专题五二次函数【要点回顾】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题[1]函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
问题[2]函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋b
x＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠
0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：[1]当
a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大
而；当时，函数取最小值．[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y
随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，
在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．2．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示
方式：（1）．一般式：；（2）．顶点式：；（3）．交点式：．说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函
数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来
求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点.时可利用交点式来求．3．分段函数一般地
，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．【例题选讲】例1求二次函数y＝－3x2－6x＋
1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：
∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，
函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4)
)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的
性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段
每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日销售量y是销售价
x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售
量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之
间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，
y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．设每天的利润为z（元），则z＝(
－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当x＝160时，z取最大值1600．答
：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小
值时所对应的自变量x的值．例3分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．解：（1）当a＝－2时
，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，由图2
．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当
x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y
＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次
函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．例4根据
下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1
）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，
(0，－8)，(2，8)．（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，
再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x
＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a
＝－2．∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标
，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．（2）分析
一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法
一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开，得y＝ax2＋2
ax－3a，顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函数的表达式为y＝，或y
＝－．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐
标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式
．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2
．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝
a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．说明：上述两种解法分别
从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问
题．（3）解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得
a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．例5在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付
邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应
付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以
用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并
不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为由上述的函数解析式，可以得到其图象
如图所示．【巩固练习】1．选择题：（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（
）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）（2）函数y＝－x2＋4x
＋6的最值情况是（）（A）有最大值6
（B）有最小值6（C）有最大值10（D）有最大值2（3）函数y＝2x2＋
4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）（A）－3≤y≤1
（B）－7≤y≤1（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜112．填空：（1）已知
某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为．（2）已知某二次函数的图象过
点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数
的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x
轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．4．如图，某
农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大
？5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．【巩固练习】答案1．（1）D（2）C（3）D2．（1）y＝x2＋x－2（2）y＝－x2＋2x＋33．（1）．（2）．（3）．（4）4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．5．（1）函数f（x）的解析式为（2）函数y的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2． |
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