专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：．由于可以用的取值情况来判
定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当
Δ0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ0时，方程没有实数根．2．一元二
次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所
以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是
其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化
为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x
＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）
方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．解：∵，∴(1)；(2)；(3)；(4)．例2已知实数、
满足，试求、的值．解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：例
3若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．解：由题意，根据根与系数的关系得：(1)(2)
(3)(4)说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，等等．韦达定理体现了整体思想．例4已知是一元二次
方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2)求使的值为整数的实数的整数值．解：
(1)假设存在实数，使成立．∵一元二次方程的两个实数根，∴，又是一元二次方程的两个实数根，∴∴，但．∴不存在实数，使成立
．(2)∵∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．【巩固练习】1．若是方程的两个根，则
的值为()A．B．C．D．2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()A．B．C．D．大小关系不能确定3．设是方程的
两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．4．已知实数满足，则=_____，=_____
，=_____．5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．6．若是关于的方程的两个实数根，且都
大于1．(1)求实数的取值范围；(2)若，求的值．【巩固练习】答案1．A；2．A；3．；4．；5．(1)
当时，方程为，有实根；(2)当时，也有实根．6．(1)；(2)． |
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