高三第一学期期末模拟考试（数学）
姓名：得分：
第I卷（选择题）
评卷人
得分
?
?
一、选择题(共12题，每题5分，共60分) 1．已知全集U={x∈N|0≤log2≤1},集合A={x∈N|2≤2x≤8},则?UA=
A.{x|3
A.0 B.1 C.-1 D.-i 3．已知函数f(x)=2sin(x+),则f(x)在[,1]上的单调递增区间为
A.[-,] B.[-1,] C.[-1,1] D.[-,] 4．已知双曲线方程为x2-=λ,则“λ=”是“双曲线离心率为2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．在区间[0,2]上随机取两个数x,y,若事件“|y-x|≤a”发生的概率与事件“x+y≤2”发生的概率相等,则a的值为
A.1 B.2- C.2 D.2+ 6．已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q=
A.2或 B. C.1或-1 D.1 7．某三棱锥的三视图如图所示,其中小正方形的边长均为1.三棱锥上的点M在俯视图上的对应点为A,点N在左视图上的对应点为B,则线段MN长度的最大值为
A.3 B.3 C.9 D.6 8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为
A.- B.2- C.-2- D. 9．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A是抛物线C上任意一点,AO(O为坐标原点)交直线x=-1于点B,AF交抛物线C于另一点D,则直线BD的斜率为
A.-1 B.0 C.1 D.2 10．如图,在平面四边形ABCD中,||=||,=2,=-2,||=||=2,若F为线段DE上的动点,则·的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.3 11．在棱长为2的正方体ABCD-A''B''C''D''中,有一个与正方体各个面均相切的球,平面AB''D''截该球所得截面的面积为
A.π B.π C.π D.2π 12．已知f(x),g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=ex,若关于x的不等式2f(x)-ag2(x)≥0在(0,ln2)上恒成立,则实数a的取值范围是
A.(-∞,) B.[,+∞) C.(-∞,] D.(-,0)
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
?
评卷人
得分
?
?
二、填空题(共4题，每题5分，共20分) 13．函数f(x)=x-1-在(1,f(1))处的切线方程为.?
14．某社区年终活动设置抽奖环节,方案如下:准备足够多的写有“和谐”、“和睦”、“复兴”的卡片,参与者随机逐一抽取四张,若集齐三种卡片就获奖.王大爷按规定参与抽奖,则他直到第四次抽取出卡片才确定获奖的不同情况种数为.?
15．已知直线l:(λ+2μ)x+(λ-μ)y-4λ-8μ=0交☉O:x2+y2=25于A,B两点,C为l外一动点,且|AC|=2|BC|,当|AB|最小时,△ABC面积的最大值为.?
16．数列{an}满足a1=1,|an-an-1|=n2(n∈N且n≥2),数列{a2n-1}为递增数列,数列{a2n}为递减数列,且a1>a2,则a99=.?
?
评卷人
得分
?
?
三、解答题(共7题，每题12分，共84分) 17．已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°.
(1)若a=2b,求tanA的值;
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求△ABC周长的最小值.
18．如图1,在平面四边形ABCD中,E是AD的中点,AD=2EC=4AB=4,∠A=∠D=60°.将△CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,得到四棱锥P-ABCE(如图2),其中平面PCE⊥平面ABCE.
(1)求证:BE⊥PC.
(2)求二面角P-AB-E的大小.
19．某地区共有200个村庄,根据扶贫政策的标准,划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的GDP(国内生产总值)(单位:万元)情况,利用分层抽样的方法,从中抽取一个容量为20的样本,并绘成如图所示的茎叶图.
(1)(i)分别求样本中非贫困村与贫困村的GDP的平均值;
(ii)利用样本平均值来估算该地区2018年度的GDP的总值.
(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研,设X表示被调研的村中GDP低于(i)中贫困村GDP平均值的村的个数,求X的分布列及数学期望.
20．已知点A(1,e)为椭圆E:=1(a>b>0)上一点,其中e为椭圆的离心率,椭圆的长轴长是短轴长的两倍.
(1)求椭圆E的方程;
(2)B,C(均不与点A重合)是椭圆上关于原点对称的两点,当△ABC的面积最大时,求直线BC的方程.
21．已知函数f(x)=ex-ax2-x-1.
(1)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的值;
(2)若f(x)在定义域内有唯一的零点,求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆心为(,π)的圆C过极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若直线l与圆C恰好相切,求α的正切值.
23．已知函数f(x)=|x-2|+|x-a|(a∈R,a>0)的最小值为2.
(1)求不等式f(x)≤4的解集;
(2)记(1)中不等式的解集为[α,β],若正实数x,y满足x+y=α,求的最小值.
（数学）答案
1.B
2.C
3.B
4.A
5.B
6.A
7.A
8.C
9.B
10.C
11.A
12.C
13.y=0
14.18
15.12
16.4950
17.(1)解法一由a=2b及正弦定理知,sinA=2sinB,
则sinA=2sin(60°-A),
则sinA=cosA-sinA,
得tanA=.
解法二∵c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-2×2b×b×=7b2,
∴c=b,
则cosA=,
∴sinA=,
∴tanA=.
(2)由题意知S△ACD+S△BCD=S△ABC,
∴bsin60°+asin60°=absin120°,则a+b=ab,
∴c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2-(a+b),
则c=.
由a+b=ab,得=1,则a+b=()(a+b)=1+1+≥4,当且仅当a=b时等号成立.
令a+b=t,则△ABC的周长为a+b+c=t+=t+(t≥4).易知函数y=t+在[4,+∞)上单调递增,
∴当t=4,即a=b=2时,△ABC的周长取得最小值4+=4+2.
