初升高数学衔接班第1讲——学法指导一、学习目标：1、认识初高中数学学习的特点和差异2、了解高中数学的考法3、了解高中数学的学习策略和学习方法
二、学习重点：1、初高中数学知识差异与学法差异2、针对高中数学的特点与考法，培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。三、重
点讲解：高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。高中教材不再像初中教材那样贴近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。客
观的说，初高中知识之间存在断层，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。那么，如何做好初高中数学学习的衔接
过渡，使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢？下面我们就一起探讨如何应对高中数学的学习。（一）高中数学
教材分析高中数学课程分为必修和选修。必修课程由5个模块（5本书）构成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干模块构成（系列1
两本书、系列2三本书），系列3、系列4由若干专题组成。内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、平面解析几何、立体几何等等。进入高
中，我们首先学习的是《必修1》模块，我们应先对这一模块有一个大体的了解。《必修1》主要内容有两章，分别是：《集合》与《函数》如何
理解集合呢？集合是一种数学语言，我们要能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，提高我们运用数学语言进行交流的能力。在初中学习函
数的基础上，我们还要进一步学习函数，只不过高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，在初中一次函
数、二次函数、反比例函数的基础上，我们还将学习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型，而函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。（
二）高中数学与初中数学特点的变化1、数学语言在抽象程度上的突变。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高中数学一开始即
在初中学习的“函数”的基础上触及抽象的“集合语言”。例如：初中是这样定义函数的：设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值
，都有惟一的值与它对应，那么就说自变量是的函数。那么，y=1是函数吗？我们需要进一步深化函数的概念。在高中是用集合的语言来定义函数
的：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A．可以得到y=1是函数的结论。集合作为数学的基本语言可以
简洁地表示数学对象，对刚步入高中的同学来说，也是抽象的。而后续的几何部分也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说，思
维要从初中的直观、经验型向抽象、理论型过渡。2、思维方法向理性层次跃迁。高一的同学产生数学学习障碍的一个原因是高中数学的思维方法与
初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是解答思维非
常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套路。因此，同学们在初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方
式，而高中数学在思维形式上发生了很大的变化，同学们一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。比如在
初中我们可以求的最小值。那么（）的最小值呢？实际上我们可以利用函数的图象来求解，从而得到用图象法求函数的最大值与最小值。如果原题继
续变化为：求（）的最小值，我们又该如何求解呢？如能发现问题的本质，我们就会很好地解决问题。3、知识内容剧增初中数学知识少、浅、难度
低、知识面窄。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识进行推广和引申，也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0～180
°”范围内的，但实际当中也有720°和“－360°等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小的角。又
如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：
①三个人排成一行，有几种排队方法？（答：6种）；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答：3种），高中将学习统计这些排列方式
的数学方法。初中的学习中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了，于是令－1的平方根为±i，这样即可把数的概念进行推广，使数的概念扩
大到复数范围等。这些知识同学们在今后的学习中将逐渐接触到。4、综合性增强，学科间知识相互渗透，相互为用，加深了学习的难度。比如这样
一个实际问题：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a，如果天平制造得不够精确，天平的两
臂长短略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过我们可以做第二次测量：把物体调换到另外一个盘子上，此时称得的物体的质
量为b，如何合理地表示物体的质量呢？要解决这个问题我们需要用到物理中力学的知识，且我们还可以从中得出一个重要的数学不等式。5、系统
性增强。由于高中教材的理论性增强，常以某些基础理论为纲，根据一定的逻辑，把基本的概念、基本原理、基本方法联结在一起，构成一个完整的
知识体系。前后知识的关联是其中一个表现。另外，知识结构的形成是另一个表现，因此高中教材知识的结构化明显升级。如函数，初中只简单地介
绍一次、二次、反比例、正比例函数，对函数的性质很少研究，而高中的函数是一个大的知识体系。函数的定义域、值域、解析式、性质等是一个小
系统；指数函数、对数函数、三角函数、二次函数也是一个小系统；函数图象也是一个小系统等等。这些小知识体系相互渗透、联系构成函数大体系
。再比如小学里就有根据规律填数，如2，4，6，（），10，而数列的理论体系到高中才建立起来。6、能力要求更高高中课程目标明确地提
出要提高学生的五种基本能力，即空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理能力。平时要注重对这些能力的培养。比如空间想象能力是
对空间形式进行观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。同学们在初中学习过三视图，可以画出简单空间图形的三视
图，到高中，我们会具体给出三视图的定义，而且会考查由三视图如何还原出实际物体。例1：下面是一个组合图形的三视图，请描述物体形状如果
给出相应的数据，同学们是否能够求出它的体积呢？这道题考查的就是同学们的空间想象能力。例2：三角数阵中的归纳推理根据以上排列规律，数
阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是。这道题考查的就是同学们的归纳推理能力。当然，对于一个实际问题，同学们是否能够建立恰当的
数学模型来处理问题，这又对大家的能力提出了更高的要求。（三）高中数学考试的特点高考中主要考查什么呢？考纲要求：数学学科的考试，按“
考查知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力和素养融为一体，全面考查学生的数学素养。拿江苏高考卷来说，文科数学满分为160分
，理科数学满分为200分，其中数学选修部分占40分。初中数学的考试方法，基本上是学什么考什么。高中数学考试却有许多截然不同之处。考
试题多半是生疏的题目，是不能依赖模仿加以解决的问题。同学们在做题中最感困难的是没有思路。分析不出所要解答的题目的问题结构。仿佛感到
什么方法都学过，就是分不清什么时候该用哪一个。看来，初高中数学考试的主要区别是高中考的是同学们解决问题的能力。（四）学好高中数学的
应对策略和学习方法我们了解了高中数学的特点以及考试的特点之后，现在就根据其特点寻找相应的学法。1、充分发挥“老师”的作用。有一些同
学在初中学习不规范，凭借聪明的头脑，在初三的中考突击中也能取得较理想的成绩。这部分同学上高中后，学习上仍比较放松，以为采取同样的方
法仍可以考上理想的大学。但是，现实告诉我们，这种投机取巧的方式到高中是根本行不通的。中考的题目不太具有明显的选拔性，中考只是局部的
学生竞争，同学们考上高中都相对容易，但高考则不同，目前我们国家还不可能普及高等教育，高等教育可说还属于一种精英教育，只能选拔一些成
绩好的同学去读大学，因此高考的题目往往具有很强的选拔性，竞争非常激烈。从课程本质上说，高中内容体系性虽强，但是在编写时是通过“模块
”的形式把这些比较系统的内容分散开来编写的，如果没有老师的引领，同学们在学习时会觉得内容繁杂、无序，不容易形成知识结构和“思维链”
，无法形成对知识“一览众山小”的把握，并不利于对知识的学习。而且，前面也说了，高中数学蕴含着很多的数学思想与数学解题方法，这些抽象
的思想与灵活方法的运用，同学们仅凭读课本是无法感知的，而老师上课时一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重、难点，突出思
想方法，只有在老师的带领下同学们才能更好地认识高中数学，认清结构，发现其中的奥秘，利用好老师的角色将对我们的学习起到事半功倍的效果
。2、抓住数学的灵魂———数学思想。所谓数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规
律性的认识范畴。数学思想是数学学习的关键，数学思想指导着数学问题的解决，并具体体现在解决问题的不同方法中。常用的数学思想有：方程思
想、函数思想、转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想等。无论是初中数学还是高中数学，数学思想都是数学的灵魂，它们之间是可以
衔接的。例1：某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型机20台，乙型机30台。现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，
其中30台派往A地区，20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金
A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金
为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600
元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合
理建议．解：（1）若派往A地区的乙型联合收割机为x台，则派往A地区的甲型联合收割机为（30－x）台；派往B地区的乙型收割机为（30
－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台。∴y＝1600x＋1800（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－1
0）＝200x＋74000。x的取值范围是：10≤x≤30（x是正整数）。（2）由题意得200x＋74000≥79600，解不等
式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值，故有3种不同的分配方案。①当x＝28时，即派往A地区甲型收割机2
台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台。②当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派
往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台。③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。（3）
由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x＝30时，y取得最大值。如果要使该农机租赁公司这50台
联合收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。建议该农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往
A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使该农机租赁公司获得的租金最高。这里面透露出的就是函数的思想，而在高中，函数的思想是非常
重要的数学思想。例2：实数k为何值时，方程kx2+2|x|+k=0有实数解？运用函数的思想就可以解决这个问题。3、夯实基础知识和基
本技能，掌握适度的知识外延。要学习好高中数学，必须准确理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性质，抓住这些基本知识的要点和适用范围，
是学好数学的基础之一，否则一切都无从谈起，从目前的高考来看，也很侧重对这些知识的考查，特别是一些简答题，如对某些基本概念不能准确理
解就很难正确作答。夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要基础，但仅有这些还不够，要想在有限的时间内准确快速地解答完考题，必须具备一
定的知识外延，需要在平时的听课和练习中注意加强对一些重要结论的记忆，扩大自己的知识面，丰富自己的知识积累。4、做题之后加强反思同学
们一定要明确，现在正做着的题，绝不会是考试的题目。在考试中我们需要运用平时做题目时的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以
反思，总结一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。反思是学
习过程中很重要的一个环节。5、主动复习，总结提高进行章节总结是非常重要的。初中时是老师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自
己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也不会明确指出做总结的时间。那么，怎样进行章节复习呢？（1）把
