初升高数学衔接班第7讲——二元二次方程组一、学习目标：1、了解“代入消元法”的基本思想和一般步骤；掌握用“代入法”解由一个二元一次方程和一个
二元二次方程组成的方程组；2、通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能
力。3、体会数学知识之间的内在联系，养成深入观察、分析的良好习惯。二、学习重点：1、会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和一个二
元二次方程组成的方程组；2、理解解二元二次方程组的基本思想。三、课程精讲：新知探秘：什么样的方程组是二元二次方程组？如何解二元二次
方程组？1、二元二次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程。例如：xy＝1，x2－y＝0，x－
y－2xy＝－3都是二元二次方程；x－y＝1，x2y＝0都不是二元二次方程。2、二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程
组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组。知识点一：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组由一个
二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解。其中蕴含着转化的思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解
。【例1】解方程组思路导航：由于方程（1）是二元一次方程，故可由方程（1），得，代入方程（2）消去。解：由（1）得：（3）将（3
）代入（2）得：，解得：把代入（3）得：；把代入（3）得：。∴原方程组的解是：。点津：（1）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程
组成的方程组的步骤：①把由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程（3）；②把方程（3）代入二元二次方程，得到一个一元二次方
程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程（3），求相应的未知数的值；⑤写出答案。（2）消去
，还是消去，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程，可以消去，变形得，再代入消元。（3
）消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能会产生增根，
这一点要切记。【例2】解方程组思路导航：本题可以用代入消元法解方程组，但应注意到方程组的特点，可以把、看成是方程的两根，则更容易求
解。解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：。∴原方程组的解是：。点津：（1）对于这种对称型的方程
组，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如。（2）对称型方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解
知识点二：由两个二元二次方程组成的方程组1、可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转
化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。【例3】解方程组思路导航：注意到方程，可分解成，即得或
，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程。解：由（1）得：∴或∴原方程组可化为两个方程组：用代入
法解这两个方程组，得原方程组的解是：点津：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则将
原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程。【例4】解方程组思路导航：本题的特点是方程组中的两个方程均
缺一次项，我们可以消去常数项，得到一个二次三项式的方程。对其因式分解，就可以转化为例3的类型。解：（1）－（2）得：即∴∴原
方程组可化为两个二元二次方程组：。用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：。点津：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得
到一个二次三项式的方程。此方程与原方程组中的任何一个方程联立，即可得到一个可因式分解型的二元二次方程组。【例5】解方程组思路导航：
（1）＋（2）得：，（1）－（2）得：，分别分解（3）、（4）可得四个二元一次方程组。解：（1）＋（2）得：，（1）－（2）得：。
解此四个方程组，得原方程组的解是：。点津：对称型方程组，如、都可以通过变形转化为的形式，再通过构造一元二次方程求解。2、可消二次项
型的方程组【例6】解方程组思路导航：注意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一
个二元二次方程组成的方程组。解：（1）得：代入（1）得：。分别代入（3）得：。∴原方程组的解是：。点津：若方程组的两个方程的二次
项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解。二
元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，做题时应具体问题具体解决。【直击高中】【例7】k为何值时，方程组（1）有一个实数
解，并求出此解；（2）有两个实数解；（3）没有实数解。思路导航：所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数
y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论。解：将①代入②，整理得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0③△＝（2k－4
）2－4×k2×1＝－16（k－1）。（1）当时，数解。将k＝1代入原方程组得当k＝0时，方程③不是一元二次方程，此时，方程有实数
解。（这种情形经常被忽略了）∴当k＜1且k≠0时，原方程组有两个实数解。∴时，原方程组没有实数解。点津：解这种题型的规律一般是将方
程组转化为一元二次方程后，利用△＝0，△＞0，△＜0来讨论的。解题易错点是容易忽略一元二次方程中x2的系数k2不等于0。四、知识提
炼：解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元”和“降次”。因此，掌握好消元
和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。五、目标期望：在本节课的学习中，我们要了解一元二次方程、一元二次方程组的概念，掌握
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解；掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次
方程的方程组成的方程组的解法。六、下节预告：在高中的向量、解析几何与立体几何的学习中需要用到平行线分线段成比例、直角三角形的射影定
理以及圆中的垂径定理、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系等知识。因此有必要对这些知识进行归纳、整理。【同步练习】（答题时间：30分
钟）1、解方程组一般用法。2、解方程组时用含x的代数式表示y，按代入法解这个方程组，可得关于x的方程是3、方程组的解为__
______________4、方程组：可化为的两个方程组为________与_________5、解下列方程组：（1）（2）6、
解方程组：7、解方程组8、解方程组【试题答案】1、代入2、3、4、5、6、解：方程（1）可变形为把（2）代入（3）中，得即
于是，原方程组化为解这个二元一次方程组，得所以原方程组的解是.7、解：由①得x＋y＋1＝0，x＋y－1＝0。分别解这两个方程组得原方程组的解为：8、先把方程①分解为两个二元一次方程分别与方程②组成两个方程组：由于方程②也可以分解，故上面的方程又可以分别化为下面四个方程组：解这四个方程组，就可得到原方程组的解。 |
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