微分学一、函数、极限、连续二、导数与微分三、多元函数微分学四、微分学应用一、函数、极限、连续1.一元函数显函数隐函数参数方程所表示的
函数定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。函数的特性周期性单调性, 奇偶性,有界性,基本初等函数:常数、幂函数、指数
函数、对数函数、三角函数和反三角函数复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与有限次复合而成且
能用一个式子表示的函数.2 极限极限定义的等价形式(以x?x0 为例)f(x)?A??其中?? f(x)?
A为x?x0的无穷小极限运算法则无穷小无穷小的性质;常用等价无穷小:sinx～x;无穷小的比较; 等价无穷小代换1?cos
x～1x2;～2～ex?1～x;两个重要极限arcsinx～x;～～(1?x)??1～?x;1x1si
nxlim?1, lim(1?)x?e,lim(1?x)x ?exx?0x??x?0洛必达法则(或为?)定理?
2) f(x)与F(x)在?(a)内可导,3) limf?(x)存在(或为 )x?aF?(x)limf(x)
?limf?(x)x?aF(x) x?aF?(x)(洛必达法则)说明:定理中x?a 换为x?a?,
x?a?, x??,x???,x???之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.3.连续与间断函数连续的
定义lim f(x)? f(x0)f(x?)? f(x?)? f(x )0 0 0可去间断点跳跃间断点x?
x0第一类（左右极限存在）函数间断点无穷间断点第二类（左右极限至少有一个不存在）振荡间断点重要结论：初等函数在定义区间内连续
例1. 设函数e2在x=0连续,则a= , b=.a(1?cosx)?a提示: f(0?)? li
mx22x?0?f(0?)? lim ln(b?x2)?lnba?1?lnb21?cosx~
1x22x?0?二、 导数和微分1.有关概念导数定义:当 时,为右导数当 时,为左导数微分:可导可微关系:导数几何意义
:切线斜率2.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）高阶导数的求法(逐次求一阶导数）例x2.求函数 的导数y
?x1?x2解：dy?2?sin1?cos1?(? 1) ?? 1 ?sin2x2x2dx
x x例3.求函数x在x处的微分解：三、多元函数微分法多元显函数求偏导和高阶偏导将其余变量固定，对该变量求导。复合函数求偏导注意
正确使用求导符号隐函数求偏导F(x,y,z)?0?z??Fx,?z??Fy?x Fz ?y Fz4.
全微分dz? fx(x,y)dx?fy(x,y)dy函数连续函数可导5.重要关系:函数可微偏导数连续?z
??x??yxy?kz(k为正常数），求例4.已知?x ?y ?z?z? y, ?y?k?x?
?kz,解:y2?z x?x k ?y?z??x??y??kz ??1?x ?y ?z xy四、导
数与微分的应用1.导数的几何意义例5.求曲线y?x3?6x 上切线平行于x轴的点。解：由 y??3x2?6?
0解得x?? 2y??4 2y?x3?6x代入得所求点为：( 2,?42),(? 2,4 2)2. 函数的
性态:函数单调性的判定及极值求法在开区间I内可导,若在I内单调递增(递减).定理1. 设函数(f?(x)?
0), 则函数的极值是函数的局部性质.对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.注意:极值第一判别法设函数f(
x)在x0的某邻域内连续,且在空心邻域内有导数,当x由小到大通过x0时,f?(x)“左正右负”,则f(x)
在x0取极大值.f?(x)“左负右正”,则f(x)在x0取极小值;极值第二判别法二阶导数,且则则在点 取极大值
;在点 取极小值.?例6.求函数解:1)求导数f?(x)?6x(x2?1)2,的极值.f?(x)?6(
x2?1)(5x2?1)2)求驻点令f?(x)?0,得驻点x1??1,x2?0,x3?13)判别
因f?(0)?6?0, 故为极小值;又f?(?1)? f?(1)?0,故需用第一判别法判别.y1
x?1定理2.(凹凸判定法) 设函数在区间I上有二阶导数?在I内在I内则则在I内图形是凹的;在I内图形是凸的.
凹弧凸弧的分界点为拐点例7.求曲线解:1)求y?的凹凸区间及拐点.?36x(x?3)2应y1?1,y2
?2711y??12x3?12x2,2)求拐点可疑点坐标(0,1) (2,11)3 27 令y??0得
x1?0,x2?2,对3233)列表判别23 3(0,2)(2,??)(??,0)x030112701?
y? ?y凹凸凹故该曲线在(??,0)及(2,??)上向上凹,在(0,2)上33向上凸,点(0,1)及
(2,11)均为拐点.3 27多元函数极值与最值问题极值的必要条件与充分条件极值必要条件 函数偏导数, 且在该点取得极值,
则有存在fx?(x0,y0)?0, fy?(x0,y0)?0说明:使偏导数都为0的点称为驻点.
但驻点不一定是极值点.极值充分条件若函数z? f(x,y)在点(x0,y0)的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数
,且fx(x0,y0)?0, fy(x0,y0)?0令A? fxx(x0,y0),
B? fxy(x0,y0),C? fyy(x0,y0)A<0时取极大值;A>0时取极小值.则:1)当AC?B2?0时,具有极值2)当AC?B2?0时,没有极值.3)当AC?B2?0时,不能确定,需另行讨论. |
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