初升高数学衔接班第4讲——一元二次方程的根与系数的关系一、学习目标：1、掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式判断方程解的个数。2
、掌握一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理，并能运用韦达定理处理一些简单问题。二、学习重点：一元二次方程的根与系数的关系三、课
程精讲：1、旧知回顾：一元二次方程的两个根为：2、新知探秘：对于一元二次方程，有没有实数根的关键因素是什么？知识点一：一元二次方程
的根的判别式一元二次方程，用配方法将其变形为：（1）当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：（2）当时，右端是零．因此，
方程有两个相等的实数根：（3）当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫
做一元二次方程的根的判别式，表示为：【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：（1）（2）（3）思路导航：可以用根的判别式来判
断一元二次方程解的个数解：（1），∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可化为：，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程
可化为：，∴原方程没有实数根．点津：在使用判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于的一元二次方程，根
据下列条件，分别求出的取值范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根思路导航：已知一元二次方程解的个数则可
知判别式的值与零的大小关系，从而求出的取值范围。解：（1）；（2）；仿练：（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．解：（3）；（4
）．点津：求待定字母的取值范围，有时应考虑“一元二次方程”这个隐含条件，即方程中的二次项不能为0。若本题的一元二次方程改为：，k的
取值范围将分别是什么呢？知识点二：一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那
么：说明：一元二次方程的根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是。【例
3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．思路导航：本例若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，
将会出现复杂的计算．本例可利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：（1）（2）（3）（4）点津：利用根与系数的关系求
值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．（1）方程
两实根的积为5；（2）方程的两实根满足．思路导航：（1）由方程两实根的积为5，用韦达定理即可求解；（2）有两种可能，一是，二是，所
以要分类讨论．解：（1）∵方程两实根的积为5∴所以，当时，方程两实根的积为5．（2）由得知：①当时，，所以方程有两相等实数根，故
；②当时，，由于，故不合题意，舍去．综上可得，时，方程的两实根满足．点津：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要
注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．【直击高中】一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系在高中数学中应用非常广泛，它在二次
函数、不等式、解析几何等方面都有非常广泛的应用，下面让我们一起来感受一下它的作用。【例5】已知实数、满足，试求、的值．思路导航：已
知条件中由于只给出了关于x，y的一个关系式，所以并不能用普通的解方程组的方法求x，y，应考虑关系式的特殊性。解：可以把所给方程看作
关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：点津：转化的思想是高中数学的一个基本思想，可
以把复杂问题简单化，也可以把不常见的问题转化成常见的问题，解题时要注意转化思想的运用。【例6】（1）判断直线与抛物线的交点的个数
；（2）若直线与抛物线有两个不同的交点，求b的取值范围思路导航：求直线与抛物线交点的个数，第（1）小题可以转化为方程组的解的个数；
第（2）小题可以转化成方程组有两个不同的解时，求b的取值范围。解：（1）依题意，联立方程组，消元得，，此时，故方程组有两个不同的解
，即有两个不同的交点。（2）由得，即依题意知，，点津：判断两曲线交点个数的常用方法有直接求解法、判别式法及图像法。其中判别式法是把
图像交点个数的判断转化为判断方程组的解的个数，体现出解析几何的思想——用代数的方法研究几何问题。【例7】已知是一元二次方程的两个实
数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．（2）求使的值为整数的实数的整数值．思路导航：对于存在
性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．解：（1）假设存在实数，使成立．∵一元二次方程
有两个实数根∴，又是一元二次方程的两个实数根∴∴，但．∴不存在实数，使成立．（2）∵∴要使其值是整数，只需能被4整除，
故，注意到，故使的值为整数的实数的整数值为．点津：（1）对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在
，否则即不存在．（2）本题综合性较强，要学会对为整数情况的分析方法．四、知识提炼导图：五、目标期望：现行初中数学教材主要要求学生掌
握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节中有广
泛的应用．希望通过本节课的学习，同学们能够熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能在学习函数、不等式以及解析几何时进行合理的运用
。六、下节课预告：下节课我们将学习《不等式》，该内容主要涉及一元二次不等式、分式不等式等知识，虽然关于不等式的诸多内容在高中阶段
将会比较系统地得以学习，但是为了更顺利地完成高中各模块的学习任务，有必要对一元二次不等式、分式不等式等基本知识先作学习和掌握。【同
步练习】（答题时间：45分钟）（一）选择题1.一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.2.
若是方程的两个根，则的值为（）A.B.C.D.3.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分
别是关于的方程的根，则等于（）A.B.C.D.4.若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（）A.B.
C.D.大小关系不能确定5.若实数，且满足，则代数式的值为（）A.B.C.D.（二）填空题6.如果方程的两根相等
，则之间的关系是______。7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______
_。8.若方程的两根之差为1，则的值是_____。9.设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_
____。10.已知实数满足，则=_____，=_____，=_____。（三）解答题11.判定下列关于x的方
程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3
）x2－ax＋（a－1）＝0；（4）x2－2x＋a＝0．12.关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2，满足|x1－
x2|＝2，求实数m的值．13.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根
的积大21，求m的值．【试题答案】1.B2.A3.A4.A5.A6.7.38.9或9.－1
0.3，3，011.解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴原方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×
（－1）＝a2＋4＞0，所以原方程一定有两个不等的实数根：，．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×（a－1）＝a2－4
a＋4＝（a－2）2，所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以原方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0，所以原方程有两
个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4（1－a），所以①当Δ＞0
，即4（1－a）＞0，即a＜1时，原方程有两个不相等的实数根，；②当Δ＝0，即a＝1时，原方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1
；③当Δ＜0，即a＞1时，原方程没有实数根．12.解：∵|x1－x2|＝，∴m＝3．把m＝3代入原方程，Δ＞0，满足题意，∴m
＝3．13.解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2（m－2），x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴（x1＋x2）2－3x1·x2＝21，即[－2（m－2）]2－3（m2＋4）＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2－6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝－1． |
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