ABC周长的最小值为4+2.
18.(1)易知△CDE为等边三角形,CEAB,
又E为AD的中点,AD=2EC=4AB=4,所以AE=2.
在△ABE中,由余弦定理得BE2=AE2+AB2-2AB·AEcos60°=3,
所以BE2+AB2=AE2,所以BE⊥AB.
又AB∥CE,所以BE⊥CE.
又平面PCE⊥平面ABCE,平面PCE∩平面ABCE=CE,
BE?平面ABCD,
所以BE⊥平面PCE,所以BE⊥PC.
(2)由(1)知BEEC,所以以E为坐标原点,EB,EC所在直线分别为x轴,y轴,经过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(,-1,0),B(,0,0),P(0,1,),
所以=(0,1,0),=(-,1,).
设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),
则即则y=0,令x=1,则z=1,
所以平面PAB的一个法向量为n2=(1,0,1),
易知平面ABE的一个法向量为n1=(0,0,1).
故cos=.
易知二面角P-AB-E为锐二面角,
所以二面角P-AB-E的大小为45°.
19.(1)(i)非贫困村的GDP的平均值为
=54(万元).
贫困村的GDP的平均值为
=26(万元).
(ii)∵贫困村与非贫困村的抽样比为23,
∴该地区贫困村的个数为80,非贫困村的个数为120,
该地区2018年度的GDP的总值约为26×80+54×120=2080+6480=8560(万元).
(2)由题意及(i)知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个,
则X的所有可能取值为0,1,2,3,则
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×.
20.(1)将(1,e)代入=1,得=1,
即=1,从而得1+=a2,结合a2=b2+c2,得b2=1.
因为椭圆的长轴长是短轴长的两倍,所以a=2b,故a2=4.
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由(1)可知A(1,),当直线BC的斜率不存在时,易知△ABC的面积为1.
当直线BC的斜率存在时,设其方程为y=kx,代入+y2=1,得
(4k2+1)x2-4=0,从而
B,C两点的坐标分别为(,k),,或(,-k),(,k),
所以|BC|=.
又点A到直线BC的距离d=,
所以S△ABC=|k-|·
=
=.
记t=k-,则S△ABC=
=≤2,
当且仅当=-,即k=时等号成立,
故当△ABC的面积最大时,直线BC的方程为y=.
21.(1)依题意得,函数f(x)的定义域为R,且f''(x)=ex-2ax-1≥0.
若a≤0,则x(-∞,0)时,f''(x)≤ex-1<0,不符合题意.
若a>0,记g(x)=ex-2ax-1,则=ex-2a,令=0,得x=ln2a,
所以当x(-∞,ln(2a))时,<0,g(x),即单调递减,
当x∈(ln(2a),+∞)时,>0,g(x),即单调递增,
故f''(x)有最小值f''(ln(2a)).
若a=,则2a=1,从而f''(x)的最小值为=0,
故f''(x)≥0,此时f(x)单调递增,符合题意.
②若0
所以x∈(ln(2a),0)时,f''(x)单调递增.
又f''(0)=0,所以x∈(ln(2a),0)时,<0,f(x)单调递减,不符合题意.
③若a>,则ln(2a)>0,
所以x∈(0,ln(2a))时,f''(x)单调递减.
又f''(0)=0,所以x∈(0,ln(2a))时,<0,f(x)单调递减,不符合题意.
综上可得,若f(x)在定义域内单调递增,则实数a=.
(2)由(1)知,
a≤0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
从而f(x)有唯一的最小值f(0)=0,符合题意.
a=时,f(x)单调递增,f(x)有唯一的零点x=0,符合题意.
a>0,且a≠时,
由(1)知f''(x)min=f''(ln(2a))
因为-<1-≤lnx≤x-1
所以f''(2a)=e2a-4a2-1>0(因为ex>x2+1(x>0)),=>0,
故存在x1∈(-,ln(2a)),x2∈(ln(2a),2a),使得f''(x1)=f''(x2)=0.
又f(0)=f''(0)=0,所以x1=0或x2=0.
若0=x1时,
因为ex>x3+x+1(x>0),
所以f(6a)=e6a-a(6a)2-6a-1>(6a)3-36a3=36a3>0,
从而f(0)=0,f(ln(2a))<0,f(6a)>0,从而f(x)有两个零点;
若x1
f(0)=0,f(x1)>0,f(-)=-a(-)2+-1<0,所以f(x)有两个零点.
所以实数a的取值范围为{a|a≤0或a=}.
?
22.(1)如图,OB为圆C的直径,A(ρ,θ),
则∠ABO=θ-,2sin(θ-)=ρ,
化简可得圆C的极坐标方程为ρ=-2cosθ.
(2)由题意知,直线l经过定点(,),
由(1)知圆C的圆心的直角坐标为(-,0),半径r=,
当直线l的斜率不存在,即α=时,显然不符合题意,
所以直线l的斜率存在,设斜率k=tanα,
则直线l的方程为y=k(x-)+,即kx-y+(1-k)=0,
从而圆心C到直线l的距离d=,
解得k=0或k=,
即tanα=0或tanα=.
所以α的正切值为0或.
23.(1)若a≥2,则f(x)=显然其最小值为a-2,
依题意得a-2=2,解得a=4;
若0
依题意得2-a=2,解得a=0,不符合题意.
故a=4.
因为a=4,所以f(x)=
所以f(x)≤4的解集为[1,5].
(2)由(1)知α=1,β=5,x+y=1,
所以=()(x+y)=6+≥6+2,当且仅当时等号成立.
所以的最小值为6+2.
保密☆启用前
保密☆启用前
14
|
|