本章节的内容一分为二，一部分是基础知识，一部分是典型问题。要把对技能的要求，列进这两部分的其中一部分中，不要遗漏。（2）把各种重要
的，典型的问题记录在册。6、养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力。能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平日的学习中要注意开
发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如：空间想象能力是通过实例
净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其他能力的培养也都需要在学习、理解、训练、应用中得到发展。（五）
给“高一”新同学的建议1、改掉“依赖”的习惯许多同学进入高中后，还像在初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的
主动权。表现在不订计划，坐等上课，对老师课上要讲的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，不会巩固所学的知识。——主动性不好是
同学中普遍存在的问题。高中仅做听话的孩子是不够的，只知做作业也是绝对不够的；高中老师讲的话也不少，但是谁该干些什么，老师并不一一具
体指明。因此，高中新生必须提高学习的自主性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。2、运算一定要过关学习数学离不开运算，初中老师往往一
步一步在黑板上演算。到了高中，因时间有限，运算量大，老师常把计算过程留给同学们，这就要求同学们多动脑，勤动手，不仅要能笔算，而且还
要能口算，心算和估算，对复杂运算，要有耐心，掌握算理，注重简便方法。许多学生由于运算能力低，致使数学成绩难以提高，但他们总归咎于“
粗心”，思想上仍不重视。我们在高一时就要重视对自己运算能力的培养。3、题目贵“精”，不贵“多”有的同学认为，要想学好数学，只要多做
题，功到自然成。其实不然。一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此，应该适当地多做题。但是，只顾钻入题海，堆积题目，
在考试中一般也是难有作为的。做题的效率要高。做题的目的在于检查你所学的知识、方法是否已掌握好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多
做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习。高中数学学习是初中数学学习的拓展和深化
。为了帮助同学们顺利地从初中数学过渡到高中数学的学习，老师将在后续课程中对高中数学部分将要用到的一些初中数学知识进行深化和补充，并
在此基础上为同学们揭开高中数学知识内容的帷幕。【同步练习】（答题时间：45分钟）1.关于x的方程x2+kx+k2－9=0只有一个
正根，那么k的值是（）A.k＞3或＜－3B.k=±3C.k≥3或k≤－3D.－3≤k＜32.代数式的化简结果是（）
A.B.C.D.3.已知b2－4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（
）A.B.C.D.4.一元二次方程中，若a，b都是偶数，c是奇数，则这个方程（）A.有整数根B.没有整数根
C.没有有理数根D.没有实数根5.若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，则x+y=________。6.已知关
于的不等式组的解为，那么a的取值范围是________。7.今有A、B、C、D四人在晚上都要从桥的左边到右边去。此桥一次最多只能
走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒的。四人过桥最快所需时间如下：A2分钟；B3分钟；C8分钟；D10分钟。走
得快的人要等走得慢的人，请问如何的走法才能在21分钟内让所有的人都过桥?8.125×4×3=2000这个式子显然
不等，可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7”，这个等式便可以成立，你知道这两个7应该插在哪吗？9.牛顿的名著《一般算术》中，还
编有一道很有名的题目，即牛在牧场上吃草的题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。“有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6个星期
可以把草吃光；如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？”10.春夏×秋冬=夏
秋春冬，春冬×秋夏＝春夏秋冬，式中春、夏、秋、冬各代表四个不同的数字，你能指出它们各代表什么数字吗？11.著名物理学家爱
因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那
么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。请你算一算，这条阶梯到底有多少阶
？【试题答案】1.D2.D3.C（设，则得方程或，由，得）4.B5.－7或6（两方程相加，得，解方程即可）6.
7.解：AB过，B回，CD过，A回，再AB过，3+3+10+2+3=21分钟8.解：1725×4×3=207009
.解：设每头牛每星期的吃草量为1。27头牛6个星期的吃草量为27×6=162，这既包括牧场上原有的草，也包括6个星期长的草。23
头牛9个星期的吃草量为23×9=207，这既包括牧场上原有的草，也包括9个星期长的草。因为牧场上原有的草量一定，所以上面两式
的差207－162=45正好是9个星期生长的草量与6个星期生长的草量的差。由此可以求出每星期草的生长量是45÷（9－6）=15。牧
场上原有的草量是162－15×6=72，或207－15×9=72。前面已假定每头牛每星期的吃草量为1，而每星期新长的草量为15，
因此新长出的草可供15头牛吃。今要放牧21头牛，还余下21－5=6头牛要吃牧场上原有的草，这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期，就是21头牛吃完牧场上草的时间。72÷6=12（星期）。也就是说，放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光。10.解：春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏=春夏秋冬∵秋夏<100，春冬×100=春冬00>春夏秋冬∴冬＞夏且积千位≤春∴春＞夏当夏≠1时，根据九九表和冬＞夏知：冬=5，夏=3若春≥6，由春3×秋5＝3秋春5＜4000可知秋＜7。春5×秋3＜春000无解若春＜6春≠5且春＞夏＝3所以春＝445×秋3＝43秋5无解所以夏＝1因为春冬×秋1＝春1秋冬，所以秋>5春1×秋冬=1秋春冬，∴春≤3，当春=3时，秋=6，3冬×61=316冬无解。因为春>夏，且<3，所以春=22冬×秋1=21秋冬，21×秋冬=1秋2冬；秋=9时无解，秋=8时，冬=711.解：分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、6的公倍数（即30的倍数）小1，并且是7的倍数。因此只需从29、59、89、119、……中找7的倍数就可以了。很快可以得到答案为119阶。 |
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