第七单元圆
1.如图5,AB是O的直径,==,COD=34°,则AEO的度数是()
A.51° B.56° C.68° D.78°
2.如图6,在O中,弦ABAC,ODAB于点D,OEAC于点E,若AB=8cm,AC=6cm,则O的半径OA的长为()
A.7cmB.6cmC.5cmD.4cm
3.如图7,AD是O的切线,A为切点.点C在O上,连接BC并延长交AD于点D,若AOC=70°,则ADB等于()
A.35° B.45° C.55° D.65°
4.(2016·台州)如图8,在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是()
A.6B.2+1C.9D.
5.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD,如图9所示叠放在一起,连接AC,BD.若OA=3cm,OC=1cm,则阴影部分的面积__________.
6.如图10,点P是四边形ABCD外接圆O上任意一点,且不与四边形顶点重合,若AD是O的直径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC,若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=__________.
7.(2016·百色)如图11,已知AB为O的直径,AC为O的切线,OC交O于点D,BD的延长线交AC于点E.
(1)求证:1=∠CAD;
(2)若AE=EC=2,求O的半径.
8.(2016·江西模拟)O的直径AB的长为2,点C在圆周上,CAB=30°,点D是圆上一动点,DEAB交CA的延长线于点E,连接CD,交AB于点F.
(1)如图12,当ACD=45°时,求证:DE是O的切线;
(2)如图13,当点F是CD的中点时,求CDE的面积.
9.(2016·深圳)如图14,已知O的半径为2,AB为直径,CD为弦.AB与CD交于点M,将沿CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至P,使AP=OA,连接PC.
(1)求CD的长;
(2)求证:PC是O的切线;
(3)点G为的中点,在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E.交于点F(F与B,C不重合).问GE·GF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.
1.(2016年)如图15,AB是O的直径,点P是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点P作PEAB,垂足为E,射线EP交弧AC于点F,交过点C的切线于点D.
(1)求证:DC=DP;
(2)若CAB=30°,当F是弧AC的中点时,判断以A,O,C,F为顶点的四边形是什么特殊的四边形,说明理由.
2.(2014年)如图16,AB是O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是O上半部分的一个动点,连接OP,CP.
(1)求OPC的最大面积;
(2)求OCP的最大度数;
(3)如图17,延长PO交O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是O的切线.
3.(2012年)已知,纸片O的半径为2,如图18,沿弦AB折叠操作.
(1)如图19,当折叠后的经过圆心O时,求的长;
(2)如图20,当弦AB=2时,求折叠后所在圆的圆心O′到弦AB的距离;
(3)在图18中,再将纸片O沿弦CD折叠操作.
如图21,当ABCD,折叠后的与所在圆外切于点P时,设点O到弦AB,CD的距离之和为d,求d的值;
如图22,当AB与CD不平行,折叠后的与所在圆外切于点P时,设点M为AB的中点,点N为CD的中点.试探究四边形OMPN的形状,并证明你的结论.
【答案】
精练课堂考点
1.A2.C3.C
4.C【解析】如图5,设O与AC相切于点E,连接OE,作OP1BC,垂足为P1交O于Q1,此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1-OQ1,AB=10,AC=8,BC=6,AB2=AC2+BC2.∴∠C=90°.∵∠OP1B=90°,OP1∥AC.∵AO=OB,P1C=P1B.∴OP1=AC=4.又OE=BC=3,P1Q1最小值为OP1-OQ1=1.如图5,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2最大值=5+3=8,PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.
5.2π6.a
7.(1)证明:AB为O的直径,ADB=90°.
∴∠ADO+∠BDO=90°.
∵AC为O的切线,OA⊥AC.
∴∠OAD+∠CAD=90°.
∵OA=OD,OAD=∠ODA.
∴∠BDO=∠CAD.
∵∠1=∠BDO,1=∠CAD.
(2)解:1=∠CAD,C=∠C,
CAD∽△CDE.
∴CD∶CA=CE∶CD.
∴CD2=CA·CE.
∵AE=EC=2,AC=AE+EC=4.
∴CD=2.
设O的半径为x,则OA=OD=x,
则RtAOC中,OA2+AC2=OC2,x2+42=(2+x)2.
解得x=.O的半径为.
8.(1)证明:如图6,连接OD.
C=45°,AOD=2∠C=90°.
