微分初等题均值定理之例上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：本文乃笔者之高
等数学札记之一，主要涉及微分之初等题目“均值定理”。关键词：均值定理本文乃笔者之高等数学微分札记之一，主要涉及微分之初等著名题目。
本文提及均值定理(TheMeanValueTheorem)与相关之例题。以下为均值定理之简单说明：f(b)–f(a)
=f’(c)(b–a)或f’(c)=，而a曲线为y=f(x)在a与b范围内连续而aT，f(b)–f(a)=BT，所以AB之斜率为=，在曲线上必有一点C而C之切线平行AB，C点在x轴相
应之点是为c。此切线与AB有相同斜率，表为f’(c)，所以f’(c)=，而c必在a和b之间，此即为“
均值定理”。以下为相关之例题：〈第一题〉若f(x)=x3，a=–2，b=+2，求均值定理中之c﹝c之定义
见上文﹞。(2,8)By=x3c1Oc2(–2,8)A曲线AOB为f(x)=x3，微分一次得f''(x)
=3x2，若此点为c则f''(c)=3c2。注意c对应之曲线点为切线所穿过之点，此切线平行直线AOB﹝或称为AO
B之弦，见上图﹞。又因为f(b)=23=8，f(a)=(–23)=–8，直线AOB之斜率为：==
=4，依均值定理此值为f''(c)，即：f''(c)=3c2=4，即c2=，c=±=±，写成c1
=–及c2=﹝见上图﹞。注意c1与c2必介于a=–2与b=+2之间，其相关之两条切线平行于
曲线之弦AB，所以c点之值并非随意。〈第二题〉曲线COD为f(x)=x2/3，a=–8，b=+8，求均
值定理中之c。C(–8,4)D(8,4)aOb曲线f(x)=x2/3，微分一次得f''(x)=x–1/3
=，从f''(x)可知，其值存在CD间任何点，x=0除外。===0，均值定理无效。但f''(c)
=，此值非0若c为有限值。〈第三题〉若f''(x)在–1与+1之间有值，试证明∣f(x)–f(a)
∣≦∣x–a∣。证明：仍用以上之符号，已知：–1≦f''(x)≦+1即∣f''(x)∣≦1，即∣f''(c)∣
≦1，依均值定理=f''(c)，左右取絶对值即：∣∣=∣f''(c)∣≦1，即∣∣≦1，上式可写成∣≦1即∣f(
x)–f(a)∣≦∣x–a∣。证毕。〈第四题〉均值定理可作如下之变形：因为f’(c)=，移项得(b–a)f
’(c)=f(b)–f(a)，即f(b)=f(a)+(b–a)f’(c)。若b非常接近a，则c
亦非常接近a，可取以下之近似值：f’(c)≒f’(a)，代入上式：即f(b)≒f(a)+(b–a)f’
(a)。以均值定理解以下各题﹝即取近似值﹞：√10。取f(x)=√x，a=9，b=10。f(x)=x1/2
，f’(x)=x–1/2f(b)=f(a)+(b–a)f’(a)=√9+(10–9)×9
–1/2=3+=3.167。所以√10≒3.167。2.0032。取f(x)=x2，a=2，b=
2.003。f(x)=x2，f’(x)=2xf(b)=f(a)+(b–a)f’(a)=4+(2.
003–2)×4=4+0.012=4.012。所以2.0032≒4.012。。取f(x)=，a=1
00，b=99。f(x)=x–1，f’(x)=–x–2f(b)=f(a)+(b–a)f’(a
)=0.01+(99–100)(–100–2)=0.01+(–1)(–0.0001)=0.01+
0.0001=0.0101。所以≒0.0101。〈第五题〉一拋物线y=ax2+bx+c上有两点P1(x
1,y1)与P2(x2,y2)，有另一点P3(x3,y3)在P1P2之间之拋物线弧上，P3上有切线，此
切线平行直线P1P2﹝见下图﹞，试证明x3=?(x2+x1)。证明：已知y1=ax12+bx1+c及
y2=ax22+bx2+c，y2–y1=a(x22–x12)+b(x2–x1)。微分y=a
x2+bx+c得y’=2ax+b；以x3代x得2ax3+b。依均值定理可知：切线2ax3+
b==a(x2+x1)+b2ax3=a(x2+x1)2x3=x2+x1x3=?(x2+x1)。证毕。P3(x3,y3)y=ax2+bx+cP2(x2,y2)P1(x1,y1)x1x3x2(1) |
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