立，其中.
设，，
①当时，，当且仅当时，，
因此在上单调递减，而，故恒成立，符合题意.
②当时，令，则，
当时，，单调递增，而，
故当时，，即无法恒成立，
综上，的取值范围是.
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