∵ED∥AB,
AOD+∠EDO=180°.
∴∠EDO=90°.
∴ED⊥OD.
∴ED是O的切线.
(2)解:如图7,连接BC.
CF=DF,AF⊥CD.
∴AC=AD.
∴∠ACD=∠ADC.
∵AB∥ED,ED⊥DC.
∴∠EDC=90°.
在RtACB中,ACB=90°,CAB=30°,AB=2,
BC=1,AC=.CF=AC=,CD=2CF=.
在RtECD中,EDC=90°,CD=,E=∠CAB=30°,
EC=2CD=2,ED==3.
S△ECD=·ED·CD=.
9.(1)解:如图8,连接OC.
沿CD翻折后,点A与圆心O重合,
OM=OA=×2=1,CDOA.
∵OC=2,
CD=2CM=2=2=2.
(2)证明:PA=OA=2,AM=OM=1,CM=CD=,
CMP=∠OMC=90°,
PC===2.
∵OC=2,PO=2+2=4,PC2+OC2=(2)2+22=16=PO2.
PCO=90°.∴PC是O的切线.
(3)解:GE·GF是定值,证明如下:
如图9,连接GA,AF,GB,
点G为的中点,=.
∴∠BAG=∠AFG.
又AGE=∠FGA,
AGE∽△FGA.
∴=.∴GE·GF=AG2.
∵AB为直径,AB=4,BAG=∠ABG=45°.
∴AG=2.∴GE·GF=8.
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1.(1)如图10,连接OC.
APE+∠EAP=90°,
∠OCA+∠ACD=90°,∠EAP=∠OCA,
APE=∠ACD.
∵∠APE=∠DPC,
∴∠DPC=∠ACD.
∴DP=DC.
(2)菱形.如图11,连接AF,CF,CO,OF,
CAB=30°,∴∠COB=60°.
又F为AC的中点,
F,C把AB半圆弧分成三等分.
AOF=∠FOC=60°.
∵AO=FO=CO,
AOF和COF为等边三角形.
AO=CO=FC=AF.
∴四边形AOCF为菱形.
2.(1)解:AB=4,
OB=2,OC=OB+BC=4.
在OPC中,设OC边上的高为h,
S△OPC=OC·h=2h,
当h最大时,SOPC有最大值.
观察图形,当OPOC时,h最大,如图12所示:此时h=2,SOPC=2×2=4.
∴△OPC的最大面积为4.
(2)解:当PC与O相切时,OCP最大.如图13所示:
sin∠OCP===,
OCP=30°.
∴∠OCP的最大度数为30°.
(3)证明:如图14,连接AP,BP.
A=∠D=∠APD=∠ABD.
∴=,=.
∴AP=BD.
∵CP=DB,AP=CP.
∴∠A=∠C.
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C,
在△ODB与△BPC中,,
ODB≌△BPC(SAS),D=∠BPC.
∵PD是直径,DBP=90°,
D+∠BPD=90°.
∴∠BPC+∠BPD=90°.∴DP⊥PC.
∵DP经过圆心,PC是O的切线.
3.解:(1)如图15,过点O作OEAB交O于点E,连接OA,OB,AE,BE.
点E与点O关于AB对称.
OAE、OBE为等边三角形.
OEA=∠OEB=60°.
∴l==.
(2)如图16,连接O′A,O′B,
折叠前后所在的O与O′是等圆,
O′A=O′B=OA=AB=2.
∴△AO′B为等边三角形.
过点O′作O′EAB于点E,
O′E=O′B·sin60°=.
(3)如图17,与所在圆外切于点P时,过点O作EFAB交于点E,交于点F,
AB∥CD,
EF垂直平分CD且必过点P,
根据垂径定理及折叠,
可知PH=PE,PG=PF.
又EF=4,
点O到AB,CD的距离之和为:
d=PH+PG=PE+PF=(PE+PF)=2.
如图18,当AB与CD不平行时,
四边形OMPN是平行四边形.
证明如下:
设O′,O″为和所在圆的圆心,
由折叠可知:O′与O关于AB对称,O″与O关于CD对称,
M为OO′的中点,N为OO″的中点.
与所在圆外切,
连心线O′O″必过点P.
与所在圆与O都是等圆,
O′P=O″P=2.
∴PM=OO″=ON,PMOO″,也即PMON.
∴四边形OMPN是平行四边形.
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