高考数学数列大题解题技巧及规范答题1.等差（比）数列运算问题的一般方法：（1）等差（比）数列运算问题的一般求法是设出首项和公差（公比），然
后由通项公式或前项和公式转化为方程(组)求解；（2）等差（比）数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，（），n，，知其中三个
就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.2.数列求和的常用方法：（1）分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求
和数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减；（2）裂项相消法：①把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互
抵消，从而求得其和.②常见的裂项技巧：（i）（ii）（iii）（iv）（v）（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和
一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。【核心素养】数列问
题是高考的必考题，往往从等差数列、等比数列的定义和基本计算入手，考查的核心素养是“数学运算”；数列的前n项和是高考重点考查的知识
点，尤其错位相减法、列项抵消法是高考考查的重点，突出考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.【典例】【2020年天津】已知为等差
数列，为等比数列，．（1）求和的通项公式；（2）记的前项和为，求证：；（3）对任意的正整数，设，求数列的前项和．【评分展示】（1）
设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．【全求对，得2分，错一项减一分，扣至0分】由，又，可得，解得，
从而的通项公式为．【全求对，得2分，错一项减一分，扣至0分】（2）证明：由（Ⅰ）可得，故，【求对得1分，求对及各得1分】从而，所
以．【作差正确并正确得出结论等1分，否则不得分】（3）解：当为奇数时，；当为偶数时，．【正确分组和裂项，得2分，错一项减1分】对任
意的正整数，有，和．①【裂项求和结果正确和偶数项和书写正确，得2分，错一项减1分】由①得．②由①②
得，从而得．【正确利用错位相减法求和且结果正确得2分，仅变形正确但结果错误得1分】因此，．所以，数列的前项和为．【正确合并，得到正
确结果得1分，否则不得分】【评分细则】①求对的通项公式得2分.②求对的通项公式得2分.③求对，得3分.④求对的结果并证出结论得1分
.⑤求对n为奇数和偶数时，得2分.⑥求对时和时，得2分.⑦用错位相减法求对的求和得2分.⑧求对前项和得1分.【解题方法与步骤】1、
熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择.如第（1）问运用了等差、等比数列的通项公式；第（2）问运用
等差数列的前n项和公式.2、第（3）问的关键有两点：一是分类分别求的通项；二是当时用裂项相消法求的和；三是当时用错位相减法求的和.
3、当时用错位相减法求的和的求法是难点，错位相减法的适用题型是求的前n项和（其中是等差数列，是以为公比的等比数列）错位相减法求和的
具体步骤是：（1）写出，（2）等式两边同乘等比数列的公比，即，特别要注意将两式“错项对齐”；（3）两式相减转化为等比数列求和；（4
）两边同除，求出.注：若等比数列的公比为参数，应分公比为1和不为1两种情况进行讨论.【好题演练】1.已知等差数列的前项和为，，．
（1）求及；（2）令，求数列的前项和．【分析】（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；（2）由（1）可得，然后利用分组求和与
裂项相消法求【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，则，整理得，解得，∴，．（2），∴．2.（2021·长春市高三基础教育质量
监测中心）设等差数列的前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【分析】（1）根据题意列出式子求出首项和公
差即可求出通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【详解】（1）设数列的公差为，由题可得，解得，所以.（2）由（1）知，故，①①，
②①②得，所以.3.（2020·天津南开中学）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，.（1）求数列与的通项公式；（2）记
，证明：.【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则由题意可得从而可求出，，从而可求出数列与的通项公式；（2）由（1）
可知，然后利用错位相减法可求得，从而可证得结论.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由，得由条件，得方程组解得所以
（2）由（）得由①-②得：，即，而当时，.所以.4.已知正项等差数列的前项和为，满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列
的前项和，求.【分析】（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；（2）由（1）可得，从而
可求出【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，得相减得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.5.已知正项数列的前项
和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.若______，求的前项和.注
：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）由数列的关系运算化简可得，再由等差数列的知识即可得解；（2）选条件①：
由裂项相消法运算求解即可；选条件②：由错位相减法运算求解即可；选条件③：由等差数列的求和公式可得，再由裂项相消法即可得解.【详解】
（1）因为，所以当时，，解得；当时，，又，所以两式相减得，可得，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以；（2）若选条件①：则；若选条件②：，则，上式两边同时乘3可得两式相减得，可得；若选条件③：由可得，所以，故.第9页共10页 |
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